高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計 8 最小二乘估計學(xué)案 北師大版必修31

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8　最小二乘估計 1．了解最小二乘法的思想． 2．能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程． 最小二乘法 求線性回歸直線方程y＝bx＋a時，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的__________最小的方法叫做最小二乘法．其中a，b的值由以下公式給出： a，b是線性回歸方程的系數(shù)． 線性回歸分析涉及大量的計算，形成操作上的一個難點(diǎn)，可以利用計算機(jī)非常方便地作散點(diǎn)圖、回歸直線，并能求出回歸直線方程．因此在學(xué)習(xí)過程中，要重視信息技術(shù)的應(yīng)用． 【做一做】已知某工廠在某年里每月生產(chǎn)產(chǎn)品的總成本y(萬元)與該月產(chǎn)量x(萬件)之間的回歸直線方程為y＝0.974＋1.215x，計算x＝2時，總成本y的估計值為______． 什么是最小二乘法？ 剖析：結(jié)合最小二乘法的發(fā)展過程和在實(shí)際生活中的應(yīng)用來了解最小二乘法．最小二乘法的思想是通過最小化誤差的平方和找到一組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，是用最簡單的方法求得一些絕對不可知的真值，而令誤差平方之和為最小，是處理各種觀測數(shù)據(jù)，測量方差的一種基本方法，是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)．在統(tǒng)計中，主要是利用最小二乘法求線性回歸方程，這是最小二乘法思想的應(yīng)用．最小二乘法不僅是數(shù)理統(tǒng)計中一種常用的方法，在工業(yè)技術(shù)和其他科學(xué)研究中也有廣泛應(yīng)用，比如洪水實(shí)時預(yù)報等等． 題型一 閱讀理解題 【例題1】假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下統(tǒng)計資料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由資料知，y與x線性相關(guān)． (1)求回歸直線方程y＝bx＋a中a與b的值； (2)估計使用年限為10年時，維修費(fèi)用是多少？ 分析：先求出回歸直線方程，若回歸直線方程為y＝bx＋a，則在x＝x0處的估計值為y0＝bx0＋a. 反思：知道x與y線性相關(guān)，就無需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，否則，應(yīng)先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，若兩個變量不具備相關(guān)關(guān)系，或者說，它們之間的線性相關(guān)關(guān)系不顯著，即使求出回歸直線方程也是毫無意義的，而且用其估計和預(yù)測的量也是不可信的． 題型二信息提煉題 【例題2】某產(chǎn)品的原料中兩種有效成分A和B的含量如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A(%) 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 B(%) 67 54 72 64 39 22 58 43 46 34 用x(%)表示A的含量，y(%)表示B的含量． (1)作出散點(diǎn)圖； (2)y與x是否線性相關(guān)？若線性相關(guān)，求出回歸直線方程(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后4位小數(shù))． 分析：作出散點(diǎn)圖，可判斷y與x是否線性相關(guān)，如果線性相關(guān)，可用計算器求a，b的值． 反思：求回歸直線方程，通常是用計算器來完成的．在有的科學(xué)計算器中，可通過直接按鍵得出回歸直線方程中的a，b.如果用一般的計算器進(jìn)行計算，則要先列出相應(yīng)的表格，有了表格中的相關(guān)數(shù)據(jù)，回歸直線方程中的a，b就容易求出來了． 題型三 線性回歸分析的應(yīng)用 【例題3】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù)： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y＝bx＋a； (3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？ (參考數(shù)值：32.5＋43＋54＋64.5＝66.5) 分析：(1)以產(chǎn)量為橫坐標(biāo)，以生產(chǎn)能耗對應(yīng)的測量值為縱坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫散點(diǎn)圖；(2)應(yīng)用計算公式求得線性相關(guān)系數(shù)b，a的值；(3)實(shí)際上就是求當(dāng)x＝100時，對應(yīng)的y的值． 反思：求線性回歸直線方程的步驟如下： ①列表表示xi，yi，xiyi； ②計算，，，iyi； ③代入公式計算b，a的值； ④寫出線性回歸方程． 可以利用線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測變量的值． 1某商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負(fù)相關(guān)，則其回歸方程可能是(　　)． A．y＝－10x＋200 B．y＝10x＋200 C．y＝－10x－200 D．y＝10x－200 2下表是x與y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關(guān)于x的回歸直線必過點(diǎn)(　　)． x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 A．(2,2)　　　B．(1.5,2) C．(1,2) D．(1.5,4) 3對有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量建立的回歸直線方程y＝a＋bx中，回歸系數(shù)b(　　)． A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．以上都有可能 4給出下列說法：①回歸方程適用于一切樣本和總體； ②回歸方程一般都有局限性； ③樣本取值的范圍會影響回歸方程的適用范圍； ④回歸方程得到的預(yù)測值是預(yù)測變量的精確值． 其中正確的是________(將你認(rèn)為正確的序號都填上)． 5某個服裝店經(jīng)營某種服裝，在某周內(nèi)獲純利潤y(元)與該周每天銷售這種服裝件數(shù)x之間的一組數(shù)據(jù)關(guān)系見下表： x 3 4 5 6 7 8 9 y 66 69 73 81 89 90 91 已知：，， (1)求，； (2)畫出散點(diǎn)圖； (3)求純利潤y與每天銷售件數(shù)x之間的回歸直線方程． 答案： 基礎(chǔ)知識梳理 距離的平方和　　－b 【做一做】3.404　由回歸直線方程y＝0.974＋1.215x得，當(dāng)x＝2時，總成本y的估計值為y＝0.974＋1.2152＝3.404. 典型例題領(lǐng)悟 【例題1】解：(1)列表： i 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5 6 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 ＝4，＝5 xi2＝90，xiyi＝112.3 其中，b＝＝＝＝1.23，a＝－b＝5－1.234＝0.08.所以a＝0.08，b＝1.23. (2)回歸直線方程為y＝1.23x＋0.08.當(dāng)x＝10時，y＝1.2310＋0.08＝12.38，即使用年限為10年時，維修費(fèi)用約為12.38萬元． 【例題2】解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示． (2)因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖中各點(diǎn)大致都分布在一條直線附近，所以y與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系．經(jīng)計算可得＝17.4，＝49.9，x＝3 182，xiyi＝9 228，故b＝＝≈3.532 38≈3.532 4，a＝－b≈49.9－3.532 3817.4≈－11.563 4，所以所求回歸直線方程為y＝3.532 4x－11.563 4. 【例題3】解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示． (2)由題意，得xiyi＝32.5＋43＋54＋64.5＝66.5， ＝＝4.5， ＝＝3.5， x＝32＋42＋52＋62＝86， ∴b＝＝＝0.7， a＝－b＝3.5－0.74.5＝0.35. 故線性回歸方程為y＝0.7x＋0.35. (3)根據(jù)回歸方程可預(yù)測，現(xiàn)在生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為0.7100＋0.35＝70.35(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)， 故預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前減少了90－70.35＝19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)． 隨堂練習(xí)鞏固 1．A　∵商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負(fù)相關(guān)， ∴b＜0，排除選項(xiàng)B，D. 又∵x＝0時，y＞0， ∴答案為A. 2．D　回歸直線方程必過中心點(diǎn)(，)，即(1.5,4)，故選D. 3．D 4．②③　樣本或總體具有線性相關(guān)關(guān)系時，才可求回歸方程，而且由回歸方程得到的函數(shù)值是近似值，而非精確值，因此回歸方程有一定的局限性．所以①④錯． 5．解：(1)＝＝6(件)， ＝＝≈79.86(元)． (2)散點(diǎn)圖如下： (3)由散點(diǎn)圖知，y與x有線性相關(guān)關(guān)系． 設(shè)回歸直線方程為y＝bx＋a. 由x＝280，xiyi＝3 487，＝6，＝，得 b＝＝＝4.75， a＝－64.75≈51.36， 故回歸直線方程為y＝4.75x＋51.36.