高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)13 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例 新人教A版選修4-5

【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)13 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例 新人教A版選修4-5 (建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當(dāng)f(k)k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立那么下列命題總成立的是()A若f(3)9成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，則當(dāng)k5時(shí)，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，則當(dāng)k8時(shí)，均有f(k)k2成立D若f(4)25成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2成立【解析】根據(jù)題中條件可知：由f(k)k2，必能推得f(k1)(k1)2，但反之不成立，因?yàn)镈中f(4)2542，故可推得k4時(shí)，f(k)k2，故只有D正確【答案】D2用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于任意x0和正整數(shù)n，都有xnxn2xn4n1”時(shí)，需驗(yàn)證的使命題成立的最小正整數(shù)值n0應(yīng)為()An01Bn02Cn01,2D.以上答案均不正確【解析】需驗(yàn)證：n01時(shí)，x11成立【答案】A3利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1<f(n)(n2，nN)的過程，由nk到nk1時(shí)，左邊增加了() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750070】A1項(xiàng)Bk項(xiàng)C2k1項(xiàng)D2k項(xiàng)【解析】11，共增加2k項(xiàng)【答案】D4若不等式>對(duì)大于1的一切自然數(shù)n都成立，則自然數(shù)m的最大值為()A12B13C14D.不存在【解析】令f(n)，易知f(n)是單調(diào)遞增的，f(n)的最小值為f(2).依題意>，m<14.因此取m13.【答案】B5用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(n2，nN)的過程中，由nk遞推到nk1時(shí)不等式左邊()A增加了一項(xiàng)B增加了兩項(xiàng)，C增加了B中兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng)D以上各種情況均不對(duì)【解析】nk時(shí)，左邊，nk1時(shí)，左邊，增加了兩項(xiàng)，少了一項(xiàng).【答案】C二、填空題6用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n1n2n2(nN)”時(shí)，第一步的驗(yàn)證為_【解析】當(dāng)n1時(shí)，2111212，即44成立【答案】21112127證明1n1(n1)，當(dāng)n2時(shí)，要證明的式子為_【解析】當(dāng)n2時(shí)，要證明的式子為213.【答案】2138在ABC中，不等式成立；在四邊形ABCD中，不等式成立；在五邊形ABCDE中，不等式成立猜想在n邊形A1A2An中，類似成立的不等式為_【解析】由題中已知不等式可猜想：(n3且nN)【答案】(n3且nN)三、解答題9已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1，an2SnSn10(n2)(1)判斷是否為等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論；(2)證明：SSS.【解】(1)S1a1，2.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，即SnSn12SnSn1，2.故是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列(2)證明：當(dāng)n1時(shí)，S，不等式成立假設(shè)nk(k1，且kN)時(shí)，不等式成立，即SSS成立，則當(dāng)nk1時(shí)，SSSS<.即當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立由可知對(duì)任意nN不等式成立10已知函數(shù)f(x)x3x，數(shù)列an滿足條件：a11，且an1f(an1)，證明：an2n1(nN*)【證明】由f(x)x3x，得f(x)x21.因此an1f(an1)(an1)21an(an2)，(1)當(dāng)n1時(shí)，a11211，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，不等式成立，即ak2k1，當(dāng)nk1時(shí)，ak1ak(ak2)(2k1)(2k12)22k1.又k1，22k2k1，nk1時(shí)，ak12k11，即不等式成立根據(jù)(1)和(2)知，對(duì)任意nN，an2n1成立能力提升1對(duì)于正整數(shù)n，下列不等式不正確的是()A3n12n B0.9n10.1nC0.9n10.1nD.0.1n10.9n【解析】排除法，取n2，只有C不成立【答案】C2利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，n的最小取值n0應(yīng)為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750071】【解析】n01時(shí)不成立，n02時(shí)，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，故n02.【答案】23設(shè)a，b均為正實(shí)數(shù)(nN)，已知M(ab)n，Nannan1b，則M，N的大小關(guān)系為_.【解析】當(dāng)n1時(shí)，MabN，當(dāng)n2時(shí)，M(ab)2，Na22abM，當(dāng)n3時(shí)，M(ab)3，Na33a2bM，歸納得MN.【答案】MN4已知f(x)，對(duì)于nN，試比較f()與的大小并說明理由【解】據(jù)題意f(x)1，f()1.又1，要比較f()與的大小，只需比較2n與n2的大小即可，當(dāng)n1時(shí)，212121，當(dāng)n2時(shí)，22422，當(dāng)n3時(shí)，238329，當(dāng)n4時(shí)，241642，當(dāng)n5時(shí)，25325225，當(dāng)n6時(shí)，26646236.故猜測(cè)當(dāng)n5(nN)時(shí)，2nn2，下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明(1)當(dāng)n5時(shí)，不等式顯然成立(2)假設(shè)nk(k5且kN)時(shí)，不等式成立，即2kk2.則當(dāng)nk1時(shí)，2k122k2k2k2k22k12k1(k1)2(k1)22(k1)2，即nk1時(shí)，不等式也成立由(1)(2)可知，對(duì)一切n5，nN，2nn2成立綜上所述，當(dāng)n1或n5時(shí)，f()，當(dāng)n2或n4時(shí)，f()，當(dāng)n3時(shí)，f().