《高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)13 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例 新人教A版選修4-5》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)13 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例 新人教A版選修4-5(5頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)13 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例 新人教A版選修4-5
(建議用時(shí):45分鐘)
[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]
一、選擇題
1.設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足:當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí),總可推出f(k+1)≥(k+1)2成立.那么下列命題總成立的是( )
A.若f(3)≥9成立,則當(dāng)k≥1時(shí),均有f(k)≥k2成立
B.若f(5)≥25成立,則當(dāng)k≤5時(shí),均有f(k)≥k2成立
C.若f(7)<49成立,則當(dāng)k≥8時(shí),均有f(k)<k2成立
D.若f(4)=25成立,則當(dāng)k≥4時(shí),均有f(k)≥k2成立
【解析】 根據(jù)題中條件可知:由f(k)≥k2,必能推得f(k+1)≥(k+1)2,但反之不成立,因?yàn)镈中f(4)=25>42,故可推得k≥4時(shí),f(k)≥k2,故只有D正確.
【答案】 D
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于任意x>0和正整數(shù)n,都有xn+xn-2+xn-4+…+++≥n+1”時(shí),需驗(yàn)證的使命題成立的最小正整數(shù)值n0應(yīng)為( )
A.n0=1 B.n0=2
C.n0=1,2 D.以上答案均不正確
【解析】 需驗(yàn)證:n0=1時(shí),x+≥1+1成立.
【答案】 A
3.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+++…+
對(duì)大于1的一切自然數(shù)n都成立,則自然數(shù)m的最大值為( )
A.12 B.13
C.14 D.不存在
【解析】 令f(n)=++…+,
易知f(n)是單調(diào)遞增的,
∴f(n)的最小值為f(2)=+=.
依題意>,∴m<14.因此取m=13.
【答案】 B
5.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式++…+<(n≥2,n∈N+)的過程中,由n=k遞推到n=k+1時(shí)不等式左邊( )
A.增加了一項(xiàng)
B.增加了兩項(xiàng),
C.增加了B中兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng)
D.以上各種情況均不對(duì)
【解析】 ∵n=k時(shí),左邊=++…+,n=k+1時(shí),左邊=++…+++,
∴增加了兩項(xiàng),,少了一項(xiàng).
【答案】 C
二、填空題
6.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+)”時(shí),第一步的驗(yàn)證為________.
【解析】 當(dāng)n=1時(shí),21+1≥12+1+2,即4≥4成立.
【答案】 21+1≥12+1+2
7.證明<1+++…+<n+1(n>1),當(dāng)n=2時(shí),要證明的式子為________.
【解析】 當(dāng)n=2時(shí),要證明的式子為
2<1+++<3.
【答案】 2<1+++<3
8.在△ABC中,不等式++≥成立;在四邊形ABCD中,不等式+++≥成立;在五邊形ABCDE中,不等式++++≥成立.猜想在n邊形A1A2…An中,類似成立的不等式為________.
【解析】 由題中已知不等式可猜想:
+++…+
≥(n≥3且n∈N+).
【答案】 +++…+≥(n≥3且n∈N+)
三、解答題
9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a1=,an+2SnSn-1=0(n≥2).
(1)判斷是否為等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論;
(2)證明:S+S+…+S≤-.
【解】 (1)S1=a1=,∴=2.
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,即Sn-Sn-1=-2SnSn-1,
∴-=2.
故是以2為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.
(2)證明:①當(dāng)n=1時(shí),S==-,不等式成立.
②假設(shè)n=k(k≥1,且k∈N+)時(shí),不等式成立,即S+S+…+S≤-成立,
則當(dāng)n=k+1時(shí),S+S+…+S+S≤-+=-
=-<-=-.
即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.
由①②可知對(duì)任意n∈N+不等式成立.
10.已知函數(shù)f(x)=x3-x,數(shù)列{an}滿足條件:a1≥1,且an+1≥f′(an+1),證明:an≥2n-1(n∈N*).
【證明】 由f(x)=x3-x,
得f′(x)=x2-1.
因此an+1≥f′(an+1)=(an+1)2-1=an(an+2),
(1)當(dāng)n=1時(shí),a1≥1=21-1,不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式成立,即ak≥2k-1,
當(dāng)n=k+1時(shí),
ak+1≥ak(ak+2)≥(2k-1)(2k-1+2)=22k-1.
又k≥1,∴22k≥2k+1,∴n=k+1時(shí),ak+1≥2k+1-1,即不等式成立.
根據(jù)(1)和(2)知,對(duì)任意n∈N+,an≥2n-1成立.
[能力提升]
1.對(duì)于正整數(shù)n,下列不等式不正確的是( )
A.3n≥1+2n B.0.9n≥1-0.1n
C.0.9n≤1-0.1n D.0.1n≤1-0.9n
【解析】 排除法,取n=2,只有C不成立.
【答案】 C
2.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“<”時(shí),n的最小取值n0應(yīng)為________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):32750071】
【解析】 n0=1時(shí)不成立,n0=2時(shí),<,再用數(shù)學(xué)歸納法證明,故n0=2.
【答案】 2
3.設(shè)a,b均為正實(shí)數(shù)(n∈N+),已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,則M,N的大小關(guān)系為____________________.
【解析】 當(dāng)n=1時(shí),M=a+b=N,
當(dāng)n=2時(shí),M=(a+b)2,N=a2+2ab<M,
當(dāng)n=3時(shí),M=(a+b)3,N=a3+3a2b<M,
歸納得M≥N.
【答案】 M≥N
4.已知f(x)=,對(duì)于n∈N+,試比較f()與的大小并說明理由.
【解】 據(jù)題意f(x)===1-,
∴f()=1-.
又=1-,∴要比較f()與的大小,只需比較2n與n2的大小即可,
當(dāng)n=1時(shí),21=2>12=1,
當(dāng)n=2時(shí),22=4=22,
當(dāng)n=3時(shí),23=8<32=9,
當(dāng)n=4時(shí),24=16=42,
當(dāng)n=5時(shí),25=32>52=25,
當(dāng)n=6時(shí),26=64>62=36.
故猜測(cè)當(dāng)n≥5(n∈N+)時(shí),2n>n2,
下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.
(1)當(dāng)n=5時(shí),不等式顯然成立.
(2)假設(shè)n=k(k≥5且k∈N+)時(shí),不等式成立,
即2k>k2.
則當(dāng)n=k+1時(shí),
2k+1=22k>2k2=k2+k2+2k+1-2k-1
=(k+1)2+(k-1)2-2>(k+1)2,
即n=k+1時(shí),
不等式也成立.
由(1)(2)可知,
對(duì)一切n≥5,n∈N+,2n>n2成立.
綜上所述,當(dāng)n=1或n≥5時(shí),f()>,
當(dāng)n=2或n=4時(shí),f()=,
當(dāng)n=3時(shí),f()<.
鏈接地址:http://appdesigncorp.com/p-11974455.html