高二數(shù)學(xué)寒假作業(yè) 第14天 拋物線 理

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第14天 拋物線 【課標(biāo)導(dǎo)航】 1. 掌握拋物線的定義， 2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 一、選擇題 1．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn),如果,那么 A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 ( ) 2．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且垂直于軸的弦長(zhǎng)為,為拋物線頂點(diǎn),則大小為 A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 不確定 ( ) 3．若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為 ( ) A．－2 B.2 C.－4 D.4 4．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于、兩點(diǎn),若線段與的長(zhǎng)分別是、,則等于 ( ) A. B. C. D. 5．拋物線上到直線距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( ) A. B. C. D. 6．已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)（0，2）的距離與點(diǎn)到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為 ( ) A. B. C. D. 3 7．拋物線上兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，且，則等于 ( ) A. B. C. D. 3 8．直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且交拋物線于兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn),已知,則 ( ) A． B． C． D．4 二、填空題 9． 一動(dòng)圓和直線相切,且經(jīng)過(guò)點(diǎn),則圓心的軌跡方程是 10．如圖，拋物線形拱橋的頂點(diǎn)距水面4米時(shí)，測(cè)得拱橋內(nèi)水面寬為16米；當(dāng)水面升 高3米后，拱橋內(nèi)水面的寬度為 米． 10． 若直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，則 線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是______. 12．若拋物線截直線所得弦長(zhǎng).以為底邊,以軸上點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的面積為39,則點(diǎn)的坐標(biāo)為 . 三、解答題 13．若拋物線 =上總存在關(guān)于直線：－1＝（－1）對(duì)稱的相異兩點(diǎn)，試求的取值范圍. 14．已知是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，非零向量滿足：=. （Ⅰ）求證：直線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)； （Ⅱ）求線段中點(diǎn)的軌跡； （Ⅲ）求軌跡上的動(dòng)點(diǎn)到直線的最短距離. 15．如圖，曲線G的方程為.以原點(diǎn)為圓心，以t（t >0）為半徑的圓分別與曲線G和y軸的正半軸相交于點(diǎn)A與點(diǎn)B.直線AB與x軸相交于點(diǎn)C. （Ⅰ）求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)a與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)c的關(guān)系式； （Ⅱ）設(shè)曲線G上點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a＋2，求證：直線CD 的斜率為定值. 16．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4、且位于軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5.過(guò)A作AB垂直于軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M. （Ⅰ）求拋物線方程； （Ⅱ）過(guò)M作，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)； （Ⅲ）以M為圓心，MB為半徑作圓M，當(dāng)是軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)， 討論直線AK與圓M的位置關(guān)系. ． 【鏈接聯(lián)賽】（2012一試4）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為ｌ，是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足．設(shè)線段ＡＢ的中點(diǎn)在ｌ上的投影為，則的最大值是 .  第14天 拋物線 1--8. BCDCD B A C 9. 10. 8 ; 11. 12. 13.設(shè)直線垂直平分拋物線的弦AB，設(shè)A（，）、B(，),則. ..設(shè)AB的中點(diǎn)M（，則.又點(diǎn)M在拋物線內(nèi)部. ,即. 解得－2< <0, 故的取值范圍是（－2，0）. 14. 證明：（1）∵= ∴⊥ ∵、為非零向量， ∴直線存在斜率且均不為零. 設(shè)直線：,則直線：. ， 故直線：，過(guò)定點(diǎn)（0，4） （2）設(shè)則 式并整理得： （3）由題：∵== ∴= x y B A O a Ｃ D 15 .解：（Ⅰ）由題意知，． 因?yàn)?，所以? 由于，故有．　（1） a+2 由點(diǎn)的坐標(biāo)知， 直線的方程為．又因點(diǎn)在直線上，故有， 將（1）代入上式，得，解得． （Ⅱ）因?yàn)?，所以直線的斜率為 ． 所以直線的斜率為定值． .16. 解：（1）拋物線 ∴拋物線方程為y2= 4x. （2）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，4）， 由題意得B（0，4），M（0，2）， 又∵F（1，0）， ∴ 則FA的方程為y=（x－1），MN的方程為 解方程組 （3）由題意得，圓M的圓心是點(diǎn)（0，2），半徑為2. 當(dāng)m=4時(shí)，直線AK的方程為x=4，此時(shí)，直線AK與圓M相離， 當(dāng)m≠4時(shí)，直線AK的方程為 即為 圓心M（0，2）到直線AK的距離，令 時(shí)，直線AK與圓M相離； 當(dāng)m=1時(shí)，直線AK與圓M相切； 當(dāng)時(shí)，直線AK與圓M相交 【鏈接聯(lián)賽】由拋物線的定義及梯形的中位線定理得 在中,由余弦定理得 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故的最大值為1.