高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編：7立體幾何

版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 2013 年高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編：7 立體幾何 一、選擇題 1. （2013 年高考新課標(biāo) 1（理） ）如圖,有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高 8cm,將一個(gè)球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為 6cm,如 果不計(jì)容器的厚度,則球的體積為 （ ） A B C D350cm386cm3172cm32048cm 【答案】A 2. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純 WORD 版） ）設(shè) 是兩,n 條不同的直線, 是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是 （ ） A若 , , ,則 B若 , , ,則 mnn/mn/ C若 , , ,則 D若 , , ,則/ 【答案】D 3. （2013 年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷 (含答案)）若兩個(gè)球的表面積之比為 ,則這兩1:4 個(gè)球的體積之比為 （ ） A B C D1:21:41:8:6 【答案】C 4. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD 版含答案（已校對(duì)） ）已 知正四棱柱 中 ,則 與平面 所成角的正弦值等1CDA12AB1BC 于 （ ） A B C D23333 【答案】A 5. （2013 年高考新課標(biāo) 1（理） ）某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) （ ） A B C D168816816 【答案】A 6. （2013 年高考湖北卷（理） ）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體從上到下由四個(gè) 簡(jiǎn)單幾何體組成,其體積分別記為 , , , ,上面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體,下1V234 面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為多面體,則有 （ ） A B C1243V1324V2134V D 2314 【答案】C 7. （2013 年高考湖南卷（理） ）已知棱長(zhǎng)為 1 的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為 1 的正方 形,則該正方體的正視圖的面積不可能等于 （ ） A B C D 122-2+ 【答案】C 8. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純 WORD 版） ）某四棱臺(tái)的 三視圖如圖所示,則該四棱臺(tái)的體積是 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) （ ） 121 正視圖 俯視圖 側(cè)視圖 第 5 題圖 A B C D4 1431636 【答案】B 9. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理） （純 WORD 版含答案） ）已 知 nm,為異面直線, 平面 ,n平面 .直線 l滿足 ,mlnl 則 （ ） A /,且 /l B ,且 l C 與 相交,且交線垂直于 lD 與 相交 ,且交線平行于 l 【答案】D 10. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案） ）已知三棱柱1AB 的側(cè)棱與底面垂直,體積為 94 ,底面是邊長(zhǎng)為 3的正三角形.若 P為底 面 C的中心,則 PA與平面 BC所成角的大小為 （ ） A 512 B 3 C 4 D 6 【答案】B 11. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案） ）某幾何體的三 視圖如題 5圖所示,則該幾何體的體積為 （ ） A 603B 5803C 20D 240 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 【答案】C 12. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD 版） ）已知三棱柱 的 6 個(gè)頂點(diǎn)都在球 的球面上,若 , ,1ABO34ABC， AB ,則球 的半徑為 （ ）2 A B C D 37210132310 【答案】C 13. （2013 年高考江西卷（理） ）如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面 上, 且 ,正方體的六個(gè)面所在的平面與直線 CE,EF 相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為 ,那DA mn 么 mn （ ） A8 B9 C10 D11 【答案】A 14. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理） （純 WORD 版含答案） ）一 個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz中的坐標(biāo)分別是 (1,0),(1)0,畫該 四面體三視圖中的正視圖時(shí),以 平面為投影面,則得到正視圖可以為 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) （ ） A B C D 【答案】A 15. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）在下列命題 中,不是公理的是 （ ） A平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行 B過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面 C如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi) D如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn), 那么他們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線 【答案】A 16. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）在空間中, 過點(diǎn) 作平面 的垂線,垂足為 ,記 .設(shè) 是兩個(gè)不同的平面,對(duì)空間B)(Af 任意一點(diǎn) , ,恒有 ,則 （ ）P)(21 PQf21Q A平面 與平面 垂直 B平面 與平面 所成的(銳)二面角為 045 C平面 與平面 平行 D平面 與平面 所成的(銳)二面角為 06 【答案】A 17. （2013 年高考四川卷（理） ）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以 是 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 【答案】D 二、填空題 18. （2013 年高考上海卷（理） ）在 平面上,將兩個(gè)半圓弧 和xOy2(1)(1)xyx 、兩條直線 和 圍成的封閉圖形記為 D,如圖中陰2(3)1(3)xyx1 影部分.記 D 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為 ,過 作 的水平截面,所(0)|y 得截面面積為 ,試?yán)米鏁溤?、一個(gè)平放的圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體 ,得出248 的體積值為_ 【答案】 . 216 19. （2013 年高考陜西卷（理） ）某幾何體的三視圖如圖所示, 則其體積為_ _.3112 1 【答案】 3 20. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD 版含答案（已校對(duì)） ）已 知圓 和圓 是球 的大圓和小圓 ,其公共弦長(zhǎng)等于球 的半徑, ,且圓 與OKO32KO 圓 所在的平面所成的一個(gè)二面角為 ,則球 的表面積等于 _.60 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 【答案】 16 21. （2013 年高考北京卷（理） ）如圖,在棱長(zhǎng)為 2 的正方體 ABCD-A1B1C1D1中, E 為 BC 的中 點(diǎn),點(diǎn) P 在線段 D1E 上,點(diǎn) P 到直線 CC1的距離的最小值為_.1BPADCEBA1A 【答案】 25 22. （2013 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)） （已校對(duì)純 WORD 版含附 加題） ）如圖,在三棱柱 中, 分別是 的中點(diǎn),ABC1FED， 1ACB， 設(shè)三棱錐 的體積為 ,三棱柱 的體積為 ,則ADEFV12V _.21:VABC1DEF1 【答案】 1:24 23. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）若某幾何體 的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積等于_ .2cm 4 3 2 3 3 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 （第 12 題圖） 【答案】24 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 24. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）如圖,正方 體 的棱長(zhǎng)為 1,P 為 BC 的中點(diǎn),Q 為線段 上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn) A,P,Q1ABCD 1C 的平面截該正方體所得的截面記為 S.則下列命題正確的是_(寫出所有正 確命題的編號(hào)). 當(dāng) 時(shí),S 為四邊形;當(dāng) 時(shí),S 為等腰梯形;當(dāng) 時(shí),S 與102CQ12CQ34CQ 的交點(diǎn) R 滿足 ;當(dāng) 時(shí),S 為六邊形;當(dāng) 時(shí),S 的面1D1341 積為 .62 【答案】 25. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD 版） ）某幾何體的三 視圖如圖所示,則該幾何體的體積是_. 【答案】 16 26. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）已知某一多 面體內(nèi)接于一個(gè)簡(jiǎn)單組合體,如果該組合體的正視圖.測(cè)試圖.俯視圖均如圖所示,且圖 中的四邊形是邊長(zhǎng)為 2 的正方形,則該球的表面積是_ 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 【答案】 12 27. （2013 年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）在如圖所示的正方體 中,異面直線 與 所成角的大小為 _1ABCD1ABC D1 C1 B1A1 D C A B 【答案】 3 三、解答題 28. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD 版） ）如圖,AB 是圓 的直徑,PA 垂直圓所在的平面,C 是圓上的點(diǎn). (I)求證: PACB平 面 平 面 ； (II) 2 .BCPBA若 ， 1， ， 求 證 ： 二 面 角 的 余 弦 值 【答案】 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 29. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案） ）如圖,四棱錐PABCD 中, ABCD底 面 , 2,4,3ACBACD,F 為 的中點(diǎn), FP. (1)求 的長(zhǎng); (2)求二面角 F的正弦值. 【答案】 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 30. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）如圖,圓錐 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 頂點(diǎn)為 .底面圓心為 ,其母線與底面所成的角為 22.5°. 和 是底面圓 上poABCDO 的兩條平行的弦,軸 與平面 所成的角為 60°.OPCD ()證明:平面 與平面 的交線平行于底面; ()求 .PABCDcosCOD 【答案】解: () ,/ /mPABP設(shè) 面 面 直 線 且 面 面 . /直 線 面直 線面 / 所以, . CDDPAB的 公 共 交 線 平 行 底 面與 面面 C () . rPOOPFr 5.2tan.60, 由 題 知， 則的 中 點(diǎn) 為線 段設(shè) 底 面 半 徑 為 . t14,2cos5.2tan60t60tan, rPOF )23(),-2(3,1-.t1cos2cos CDCD . 27cos.-17O所 以 法二: 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 31. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）如圖,在四 面體 中, 平面 , . 是 的中BCDABCD2,BDAMA 點(diǎn), 是 的中點(diǎn),點(diǎn) 在線段 上,且 .PMQQC3 (1)證明: 平面 ;(2)若二面角 的大小為 ,求 的大小./ M06C A B C D P Q M （第 20 題圖） 【答案】解:證明()方法一:如圖 6,取 的中點(diǎn) ,且 是 中點(diǎn),所以FMAD .因?yàn)?是 中點(diǎn),所以 ;又因?yàn)?) 且3AFPBM/PB3QC ,所以 ,所以面 面 ,且 面 ,所以D/QFQCPB 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 面 ; /PQBDC 方法二:如圖 7 所示,取 中點(diǎn) ,且 是 中點(diǎn),所以 ;取 的三BDOPBM1/2PODC 等分點(diǎn) ,使 ,且 ,所以 ,所以H3C3AQ/4HA ,且 ,所以 面 ; /POQH ()如圖 8 所示,由已知得到面 面 ,過 作 于 ,所以BCGB ,過 作 于 ,連接 ,所以 就是 的CGBMDCMD 二面角;由已知得到 ,設(shè) ,所以 813D , cos,in2cos2cosin,2sinCGB 在 中 , ,所以在RTBsiniBGC 中, ,所以在 中 HG 221sin33siHRTCHG 2cosintantan6033CGCHGH 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) ; tan3(0,9)6060BDC 32. （2013 年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）如圖,在正三棱錐 中,1ABC ,異面直線 與 所成角的大小為 ,求該三棱柱的體積.16A1BCA6 B1 A1 C1 A C B 【答案】解因?yàn)?. 1A 所以 為異面直線 與 .所成的角,即 = . 1B11BC6 在 Rt 中, , 1BC113tan62 從而 , 234ABCS 因此該三棱柱的體積為 . 1368ABCVS 33. （2013 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)） （已校對(duì)純 WORD 版含附 加題） ）本小題滿分 14 分. 如圖,在三棱錐 中,平面 平面 , , ,過 作SBCAAS ,垂足為 ,點(diǎn) 分別是棱 的中點(diǎn).SBAFGE， 求證:(1)平面 平面 ; (2) ./ABABCE 【答案】證明:(1) , F 分別是 SB 的中點(diǎn) ASSBF E.F 分別是 SA.SB 的中點(diǎn) EFAB 又EF 平面 ABC, AB 平面 ABC EF平面 ABC 同理:FG平面 ABC 又EF FG=F, EF.FG 平面 ABC平面 平面 /EGAC 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) (2)平面 平面 SABC 平面 平面 =BC AF 平面 SAB AFSB AF平面 SBC 又BC 平面 SBC AFBC 又 , AB AF=A, AB.AF 平面 SAB BC平面 SAB 又SA 平面BCA SABBCSA 34. （2013 年高考上海卷（理） ）如圖,在長(zhǎng)方體 ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A 1A=1,證明 直線 BC1平行于平面 DA1C,并求直線 BC1到平面 D1AC 的距離.D 1 C1B1A1DCBA 【答案】因?yàn)?ABCD-A1B1C1D1為長(zhǎng)方體,故 , 11/,ABCD 故 ABC1D1為平行四邊形,故 ,顯然 B 不在平面 D1AC 上,于是直線 BC1平行于1/ 平面 DA1C; 直線 BC1到平面 D1AC 的距離即為點(diǎn) B 到平面 D1AC 的距離設(shè)為 h 考慮三棱錐 ABCD1的體積,以 ABC 為底面,可得 (2)33V 而 中, ,故 1AC152A1ADCS 所以, ,即直線 BC1到平面 D1AC 的距離為 . 323Vh 35. （2013 年高考湖北卷（理） ）如圖, 是圓 的直徑 ,點(diǎn) 是圓 上異于 的點(diǎn),BOAB 直線 平面 , , 分別是 , 的中點(diǎn).PCABEFPA (I)記平面 與平面 的交線為 ,試判斷直線 與平面 的位置關(guān)系,并加CllPC 以證明; (II)設(shè)(I)中的直線 與圓 的另一個(gè)交點(diǎn)為 ,且點(diǎn) 滿足 .記直線l DQ12 與平面 所成的角為 ,異面直線 與 所成的角為 ,二面角PQABPEF 的大小為 ,求證: .ElCsinsi 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 第 19 題圖 【答案】解:(I) , , EFACABC平 面 EFABC平 面 BA平 面 又 平 面 EFl PCA平 面 (II)連接 DF,用幾何方法很快就可以得到求證.(這一題用幾何方法較快,向量的方法很 麻煩,特別是用向量不能方便的表示角的正弦.個(gè)人認(rèn)為此題與新課程中對(duì)立體幾何的 處理方向有很大的偏差.) 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 36. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純 WORD 版） ）如圖 1,在等 腰直角三角形 中, , , 分別是 上的點(diǎn),ABC906BCDEACB , 為 的中點(diǎn) .將 沿 折起,得到如圖 2 所示的四棱錐2DEOA 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) C D O x E A 向量法圖 y z B ,其中 .ABCDE3AO () 證明: 平面 ; () 求二面角 的平面角的余弦值.BCEACDB .C O B D E A C D O B E 圖 1 圖 2 【答案】() 在圖 1 中,易得 3,2,OA C D O B E H 連結(jié) ,在 中,由余弦定理可得 EC 2cos45OOD 由翻折不變性可知 , 2A 所以 ,所以 , 2 理可證 , 又 ,所以 平面 . EAOBCDE () 傳統(tǒng)法:過 作 交 的延長(zhǎng)線于 ,連結(jié) , OHCDH 因?yàn)?平面 ,所以 , AB 所以 為二面角 的平面角. A 結(jié)合圖 1 可知, 為 中點(diǎn),故 ,從而 32230AO 所以 ,所以二面角 的平面角的余弦值為 . 15cosOHA B15 向量法:以 點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示, Oxyz 則 , , 030C12,D 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 所以 , 0,3CA1,23DA 設(shè) 為平面 的法向量,則 nxyzC ,即 ,解得 ,令 ,得 0A 023zy3yxz1,3n 由() 知, 為平面 的一個(gè)法向量, ,ODB 所以 ,即二面角 的平面角的余弦15cos,3nAACDB 值為 . 15 37. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案） ）如圖, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, 側(cè)棱 A1A底面 ABCD, AB/DC, AB AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 為棱 AA1的中點(diǎn). () 證明 B1C1 CE; () 求二面角 B1-CE-C1的正弦值. () 設(shè)點(diǎn) M 在線段 C1E 上, 且直線 AM 與平面 ADD1A1所成角的正弦值為 , 求線段26 AM 的長(zhǎng). 【答案】 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 38. （2013 年高考新課標(biāo) 1（理） ）如圖,三棱柱 ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,BA A1=60°. ()證明 ABA 1C; ()若平面 ABC平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直線 A1C 與平面 BB1C1C 所成角的正弦值. 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 【答案】()取 AB 中點(diǎn) E,連結(jié) CE, 1AB, E, AB= 1A, 1B= 06, 1A是正三角形, EAB, CA=CB, CEAB, 1CEA=E,AB面 1CEA, AB 1AC; ()由()知 ECAB, 1EAAB, 又面 ABC面 B,面 ABC面 1B=AB,EC面 1B,EC 1EA, EA,EC, 1兩兩相互垂直,以 E 為坐標(biāo)原點(diǎn), A 的方向?yàn)?x軸正方向,| |為單位 長(zhǎng)度,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 Oxyz, 有題設(shè)知 A(1,0,0), 1A(0, 3,0),C(0,0, 3),B(-1,0,0),則 BC =(1,0, 3), 1B =1A =(-1,0, ), C =(0,- , ), 設(shè) n=(,)xyz是平面 1B的法向量, 則 10 ,即 30xzy ,可取 n=( 3,1,-1), cos,ACn= 1| |5 , 直線 A1C 與平面 BB1C1C 所成角的正弦值為 105 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 39. （2013 年高考陜西卷（理） ）如圖, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形, O 為 底面中心, A1O平面 ABCD, . 12AB () 證明: A1C平面 BB1D1D; () 求平面 OCB1與平面 BB1D1D 的夾角 的大小. OD1B1C1DACBA1 【答案】解:() ;又因?yàn)?在正BDOACBDA11 ,面且面 方形 AB CD 中, . CCDC 11111, ， 故面且面所 以； 且 在正方形 AB CD 中,AO = 1 . .11OART中 ，在 .EEEB 11 為 正 方 形 ， 所 以， 則 四 邊 形的 中 點(diǎn) 為設(shè) ， 所 以 由 以 上 三 點(diǎn) 得且，面面又 BDOD1111 ., .(證畢) CA1面 () 建立直角坐標(biāo)系統(tǒng),使用向量解題. 以 O 為原點(diǎn),以 OC 為 X 軸正方向,以 OB 為 Y 軸正方向.則 . )1,0()1,(0()(01 CABAB，）（ 由()知, 平面 BB1D1D 的一個(gè)法向量 .0,1),(）（OCBn 設(shè)平面 OCB1的法向量為 ，則 0,22OCnn).1-,(向?yàn)榻?得 其 中 一 個(gè) . 2|,cos| 211 nn 所以,平面 OCB1與平面 BB1D1D 的夾角 為 3 40. （2013 年高考江西卷（理） ）如圖,四棱錐 中,PABCD OD1B1C1DACBA1 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) ,ABCDE平 面 為 的 中 點(diǎn) GPD為 的 中 點(diǎn) ， ,連接 并延長(zhǎng)交 于 .312AB， CEADF (1) 求證: ;F平 面 (2) 求平面 與平面 的夾角的余弦值.BCP 【答案】解:(1)在 中,因?yàn)?是 的中點(diǎn),所以 , ABDEB1EABD 故 , ,23B 因?yàn)?,所以 , CC 從而有 , FE 故 ,又因?yàn)?所以 . ,A,PGFPA 又 平面 , PBD 所以 故 平面 . GC (3) 以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系,則 , 3(0,)(1,0)(,),(03)2AB 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) (4) ,故 3(0)2P1333(0),(,)(,0)222BCPCD ， ， ， 設(shè)平面 的法向量 ,則 , 11(,)nyz 11032yz 解得 ,即 . 132yz1(,)3n 設(shè)平面 的法向量 ,則 ,解得 , DCP22(1,)nyz 230yz23yz 即 .從而平面 與平面 的夾角的余弦值為2(1,3)n BCPD . 12 42cos689 41. （2013 年高考四川卷（理） ）如圖,在三棱柱 中,側(cè)棱 底面 ,1ABC1ABC , , 分別是線段 的中點(diǎn), 是線段12ABC20BA1D1P 的中點(diǎn).D ()在平面 內(nèi),試作出過點(diǎn) 與平面 平行的直線 ,說明理由,并證明直線P1l 平面 ;l1 ()設(shè)()中的直線 交 于點(diǎn) ,交 于點(diǎn) ,求二面角 的余弦lABMCN1AMN 值. 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) D1DC BA 1 B1C1AP 【答案】解: 如圖,在平面 內(nèi),過點(diǎn) 做直線 / ,因?yàn)?在平面 外, ACPlBCl1ABC 在平面 內(nèi),由直線與平面平行的判定定理可知 , /平面 . BC1Al1ABC 由已知, , 是 的中點(diǎn),所以, ,則直線 . DBCBD 因?yàn)?平面 ,所以 直線 .又因?yàn)?在平面 內(nèi),且11Al1A1 與 相交,所以直線平面 解法一: 連接 ,過 作 于 ,過 作 于 ,連接 . 1AP1EAPE1FAMF 由 知 , 平面 ,所以平面 平面 . MNN 所以 平面 ,則 . 11 所以 平面 ,則 . 1AEFA 故 為二面角 的平面角(設(shè)為 ). 1N 設(shè) ,則由 , ,有 , . 112BC20B60BAD2,1A 又 為 的中點(diǎn),所以 為 的中點(diǎn),且 , PADMA1,PM 在 中, ;在 中, . 1Rt152P1Rt12A 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 從而, , ,15APE12AMF 所以 . 2sinF 所以 . 2215co1si 故二面角 的余弦值為 1AMN 解法二: 設(shè) .如圖,過 作 平行于 ,以 為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以 , 的11E1BC1A1AED1 方向?yàn)?軸, 軸, 軸的正方向 ,建立空間直角坐標(biāo)系 (點(diǎn) 與點(diǎn) 重合). xyz Oxyz 則 , . 10A,1 因?yàn)?為 的中點(diǎn),所以 分別為 的中點(diǎn), PD,MNABC 故 , 33,1122M 所以 , , . 1A 10A3,0 設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ,則 111,nxyz 即 故有 1,nMA 10,n 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 1 31,0,2xyz 從而 11 30,2.xyz 取 ,則 ,所以 . 111,30n 設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ,則 AMN22xyz 即 故有 21,n 210,n231,0,2,xyz 從而 22 30,.xyz 取 ,則 ,所以 . 2y21z2,1n 設(shè)二面角 的平面角為 ,又 為銳角, AMN 則 . 12,30,15cos5n 故二面角 的余弦值為 1AN 42. （2013 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)） （已校對(duì)純 WORD 版含附 加題） ）本小題滿分 10 分. 如圖,在直三棱柱 中, , , ,點(diǎn) 是1BCACB2A41D 的中點(diǎn)BC (1)求異面直線 與 所成角的余弦值1D (2)求平面 與 所成二面角的正弦值.AB 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 【答案】本題主要考察異面直線.二面角.空間向量等基礎(chǔ)知識(shí)以及基本運(yùn)算,考察運(yùn)用 空間向量解決問題的能力. 解:(1)以 為為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系 , 1,ACB xyzA 則 , , , , )0,(A)2(B)0(C)4(1A)01(D)4,2(C ,41,1 10382,cos1BAD 異面直線 與 所成角的余弦值為 1C (2) 是平面 的的一個(gè)法向量 )0,2(A1 設(shè)平面 的法向量為 , , 1D),(zyxm)01(AD)4,2(1C 由 1,Cm 取 ,得 ,平面 的法向量為 042zyxz2,xy1 )1,2(m 設(shè)平面 與 所成二面角為 1AD1B 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) , 得 324,cos mAC 35sin 平面 與 所成二面角的正弦值為 1ADC1B5 43. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD 版含答案（已校對(duì)） ）如 圖,四棱錐 中, 與 都是P902,ACBDCAPB， AD 等邊三角形. (I)證明: (II)求二面角 的大小.;BDP 【答案】 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 44. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案） ）如圖所示,在三 棱錐 PABQ中, 平面 ABQ, PB,DCEF 分別是, 的中點(diǎn), 2, 與 交于點(diǎn) G,P與 Q交于點(diǎn) H, 連接 GH. ()求證: AB; ()求二面角 DHE的余弦值. 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 【答案】解:()證明:因?yàn)?,DCEF 分別是 ,AQBP的中點(diǎn), 所以 EF AB, ,所以 , 又 平面 P, 平面 P, 所以 平面 CD, 又 EF平面 Q,平面 EF平面 CDGH, 所以 GH, 又 AB, 所以 . ()解法一:在 Q中, 2ABD, Q, 所以 =90AB ,即 ,因?yàn)?P平面 A,所以 BP, 又 P,所以 平面 ,由()知 GH, 所以 GH平面 Q,又 FH平面 BQ,所以 F,同理可得 C, 所以 FC為二面角 DGE的平面角,設(shè) 2ABP,連接 , 在 tR B中,由勾股定理得, 2C, 在 P中,由勾股定理得, 5P, 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 又 H為 PBQ的重心,所以 153HCP 同理 53F , 在 HC中,由余弦定理得 5249cosFHC , 即二面角 DGE的余弦值為 45 . 解法二:在 ABQ中, 2D, AQ, 所以 90,又 P平面 B,所以 BP兩兩垂直, 以 為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以 ,所在直線為 x軸, y軸, z軸,建立如圖所示的空 間直角坐標(biāo)系,設(shè) 2AQ,則 (10)E, (1)F, (02)Q, (1,0)D,(01)C(,2)P ,所以 ( , , P , , 設(shè)平面 EFQ的一個(gè)法向量為 1(,)mxyz , 由 0m , , 得 112xyz 取 1,得 (0,) . 設(shè)平面 PDC的一個(gè)法向量為 2(,)nxyz 由 n , , 得 220xyz 取 21z,得 (0,21)n .所以 4cos,5mn 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 因?yàn)槎娼?DGHE為鈍角,所以二面角 DGHE的余弦值為 45 . 45. （2013 年高考湖南卷（理） ）如圖 5,在直棱柱 ,1/ABCADBC中 ， , .90,1BACB 13 (I)證明: ; (II)求直線 所成角的正弦值.1ACBD11BCAD與 平 面 【答案】解: () ACB 111 ,面且面是 直 棱 柱 . DBABBA11, ，面。面且又 (證畢) () 。的 夾 角與 平 面的 夾 角 即 直 線與 平 面直 線 1111,/ ACDCDC 軸 正 半 軸 。為軸 正 半 軸 ，為點(diǎn) ，量 解 題 。 設(shè) 原 點(diǎn) 在建 立 直 角 坐 標(biāo) 系 ， 用 向 XYAB BDACyDyCyBDA ),03(),01()0,1(),0(),3(),03(,1 ， 則，設(shè) ).,(),3(.3, 12 AyBC ），（），（的 一 個(gè) 法 向 量平 面則的 法 向 量 為設(shè) 平 面 30,3-.0, 111 AnADnCA 7213|,cos|i3,3-1 DCD），（），（的 一 個(gè) 法 向 量平 面 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) . 72111夾 角 的 正 弦 值 為與 平 面所 以 ACDB 46. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）如圖,在四 棱柱 中,側(cè)棱 , , , ,11ABCD底 面 /A13ABk , , .4Ak5B6k(0) (1)求證: 1;CD平 面 (2)若直線 與平面 所成角的正弦值為 ,求 的值;1A67k (3)現(xiàn)將與四棱柱 形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼接成一個(gè)新1BCD 的棱柱,規(guī)定:若拼接成的新的四棱柱形狀和大小完全相同,則視為同一種拼接方案.問: 共有幾種不同的方案?在這些拼接成的新四棱柱中,記其中最小的表面積為 ,寫出()fk 的表達(dá)式(直接寫出答案,不必要說明理由)fk 【答案】解:()取 中點(diǎn) ,連接 CDEB , /ABEQ3k 四邊形 為平行四邊形 且 4A 在 中, V,5k 22BEC ,即 ,又 ,所以 90BED/AQCD 平面 , 平面 1AQ ,又 , 1AI 平面 CD ()以 為原點(diǎn), 的方向?yàn)?軸的正方向建立如圖所示的空間直角1,CDurr,xyz 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 坐標(biāo)系 , , , (40)Ak(60)Ck1(43)Bk1(4,0)A 所以 , , , urAur,ur 設(shè)平面 的法向量 ,則由 1B()nxyz10CnAB r 得 取 ,得 4603kxyz2(3,6)k 設(shè) 與平面 所成角為 ,則 1A1BC11,sin|co,|Anurr ,解得 .故所求 的值為 1 2673kkk ()共有 種不同的方案 4 256,018()3,kkf 47. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理） （純 WORD 版含答案） ）如 圖,直棱柱 1ABC中, DE分別是 1,AB的中點(diǎn), 12ACBA. ()證明: 1/平面 1; ()求二面角 1E的正弦值.ABCD11BE 【答案】 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 48. （2013 年高考北京卷（理） ）如圖,在三棱柱 ABC-A1B1C1中, AA1C1C 是邊長(zhǎng)為 4 的正方 形,平面 ABC平面 AA1C1C,AB=3,BC=5. ()求證: AA1平面 ABC; ()求二面角 A1-BC1-B1的余弦值; ()證明:在線段 BC1存在點(diǎn) D,使得 AD A1B,并求 的值.1DC 【答案】解: (I)因?yàn)?AA1C1C 為正方形,所以 AA1 AC. 因?yàn)槠矫?ABC平面 AA1C1C,且 AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線 AC,所以 AA1平面 ABC. (II)由(I)知 AA1 AC,AA 1 AB. 由題知 AB=3,BC=5,AC=4,所以 ABAC. 如圖,以 A 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 A- ,則 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), xyz 設(shè)平面 A1BC1的法向量為 ,則 ,即 , )n=(10ABC n340yzx 版權(quán)所有：中華資源庫(kù) 令 ,則 , ,所以 . 3z0x4y(0,43)n= 同理可得,平面 BB1C1的法向量為 ,所以 . 由m16cos25nm,| 題知二面角 A1-BC1-B1為銳角,所以二面角 A1-BC1-B1的余弦值為 . (III)設(shè) D 是直線 BC1 上一點(diǎn),且 . 所以 .解(,)xyzBDC (,3)(4,)xyz 得 , , . 434 所以 . (,)A 由 ,即 .解得 . 1·0DB9250925 因?yàn)?,所以在線段 BC1上存在點(diǎn) D, 25 使得 ADA 1B. 此時(shí), . 19BC