高一數(shù)學（人教A版）必修4能力提升：2-3-2、3 平面向量的正交分解及坐標表示 平面向量的坐標運算

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能 力 提 升 一、選擇題 1．已知＝(2,3)，則點N位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．不確定 [答案]　D [解析]　因為點M的位置不確定，則點N的位置也不確定． 2．已知M(2,3)、N(3,1)，則的坐標是(　　) A．(2，－1) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(1，－2) [答案]　B [解析]?。?2,3)－(3,1)＝(－1,2)． 3．已知＝a，且A，B，又λ＝，則λa等于(　　) A. B. C. D. [答案]　A [解析]　a＝＝－ ＝，λa＝a＝，故選A. 4．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d為(　　) A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6) [答案]　D [解析]　由題意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0， 則d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)． 5．(2011～2012·凱里高一檢測)已知向量a、b滿足：a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，則a、b的坐標分別為(　　) A．(4,0)、(－2,6) B．(－2,6)、(4,0) C．(2,0)、(－1,3) D．(－1,3)、(2,0) [答案]　C [解析]　∵a＋b＝(1,3)　① a－b＝(3，－3)　② ∴①＋②得：a＝(2,0)． ①－②得：b＝(－1,3)． 6．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，若c＝ka＋lb，則k、l的值為(　　) A．－2,3 B．－2，－3 C．2，－3 D．2,3 [答案]　D [解析]　利用相等向量的定義求解． ∵a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)， ∴(11,7)＝k(1,2)＋l(3,1)， 即，解得：k＝2，l＝3. 二、填空題 7．已知＝(3,4)，B(2，－1)，則點A的坐標是____________． [答案]　(－1，－5) [解析]　設(shè)A(x，y)，則＝(2－x，－1－y)＝(3,4)． 故解得x＝－1，y＝－5. 8．已知兩點M(3，－2)，N(－5，－1)，點P滿足＝，則點P的坐標是________． [答案]　(－1，－) [解析]　設(shè)P(x，y)，則＝(x－3，y＋2)， ＝(－8,1)． ∵＝，∴(x－3，y＋2)＝(－8,1)． 即，解得，∴P(－1，－)． 9．(探究題)設(shè)向量繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得向量，且2＋＝(7,9)，且向量＝________. [答案]　 [解析]　設(shè)＝(m，n)，則＝(－n，m)，所以2＋＝(2m－n,2n＋m)＝(7,9)，即 解得因此，＝. 三、解答題 10．已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M、N是AB、AC的中點，D是BC的中點，MN與AD交于點F，求. [解析]　因為A(7,8)，B(3,5)，C(4,3) 所以＝(－4，－3)，AC＝(－3，－5)． 又因為D是BC的中點，有＝(＋)＝(－3.5，－4)，而M、N分別為AB、AC的中點， 所以F為AD的中點， 故有＝＝－＝(1.75,2)． 11．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，將下列向量表示成xa＋yb的形式． (1)p＝(2,3)；(2)q＝(－3,2)． [解析]　xa＋yb＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)． (1)由p＝(2,3)＝(x＋y，x－y)，得即　所以p＝a－b. (2)由q＝(－3,2)＝(x＋y，x－y)，得 即所以q＝－a－b. 12．已知向量u＝(x，y)與向量ν＝(y,2y－x)的對應關(guān)系用ν＝f(u)表示． (1)求證：對于任意向量a、b及常數(shù)m、n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立； (2)設(shè)a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐標； (3)求使f(c)＝(p，q)(p、q為常數(shù))的向量c的坐標． [解析]　(1)證明：設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，mf(a)＋nf(b)＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)． ∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立． (2)f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)． (3)設(shè)c＝(x，y)，則f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)． ∴y＝p,2y－x＝q.∴x＝2p－q. ∴向量c＝(2p－q，p)．