2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步 1.2 點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系 1.2.4 第二課時(shí) 兩平面垂直課件 蘇教版必修2.ppt

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1、第二課時(shí) 兩平面垂直,,第1章 立體幾何初步,學(xué)習(xí)導(dǎo)航,,第1章 立體幾何初步,1．二面角的概念 (1)半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成__________，其中的每一部分都叫做半平面． (2)二面角：一條直線和由這條直線出發(fā)的______________所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做______________每個(gè)半平面叫做______________，如圖①，②中，棱為l或AB，面為α、β記作α－l－β(α－AB－β)或P－l－Q(P－AB－Q)(P，Q分別為在α、β內(nèi)且不在棱上的點(diǎn))．,兩部分,兩個(gè)半平面,二面角的棱,二面角的面,任意一點(diǎn),垂直于棱,符號(hào)語(yǔ)言：α∩β＝l,O∈

2、l,OA?α,OB?β，___________，____________?∠AOB為二面角α－l－β的平面角． (4)二面角大小的度量： 二面角的大小可以用它的_____________來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度．二面角α的大小范圍是_______________________.平面角是直角的二面角叫做______________,OA⊥l,OB⊥l,平面角,0≤α≤180.,直二面角,(3)兩個(gè)平面垂直的判定定理,如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直,l⊥α，l?β?α⊥β,3.平面與平面垂直的性質(zhì)定理,垂直于,1．經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)和平面

3、α內(nèi)一點(diǎn)與平面α垂直的平面有___________個(gè)． 解析：記這兩點(diǎn)確定的直線為l.當(dāng)l 是平面α的斜線時(shí)，設(shè)l在α內(nèi)的射影為m，則l與m確定一個(gè)平面β，這時(shí)β⊥α；當(dāng)l⊥α?xí)r，則過(guò)l的任一平面都與α垂直． 2．下列命題中，是真命題的為_(kāi)_______(填序號(hào))． ①二面角的大小范圍是大于0且小于90； ②一個(gè)二面角的平面角可以不相等； ③二面角的平面角的頂點(diǎn)可以不在棱上； ④二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直．,1或無(wú)數(shù),④,解析：二面角的大小范圍是[0，180]，故①不正確；一個(gè)二面角的平面角可以有許多個(gè)，由等角定理，這些平面角必相等，故②為假命題；由二面角的平面角的定義可知③不正

4、確；由線面垂直的判定定理可知④正確． 3．下列說(shuō)法：①兩個(gè)相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直，則a，b所成的角與這個(gè)二面角相等或互補(bǔ)；③二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線所成角的最小角，其中正確的是________．(填序號(hào)),②,解析：對(duì)于①，混淆了平面與半平面的概念，是錯(cuò)誤的；對(duì)于②，由于a，b分別垂直于兩個(gè)平面，所以也垂直于二面角的棱，但由于異面直線所成的角為銳角(或直角)，所以應(yīng)是相等或互補(bǔ)，是正確的；對(duì)于③，因?yàn)椴淮怪庇诶?，所以是錯(cuò)誤的． 4．如圖，在正四面體P-ABC(棱長(zhǎng)均相等)中,E是BC的中點(diǎn)．則平面PAE與平面ABC

5、的位置關(guān)系是________． 解析：因?yàn)镻B＝PC，E是BC的中點(diǎn)，所以PE⊥BC，同理AE⊥BC，又AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE.又BC?平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC.,垂直,如圖，在四面體SABC中，∠ASC＝90，∠ASB＝∠BSC＝60，SA＝SB＝SC. 求證：平面ASC⊥平面ABC. (鏈接教材P48例2),面面垂直的判定,法二：同上可證得BA＝BC＝BS. 作BD⊥平面ASC交于D，連結(jié)DA，DC，DS. ∵BA＝BC＝BS，∴DA＝DC＝DS. ∴D為△ACS的外心． ∵△ACS中，AS⊥CS， ∴△ACS的外心落在斜邊的中點(diǎn)上，即D∈AC， ∵BD?平面A

6、BC.∴平面ASC⊥平面ABC.,方法歸納 根據(jù)面面垂直的定義判定兩平面垂直實(shí)質(zhì)上是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了求二面角的平面角，通常情況下利用判定定理要比定義簡(jiǎn)單些，是證明面面垂直的常用方法，即要證面面垂直，只要轉(zhuǎn)證線面垂直，其關(guān)鍵與難點(diǎn)是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一平面垂直．,1. 如圖，設(shè)AB是圓O的直徑，C是圓周上除A，B外的任意一點(diǎn)，PA⊥平面ABC.求證：平面PAC⊥平面PBC. 證明：在圓O中，AB是直徑，C為圓O上除A，B外的一點(diǎn)，故∠ACB＝90，即AC⊥BC.又PA⊥平面ABC， BC?平面ABC， ∴PA⊥BC.故BC⊥平面PAC. ∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC.

7、,如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1，求證：CF⊥平面BDE. (鏈接教材P49練習(xí)T6),面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用,方法歸納 在應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)必須注意兩個(gè)條件：①線在平面內(nèi)；②線垂直于兩平面的交線，因此找準(zhǔn)兩平面的交線是關(guān)鍵． 在應(yīng)用線面平行、垂直的判定和性質(zhì)定理證明有關(guān)問(wèn)題時(shí)，善于運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想的同時(shí)，還應(yīng)注意尋找線面平行、垂直所需的條件．,如圖，在三棱錐V－ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2，VC＝1，試畫(huà)出二面角V－AB－C的平面角，并求它的度數(shù) (鏈接教材P47例1),求二面角的大小,[解] 取AB的中點(diǎn)E，連

8、結(jié)VE，CE. ∵VA＝VB＝AC＝BC＝2， ∴VE⊥AB，CE⊥AB， ∴∠VEC就是二面角的平面角． ∵VE＝EC＝VC＝1， ∴∠VEC＝60.,方法歸納 (1)求空間角，如二面角、直線和平面所成的角等，都是找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函數(shù)值． (2)求二面角的大小，其步驟一般有三步： ①“作”：作出二面角的平面角． ②“證”：證明所作的角是二面角的平面角． ③“求”：解三角形，求出這個(gè)角．,[規(guī)范與警示] (1)在線面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制條件，如“兩條相交直線”，“一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線”等，這既為

9、證明指明了方向，同時(shí)又有很強(qiáng)的制約性，所以使用這些定理時(shí)，一定要注意體現(xiàn)邏輯推理的規(guī)范性． (2)注意掌握好以下幾個(gè)相似的結(jié)論 ①垂直于同一平面的兩條直線平行． ②垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行． ③垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行或相交． ④垂直于同一條直線的兩條直線平行、相交或者異面．,[錯(cuò)因與防范] (1)使用線面平行的判定定理時(shí)，必須證得三個(gè)條件同時(shí)具備，才能判定直線與平面平行，不可省略任何一個(gè)條件． (2)由面⊥面?線⊥面?面⊥面，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，每步必須滿(mǎn)足定理的條件，如若省略條件，將導(dǎo)致證明推理過(guò)程不嚴(yán)密而丟分． (3)解題過(guò)程要表達(dá)準(zhǔn)確、格式要符合要求．每步推理要有根有據(jù)．計(jì)算題要有明確的計(jì)算過(guò)程，不可跨度太大，以免漏掉得分點(diǎn)．引入數(shù)據(jù)要明確，要寫(xiě)明已知、設(shè)等字樣，要養(yǎng)成良好的書(shū)寫(xiě)習(xí)慣．,4. 如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，E、F、G分別是AD、DC、CA的中點(diǎn)． 求證：平面BEF⊥平面BDG.,