高考數(shù)學(xué)人教A版（理）一輪復(fù)習(xí)：第八篇 第8講 立體幾何中的向量方法（二）

第8講 立體幾何中的向量方法（二）A級基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1已知向量m，n分別是直線l和平面的方向向量、法向量，若cosm，n，則l與所成的角為 ()A30° B60° C120° D150°解析設(shè)l與所成的角為，則sin |cosm，n|，30°.答案A2正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱BB1中點(diǎn)，G是DD1中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)且FBBC，則GB與EF所成的角為 ()A30° B120° C60° D90°解析如圖建立直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)DA1，由已知條件，得G，B，E，F(xiàn)，cos，0，則.答案D3長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為 ()A. B. C. D.解析建立坐標(biāo)系如圖，則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為.答案B4(2013·杭州月考)在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則sin，的值為 ()A. B. C. D.解析設(shè)正方體的棱長為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，答案B二、填空題(每小題5分，共10分)5(2013·連云港模擬)若平面的一個(gè)法向量為n(4,1,1)，直線l的一個(gè)方向向量為a(2，3,3)，則l與所成角的正弦值為_解析cosn，a.又l與所成角記為，即sin |cosn，a|.答案.6如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90°，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是_解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABBCAA12，則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，則(0，1,1)，(2,0,2)，·2，cos，EF和BC1所成角為60°.答案60°三、解答題(共25分)7(12分)如圖，四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩垂直，ABBCBD4，E、F分別為棱BC、AD的中點(diǎn)(1)求異面直線AB與EF所成角的余弦值；(2)求E到平面ACD的距離；(3)求EF與平面ACD所成角的正弦值解如圖，分別以直線BC、BD、BA為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則各相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,4)、C(4,0，0)、D(0,4，0)，E(2,0,0)、F(0，2,2)(1)(0,0，4)，(2,2,2)，|cos，|，異面直線AB與EF所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為n(x，y,1)，則(4,0，4)，(4,4,0)，xy1，n(1,1,1，)F平面ACD，(2,2,2)，E到平面ACD的距離為d.(3)EF與平面ACD所成角的正弦值為|cosn，|8(13分)如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，ADBC，ABC90°，PA平面ABCD，PA3，AD2，AB2，BC6.(1)求證：BD平面PAC；(2)求二面角PBDA的大小(1)證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，(0,0,3)，(2，6,0)，(2，2,0)·0，·0.BDAP，BDAC.又PAACA，BD面PAC.(2)解設(shè)平面ABD的法向量為m(0,0,1)，設(shè)平面PBD的法向量為n(x，y，z)，則n·0，n·0.(2，0,3)，解得令x，則n(，3,2)，cosm，n.二面角PBDA的大小為60°.B級能力突破(時(shí)間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1如圖，在四面體ABCD中，AB1，AD2，BC3，CD2.ABCDCB，則二面角ABCD的大小為 ()A.B.C.D.解析二面角ABCD的大小等于AB與CD所成角的大小.而22222|·|·cos ，即121492×2cos，cos，AB與CD所成角為，即二面角ABCD的大小為.故選B.答案B2如圖，設(shè)動點(diǎn)P在棱長為1的正方體ABCD­A1B1C1D1的對角線BD1上，記.當(dāng)APC為鈍角時(shí)，則的取值范圍是 ()A. B.C. D.解析由題設(shè)可知，以、為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D ­xyz，則有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)由(1,1，1)，得(，)，所以(，)(1,0，1)(1，1)，(，)(0,1，1)(，1，1)顯然APC不是平角，所以APC為鈍角等價(jià)于cos APCcos，0，這等價(jià)于·0，即(1)()()(1)(1)2(1)(31)0，得 1.因此，的取值范圍為.答案D二、填空題(每小題5分，共10分)3(2011·全國)已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為_解析如圖，建立直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)DA1由已知條件A(1,0,0)，E，F(xiàn)，設(shè)平面AEF的法向量為n(x，y，z)，面AEF與面ABC所成的二面角為，由得令y1，z3，x1，則n(1,1，3)平面ABC的法向量為m(0,0，1)cos cosn，m，tan .答案4在三棱錐OABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OAOBOC，M是AB邊的中點(diǎn)，則OM與平面ABC所成角的正切值是_解析如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OAOBOC1，則A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,1)，M，故(1,1,0)，(1,0,1)，.設(shè)平面ABC的法向量為n(x，y，z)，則由得令x1，得n(1,1,1)故cosn，所以O(shè)M與平面ABC所成角的正弦值為，其正切值為.答案三、解答題(共25分)5(12分)(2012·新課標(biāo)全國)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的中點(diǎn)，DC1BD.(1)證明：DC1BC.(2)求二面角A1BDC1的大小(1)證明由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形由于D為AA1的中點(diǎn)，故DCDC1.又ACAA1，可得DCDC2CC，所以DC1DC.而DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCD.因?yàn)锽C平面BCD，所以DC1BC.(2)解由(1)知BCDC1，且BCCC1，則BC平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1兩兩相互垂直以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 Cxyz.由題意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)則(0,0，1)，(1，1,1)，(1,0,1)設(shè)n(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，則即可取n(1,1,0)同理，設(shè)m(x，y，z)是平面C1BD的法向量，則即可取m(1,2,1)從而cosn，m.故二面角A1BDC1的大小為30°.6.(13分)(2012·全國)如圖，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一點(diǎn)，PE2EC.(1)證明：PC平面BED；(2)設(shè)二面角A­PB­C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小(1)證明以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AC為x軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz.設(shè)C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b>0，則P(0,0,2)，E，B.于是(2，0，2)，從而·0，·0，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.(2)解(0,0,2)，(，b,0)設(shè)m(x，y，z)為平面PAB的法向量，則m·0，且m·0，即2z0且xby0，令xb，則m(b，0)設(shè)n(p，q，r)為平面PBC的法向量，則n·0，且n·0，即2p2r0且bqr0，令p1，則r，q，n.因?yàn)槊鍼AB面PBC，故m·n0，即b0，故b，于是n(1，1，)，(，2)，cosn，n，60°.因?yàn)镻D與平面PBC所成角和n，互余，故PD與平面PBC所成的角為30°.特別提醒：教師配贈習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)光盤中內(nèi)容.