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1、工程力學,彭雅軒,2020年7月13日,第十一章 彎曲應力,對稱彎曲正應力 梁的強度條件 梁的合理強度設計,第一節(jié) 引言,彎曲切應力：梁彎曲時橫截面上的切應力。 彎曲正應力：梁彎曲時橫截面上的正應力。,組合變形:兩種或兩種以上的基本變形形式的組合。 常見的組合變形: 彎曲與軸向拉壓組合， 彎曲與扭轉組合， 以及彎曲、軸向拉壓與扭轉的組合。,第一節(jié) 引言,對稱彎曲：常見的梁往往至少具有一個對稱面，而外力則作用在該對稱面內(nèi)。梁的變形對稱于對稱面的變形形式稱為對稱彎曲。,第二節(jié) 對稱彎曲正應力,問題的提出：,如何簡化出火車車輪軸的計算模型? 如何計算火車車輪軸內(nèi)的應力? 如何設計車輪軸的橫截面?,,
2、,第二節(jié) 對稱彎曲正應力,平面彎曲( Plane Bending),,,,,,,,,純彎曲( Pure Bending) ： 彎矩為常量，剪力為零 （如圖中AB 段 ）,第二節(jié) 對稱彎曲正應力,實驗現(xiàn)象純彎曲時的變形特征,（2）各橫向線相對轉過了一個角度,,（1）各縱向線段彎成弧線，,且部分縱向線段伸長，,部分縱向線段縮短。,仍保持為直線。,（3）變形后的橫向線仍與縱向弧線垂直。,,,第二節(jié) 對稱彎曲正應力,純彎曲時的基本假設,變形后仍為平面,單向受力假設：梁內(nèi)各縱向“纖維”僅承受軸向拉應力或壓應力?？v向纖維間無正應力即縱向纖維無擠壓,平截面假設( Plane Assumption ),(a)
3、 變形前為平面的橫截面,(b) 仍垂直于變形后梁的軸線,第二節(jié) 對稱彎曲正應力,中性層：根據(jù)平面假設，當梁彎曲時，部分“纖維”伸長，部分“纖維”縮短，由伸長到縮短區(qū)，其間必存在一長度不變的過渡層稱為中性層。,中性軸：中性層與橫截面的交線。,綜上所述，純彎曲時梁的所有橫截面仍保持為平面，并繞中性軸作相對轉動，而所有縱向“纖維”則均處于單向受力狀態(tài)。,第二節(jié) 對稱彎曲正應力,彎曲正應力一般公式,通過考慮幾何、物理與靜力學三方面來建立直梁純彎曲時橫截面上的正應力公式。,研究思路：,變形,應變分布,應力分布,應力 表達式,第二節(jié) 對稱彎曲正應力,變形的幾何關系,,,,第二節(jié) 對稱彎曲正應力,變形的幾何
4、關系,第二節(jié) 對稱彎曲正應力,,,,,,,直梁純彎曲時縱向線段的線應變與它到中性層的距離成正比。,第二節(jié) 對稱彎曲正應力,物理方面 （ Hooke 定律）,由上推導,故,結論：直梁純彎曲時橫截面上任意一點的彎曲正應力， 與它到中性層的距離成正比。,,中性軸,,即沿截面高度，彎曲正應力與正應變均沿截面高度線性變化，在中性軸各點處為零，在梁截面最外邊緣各點處取得最大值。,第二節(jié) 對稱彎曲正應力,靜力學平衡方面,,橫截面上內(nèi)力系為垂直于 橫截面的空間平行力系。,這一力系向坐標原點O簡化， 得到三個內(nèi)力分量。,,第二節(jié) 對稱彎曲正應力,靜力學平衡方面,（2）,（3）,（1）,將應力表達式代入式（1）
5、，得,則,該式表明中性軸通過橫截面形心,,第二節(jié) 對稱彎曲正應力,靜力學平衡方面,將代入式（3）得,而,故,純彎曲時橫截面上彎曲正應力的計算公式為,公式應用條件：,第二節(jié) 對稱彎曲正應力,慣性矩,矩形截面,實心圓截面,空心圓截面,型鋼,可查型鋼表或用組合法求,最大彎曲正應力,第二節(jié) 對稱彎曲正應力,抗彎截面模量( Section Modulus),矩形截面,實心圓截面,空心圓截面,型鋼,可查型鋼表或用組合法求,最大彎曲正應力,第二節(jié) 對稱彎曲正應力,例1 如圖所示的懸臂梁，其橫截面為直徑等于200mm的實心圓，試計算軸內(nèi)橫截面上最大正應力。,分析：,純彎曲,解：,（1）計算Wz,（2）計算 m
6、ax,第二節(jié) 對稱彎曲正應力,（2）比較兩種情況下的重量比(面積比)：,由此可見，載荷相同、 max相等的條件下，采用空心軸節(jié)省材料。,例2 在相同載荷下，將例1中實心軸改成max 相等的空心軸，空心軸內(nèi)外徑比為0.6。求空心軸和實心軸的重量比。,解：（1）確定空心軸尺寸,由,,再見！,重點要求：,失效的分類及相關概念,強度條件及其工程應用,第三節(jié) 梁的強度條件,第十一章 彎曲應力,一、失效與許用 應力相關概念,一、失效與許用應力相關概念,失效 由于材料的力學行為而使構件 喪失正常功能的現(xiàn)象.,房屋毀壞,一、失效與許用應力相關概念,橋梁損壞,一、失效與許用應力相關概念,建筑物損壞,機
7、械構件損壞,強度失效形式： 脆性斷裂對脆性材料，當其正應力達到強度極限 b時，會引起斷裂而失效； 塑性屈服對塑性材料，當其正應力達到屈服極限 s時，會產(chǎn)生顯著的塑性變形而失效。,一、失效與許用應力相關概念,極限應力：通常將強度極限與屈服極限統(tǒng)稱為極限 應力，并用u表示； 工作應力：根據(jù)分析計算所得構件之應力； 許用應力：對于由一定材料制成的具體構件，工作 應力的最大容許值，并用表示； 許用應力值與極限應力的關系： 式中，n為大于1的因數(shù)，稱為安全系數(shù)。塑性材料的安全系數(shù)通常為1.52.2；脆
8、性材料的安全系數(shù)通常為3.05.0，甚至更大。,一、失效與許用應力相關概念,二、強度條件及 其工程應用,二、強度條件及其工程應用,在一般情況下，梁內(nèi)同時存在彎曲正應力與彎曲切應力，并沿截面高度非均勻分布； 對于一般細長的非薄壁截面梁， 故通常只需按彎曲正應力強度條件進行分析即可。 （請同學課下參照書上例題加以證明）,說 明,彎曲正應力強度條件,式中： 梁內(nèi)的最大彎曲正應力 材料在單向受力時的許用應力 M 梁某截面彎矩最大值 Wz 抗彎截面系數(shù),二、強度條件及其工程應用,塑性材料梁強度條件一般公式：,（1120）,二、強度條件及其工程應用,塑性材料等截面直梁強
9、度條件公式：,（1121）,脆性材料梁強度條件公式：,（1122）,已知梁（桿）截面尺寸、許用應力及所受外力時，判斷梁（桿）是否能安全工作。 即 （塑性材料） 或 （脆性材料）,二、強度條件及其工程應用,工程應用方法（解決三類問題）,校核強度,工程允許誤差為小于或等于5。,已知梁（桿）所受外力及許用應力時，根據(jù)強度條件確定梁（桿）所需截面形狀及尺寸。 即,二、強度條件及其工程應用,選擇截面形狀及尺寸,已知梁（桿）截面尺寸和許用應力時，確定梁（桿）所能承受的許可載荷：,二、強度條件及其工程應用,確定承載能力,二、強度條件及其工程應
10、用,解題一般步驟,用靜力學平衡條件求出外力； 畫出剪力圖和彎矩圖并確定 作用面以及它們的數(shù)值，以便確定可能危險面。 根據(jù)危險面上內(nèi)力的實際方向，確定應力分布以及 的作用點，綜合考慮材料的力學性能，確定可能的危險點。 根據(jù)危險點的應力狀態(tài)，區(qū)分脆性材料與塑性材料，選擇合適的設計準則，解決不同類型的強度問題即強度校核、截面形狀與尺寸設計、確定許用荷載。,二、強度條件及其工程應用,應用實例1,解： 求最大彎矩,,,,一承受均布載荷的梁，其跨度為L200mm，梁截面的直徑為d=25mm，許用彎曲應力150MPa。試決定沿梁每米長度上可能承受的最大載荷q為多少？,確定梁的抗彎截面模量,由強度條件知：,
11、即,解得,圓形截面簡支梁，受力如圖所示，已知許用應力=12Mpa，直徑為d，若直徑增加一倍，則載荷q最大可增加到多大？,應用實例2,解： 求最大彎矩,若直徑增加一倍，則：,由強度條件知：,載荷q變?yōu)?解得,即,應用實例3,解：畫出軸的計算簡圖及彎矩圖,計算可知 FA=FD=700kN Mmax=455kN.m MB=MC=210kN.m,二、強度條件及其工程應用,圖 a 所示圓截面軸AD，中段BC承受均布載荷作用。已知載荷集度q=1000kN/m，許用應力 ，試確定軸徑。,根據(jù)式 及 可知，
12、圓軸的 彎曲正應力強度條件為,由此得,于是有,取,二、強度條件及其工程應用,已知載荷集度q=25 N/mm，截面形心離底邊與頂邊的距離分別為 y1=45mm與y2=95mm，慣性矩 ,許用拉應力 ，許用壓應力 。,下圖a所示外伸梁，用鑄鐵制成，橫截面為倒T字形，并承受集度為q的均布載荷作用。試校核梁的強度。,二、強度條件及其工程應用,應用實例4,解（1）危險截面與危險點判斷 梁的彎矩圖如下所示，由圖知截面D（最大正彎矩）、截面B（最大負彎矩）兩截面均為危險截面。,二、強度條件及其工程應用,由彎矩圖及截面D、截面B的彎曲正應力分布圖知截面D的a點及截面B的
13、d點處均受壓；而截面D的b點及截面B的c點均受拉。,由于,概言之，a，b與c三點處為可能最先發(fā)生破壞的部位，即危險點。,因此,即,二、強度條件及其工程應用,（2）強度校核,由式 得，a，b，c三點處的彎曲正應力分別為：,由此得,可見，梁的彎曲強度符合要求。,二、強度條件及其工程應用,二、強度條件及其工程應用,小 結,了解強度失效的類型及失效的原因，使學生對變形 與材料的物性關系有更進一步的認識。,為充分發(fā)揮材料的力學性能，在彎曲變形中，對由 塑性材料構成的構件采用對稱截面，對由脆性材料 構成的構件，采用非對稱截面，以使最大拉應力與 最大壓應力 同時達到許用 拉應力與許用壓應力
14、。,重點掌握強度條件，并利用其為工程技術解決以下 三個實際問題：強度校核、截面形狀與尺寸設計、 確定許用荷載。通過例題使學生掌握強度設計應遵 循的計算程序。,第四節(jié) 梁的合理強度設計,重點掌握的問題如何提高梁的強度？,梁的合理強度設計應從強度條件的基本公式中所包含的幾個基本量分析入手。,梁的合理截面形狀,梁的合理強度設計,從彎曲強度考慮，盡量使用較小的截面面積，而相應提高抗彎截面系數(shù)。對于塑性材料，選擇對稱截面，而對于脆性材料選擇非對稱截面，且使中性軸偏向受拉一側。,由此得,(1124),梁的合理強度設計,變截面梁與等強度梁,變截面梁：從彎矩方面考慮， 梁內(nèi)不同截面彎矩不同，為使材料強度得到充
15、分利用，梁截面亦應沿軸線變化。這種橫截面沿軸線變化的梁稱為變截面梁。 從彎曲強度考慮，理想的變截面梁是使所有橫截面上的最大彎曲正應力均相同，并等于許用應力。即要求,梁的合理強度設計,等強度梁：各個橫截面具有同樣強度的梁，稱為等強度梁。 等強度梁是一種理想的變截面梁?？紤]到加工制造以及構造上的要求等，實際構件往往設計成近似等強的,1.合理安排梁的約束 下圖中，后者的最大彎矩僅為前者的15。,梁的合理強度設計,梁的合理受力,2.合理加載 下圖中，后者的最大彎矩僅為前者的一半。,梁的合理強度設計,梁的合理受力,3.增加中間約束使靜定梁變?yōu)殪o不定梁也可提高梁的強度。,梁的合理強度設計,小 結,本小節(jié)應使學生學會從最基本的強度條件出發(fā)，學會分析問題和解決問題的能力，即能進行合理的強度設計。,
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