人教版第12章 全等三角形 測試卷（2）

第12章 全等三角形 測試卷（2）一、選擇題1如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC的點，且AG=CE，AEEF，AE=EF，現(xiàn)有如下結(jié)論：BE=GE；AGEECF；FCD=45°；GBEECH其中，正確的結(jié)論有（）A1個B2個C3個D4個2如圖，正方形ABCD中，點E是AD邊中點，BD、CE交于點H，BE、AH交于點G，則下列結(jié)論：AGBE；BG=4GE；SBHE=SCHD；AHB=EHD其中正確的個數(shù)是（）A1B2C3D43如圖，點E，F(xiàn)在AC上，AD=BC，DF=BE，要使ADFCBE，還需要添加的一個條件是（）AA=CBD=BCADBCDDFBE二、填空題4如圖，AC是矩形ABCD的對角線，AB=2，BC=2，點E，F(xiàn)分別是線段AB，AD上的點，連接CE，CF當BCE=ACF，且CE=CF時，AE+AF=5如圖，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么AOD的度數(shù)是6如圖，ABC中，C=90°，CA=CB，點M在線段AB上，GMB=A，BGMG，垂足為G，MG與BC相交于點H若MH=8cm，則BG=cm7如圖，以ABC的三邊為邊分別作等邊ACD、ABE、BCF，則下列結(jié)論：EBFDFC；四邊形AEFD為平行四邊形；當AB=AC，BAC=120°時，四邊形AEFD是正方形其中正確的結(jié)論是（請寫出正確結(jié)論的序號）三、解答題8如圖，點C，E，F(xiàn)，B在同一直線上，點A，D在BC異側(cè)，ABCD，AE=DF，A=D（1）求證：AB=CD（2）若AB=CF，B=30°，求D的度數(shù)9如圖，CD是ABC的中線，點E是AF的中點，CFAB（1）求證：CF=AD；（2）若ACB=90°，試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由10如圖，點D在AB上，點E在AC上，AB=AC，AD=AE求證：BE=CD11如圖，在ABC中，CD是AB邊上的中線，F(xiàn)是CD的中點，過點C作AB的平行線交BF的延長線于點E，連接AE（1）求證：EC=DA；（2）若ACCB，試判斷四邊形AECD的形狀，并證明你的結(jié)論12【問題探究】（1）如圖1，銳角ABC中分別以AB、AC為邊向外作等腰ABE和等腰ACD，使AE=AB，AD=AC，BAE=CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明理由【深入探究】（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，ABC=ACD=ADC=45°，求BD的長（3）如圖3，在（2）的條件下，當ACD在線段AC的左側(cè)時，求BD的長13如圖，ABC是等腰直角三角形，C=90°，點D是AB的中點，點P是AB上的一個動點（點P與點A、B不重合），矩形PECF的頂點E，F(xiàn)分別在BC，AC上（1）探究DE與DF的關(guān)系，并給出證明；（2）當點P滿足什么條件時，線段EF的長最短？（直接給出結(jié)論，不必說明理由）14如圖，ABC和EFD分別在線段AE的兩側(cè)，點C，D在線段AE上，AC=DE，ABEF，AB=EF求證：BC=FD15如圖，已知ABC=90°，D是直線AB上的點，AD=BC（1）如圖1，過點A作AFAB，并截取AF=BD，連接DC、DF、CF，判斷CDF的形狀并證明；（2）如圖2，E是直線BC上一點，且CE=BD，直線AE、CD相交于點P，APD的度數(shù)是一個固定的值嗎？若是，請求出它的度數(shù)；若不是，請說明理由16如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且AE=DF，連接BE，AF求證：BE=AF17如圖，在ABC中，已知AB=AC，AD平分BAC，點M，N分別在AB，AC邊上，AM=2MB，AN=2NC求證：DM=DN18在平行四邊形ABCD中，將BCD沿BD翻折，使點C落在點E處，BE和AD相交于點O，求證：OA=OE19如圖，在ABD和FEC中，點B，C，D，E在同一直線上，且AB=FE，BC=DE，B=E求證：ADB=FCE20如圖，CA=CD，B=E，BCE=ACD求證：AB=DE21已知ABC，AB=AC，將ABC沿BC方向平移得到DEF（1）如圖1，連接BD，AF，則BDAF（填“”、“”或“=”）；（2）如圖2，M為AB邊上一點，過M作BC的平行線MN分別交邊AC，DE，DF于點G，H，N，連接BH，GF，求證：BH=GF22如圖，ABC是等腰直角三角形，ACB=90°，分別以AB，AC為直角邊向外作等腰直角ABD和等腰直角ACE，G為BD的中點，連接CG，BE，CD，BE與CD交于點F（1）判斷四邊形ACGD的形狀，并說明理由（2）求證：BE=CD，BECD23如圖，在正方形ABCD中，G是BC上任意一點，連接AG，DEAG于E，BFDE交AG于F，探究線段AF、BF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由24已知：如圖，在ABC中，DE、DF是ABC的中位線，連接EF、AD，其交點為O求證：（1）CDEDBF；（2）OA=OD25我們把兩組鄰邊相等的四邊形叫做“箏形”如圖，四邊形ABCD是一個箏形，其中AB=CB，AD=CD對角線AC，BD相交于點O，OEAB，OFCB，垂足分別是E，F(xiàn)求證OE=OF26如圖，在矩形ABCD中，點F在邊BC上，且AF=AD，過點D作DEAF，垂足為點E（1）求證：DE=AB（2）以D為圓心，DE為半徑作圓弧交AD于點G若BF=FC=1，試求的長27如圖，1=2，3=4，求證：AC=AD28如圖，AC=DC，BC=EC，ACD=BCE求證：A=D29如圖，已知D在ABC的BC邊上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F（1）求證：AE=DF；（2）若AD平分BAC，試判斷四邊形AEDF的形狀，并說明理由30如圖，過AOB平分線上一點C作CDOB交OA于點D，E是線段OC的中點，請過點E畫直線分別交射線CD、OB于點M、N，探究線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論參考答案與試題解析一、選擇題1如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC的點，且AG=CE，AEEF，AE=EF，現(xiàn)有如下結(jié)論：BE=GE；AGEECF；FCD=45°；GBEECH其中，正確的結(jié)論有（）A1個B2個C3個D4個【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)【專題】壓軸題【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出B=DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根據(jù)勾股定理得出BE=GE，即可判斷；求出GAE+AEG=45°，推出GAE=FEC，根據(jù)SAS推出GAECEF，即可判斷；求出AGE=ECF=135°，即可判斷；求出FEC45°，根據(jù)相似三角形的判定得出GBE和ECH不相似，即可判斷【解答】解：四邊形ABCD是正方形，B=DCB=90°，AB=BC，AG=CE，BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，錯誤；BG=BE，B=90°，BGE=BEG=45°，AGE=135°，GAE+AEG=45°，AEEF，AEF=90°，BEG=45°，AEG+FEC=45°，GAE=FEC，在GAE和CEF中GAECEF，正確；AGE=ECF=135°，F(xiàn)CD=135°90°=45°，正確；BGE=BEG=45°，AEG+FEC=45°，F(xiàn)EC45°，GBE和ECH不相似，錯誤；即正確的有2個故選B【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知識點的綜合運用，綜合比較強，難度較大2如圖，正方形ABCD中，點E是AD邊中點，BD、CE交于點H，BE、AH交于點G，則下列結(jié)論：AGBE；BG=4GE；SBHE=SCHD；AHB=EHD其中正確的個數(shù)是（）A1B2C3D4【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)【專題】壓軸題【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)證得BAECDE，推出ABE=DCE，再證ADHCDH，求得HAD=HCD，推出ABE=HAD；求出ABE+BAG=90°；最后在AGE中根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°求得AGE=90°即可得到正確根據(jù)tanABE=tanEAG=，得到AG=BG，GE=AG，于是得到BG=4EG，故正確；根據(jù)ADBC，求出SBDE=SCDE，推出SBDESDEH=SCDESDEH，即；SBHE=SCHD，故正確；由AHD=CHD，得到鄰補角和對頂角相等得到AHB=EHD，故正確；【解答】證明：四邊形ABCD是正方形，E是AD邊上的中點，AE=DE，AB=CD，BAD=CDA=90°，在BAE和CDE中，BAECDE（SAS），ABE=DCE，四邊形ABCD是正方形，AD=DC，ADB=CDB=45°，在ADH和CDH中，ADHCDH（SAS），HAD=HCD，ABE=DCEABE=HAD，BAD=BAH+DAH=90°，ABE+BAH=90°，AGB=180°90°=90°，AGBE，故正確；tanABE=tanEAG=，AG=BG，GE=AG，BG=4EG，故正確；ADBC，SBDE=SCDE，SBDESDEH=SCDESDEH，即；SBHE=SCHD，故正確；ADHCDH，AHD=CHD，AHB=CHB，BHC=DHE，AHB=EHD，故正確；故選：D【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式，解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)：四邊相等，兩兩垂直； 四個內(nèi)角相等，都是90度； 對角線相等，相互垂直，且平分一組對角3如圖，點E，F(xiàn)在AC上，AD=BC，DF=BE，要使ADFCBE，還需要添加的一個條件是（）AA=CBD=BCADBCDDFBE【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【分析】利用全等三角形的判定與性質(zhì)進而得出當D=B時，ADFCBE【解答】解：當D=B時，在ADF和CBE中，ADFCBE（SAS），故選：B【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵二、填空題4如圖，AC是矩形ABCD的對角線，AB=2，BC=2，點E，F(xiàn)分別是線段AB，AD上的點，連接CE，CF當BCE=ACF，且CE=CF時，AE+AF=【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；解直角三角形【專題】壓軸題【分析】過點F作FGAC于點G，證明BCEGCF，得到CG=CB=2，根據(jù)勾股定理得AC=4，所以AG=42，易證AGFCBA，求出AF、FG，再求出AE，得出AE+AF的值【解答】解：過點F作FGAC于點G，如圖所示，在BCE和GCF中，BCEGCF（AAS），CG=BC=2，AC=4，AG=42，AGFCBA，AF=，F(xiàn)G=，AE=2=，AE+AF=+=故答案為：【點評】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形相似的判定與性質(zhì)，有一定的綜合性，難易適中5如圖，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么AOD的度數(shù)是90°【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)【專題】壓軸題【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得ODA與BAE的關(guān)系，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得ODA與OAD的關(guān)系，根據(jù)直角三角形的判定，可得答案【解答】解：由ABCD是正方形，得AD=AB，DAB=B=90°在ABE和DAF中，ABEDAF，BAE=ADFBAE+EAD=90°，OAD+ADO=90°，AOD=90°，故答案為：90°【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)，直角三角形的判定6如圖，ABC中，C=90°，CA=CB，點M在線段AB上，GMB=A，BGMG，垂足為G，MG與BC相交于點H若MH=8cm，則BG=4cm【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形【分析】如圖，作MDBC于D，延長DE交BG的延長線于E，構(gòu)建等腰BDM、全等三角形BED和MHD，利用等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的對應(yīng)邊相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4【解答】解：如圖，作MDBC于D，延長MD交BG的延長線于E，ABC中，C=90°，CA=CB，ABC=A=45°，GMB=A，GMB=A=22.5°，BGMG，BGM=90°，GBM=90°22.5°=67.5°，GBH=EBMABC=22.5°MDAC，BMD=A=45°，BDM為等腰直角三角形BD=DM，而GBH=22.5°，GM平分BMD，而BGMG，BG=EG，即BG=BE，MHD+HMD=E+HMD=90°，MHD=E，GBD=90°E，HMD=90°E，GBD=HMD，在BED和MHD中，BEDMHD（AAS），BE=MH，BG=MH=4故答案是：4【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)7如圖，以ABC的三邊為邊分別作等邊ACD、ABE、BCF，則下列結(jié)論：EBFDFC；四邊形AEFD為平行四邊形；當AB=AC，BAC=120°時，四邊形AEFD是正方形其中正確的結(jié)論是（請寫出正確結(jié)論的序號）【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；正方形的判定【專題】壓軸題【分析】由三角形ABE與三角形BCF都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對邊相等，ABE=CBF=60°，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形EBF與三角形DFC全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到EF=AC，再由三角形ADC為等邊三角形得到三邊相等，等量代換得到EF=AD，AE=DF，利用對邊相等的四邊形為平行四邊形得到AEFD為平行四邊形，若AB=AC，BAC=120°，只能得到AEFD為菱形，不能為正方形，即可得到正確的選項【解答】解：ABE、BCF為等邊三角形，AB=BE=AE，BC=CF=FB，ABE=CBF=60°，ABEABF=FBCABF，即CBA=FBE，在ABC和EBF中，ABCEBF（SAS），EF=AC，又ADC為等邊三角形，CD=AD=AC，EF=AD=DC，同理可得ABCDFC，DF=AB=AE=DF，四邊形AEFD是平行四邊形，選項正確；FEA=ADF，F(xiàn)EA+AEB=ADF+ADC，即FEB=CDF，在FEB和CDF中，F(xiàn)EBCDF（SAS），選項正確；若AB=AC，BAC=120°，則有AE=AD，EAD=120°，此時AEFD為菱形，選項錯誤，故答案為：【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，以及正方形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵三、解答題8如圖，點C，E，F(xiàn)，B在同一直線上，點A，D在BC異側(cè)，ABCD，AE=DF，A=D（1）求證：AB=CD（2）若AB=CF，B=30°，求D的度數(shù)【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【分析】（1）易證得ABECDF，即可得AB=CD；（2）易證得ABECDF，即可得AB=CD，又由AB=CF，B=30°，即可證得ABE是等腰三角形，解答即可【解答】證明：（1）ABCD，B=C，在ABE和CDF中，ABECDF（AAS），AB=CD；（2）ABECDF，AB=CD，BE=CF，AB=CF，B=30°，AB=BE，ABE是等腰三角形，D=【點評】此題考查全等三角形問題，關(guān)鍵是根據(jù)AAS證明三角形全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答9如圖，CD是ABC的中線，點E是AF的中點，CFAB（1）求證：CF=AD；（2）若ACB=90°，試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；菱形的判定【分析】（1）根據(jù)中點的性質(zhì)，可得AE與EF的關(guān)系，根據(jù)平行的性質(zhì)，可得內(nèi)錯角相等，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得CF與DA的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得答案；（2）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得四邊形BFCD的形狀，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得BD=CD，根據(jù)菱形的判定，可得答案；【解答】（1）證明AE是DC邊上的中線，AE=FE，CFAB，ADE=CFE，DAE=CFE在ADE和FCE中，ADEFCE（AAS），CF=DA（2）CD是ABC的中線，D是AB的中點，AD=BD，ADEFCE，AD=CF，BD=CF，ABCF，BDCF，四邊形BFCD是平行四邊形，ACB=90°，ACB是直角三角形，CD=AB，BD=AB，BD=CD，四邊形BFCD是菱形【點評】本題考查了四邊形綜合題，（1）利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，（2）利用了直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定分析10如圖，點D在AB上，點E在AC上，AB=AC，AD=AE求證：BE=CD【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】證明題【分析】利用SAS證得ADCAEB后即可證得結(jié)論【解答】解：在ADC和AEB中，ADCAEB，BE=CD【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定的方法，難度不大11如圖，在ABC中，CD是AB邊上的中線，F(xiàn)是CD的中點，過點C作AB的平行線交BF的延長線于點E，連接AE（1）求證：EC=DA；（2）若ACCB，試判斷四邊形AECD的形狀，并證明你的結(jié)論【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定【專題】證明題【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出FEC=DBF，ECF=BDF，F(xiàn)是CD的中點，得出FD=CF，再利用AAS證明FEC與DBF全等，進一步證明即可；（2）利用直角三角形的性質(zhì)：斜邊上的中線等于斜邊的，得出CD=DA，進一步得出結(jié)論即可【解答】（1）證明：ECAB，F(xiàn)EC=DBF，ECF=BDF，F(xiàn)是CD的中點，F(xiàn)D=CF，在FEC與DBF中，F(xiàn)ECDBF，EC=BD，又CD是AB邊上的中線，BD=AD，EC=AD（2）四邊形AECD是菱形證明：EC=AD，ECAD，四邊形AECD是平行四邊形，ACCB，CD是AB邊上的中線，CD=AD=BD，四邊形AECD是菱形【點評】此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定以及菱形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵12【問題探究】（1）如圖1，銳角ABC中分別以AB、AC為邊向外作等腰ABE和等腰ACD，使AE=AB，AD=AC，BAE=CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明理由【深入探究】（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，ABC=ACD=ADC=45°，求BD的長（3）如圖3，在（2）的條件下，當ACD在線段AC的左側(cè)時，求BD的長【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【專題】壓軸題【分析】（1）首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明EAC=BAD，則根據(jù)SAS即可證明EACBAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）在ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角BAE，使BAE=90°，AE=AB，連接EA、EB、EC，證明EACBAD，證明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；（3）在線段AC的右側(cè)過點A作AEAB于點A，交BC的延長線于點E，證明EACBAD，證明BD=CE，即可求解【解答】解：（1）BD=CE理由是：BAE=CAD，BAE+BAC=CAD+BAC，即EAC=BAD，在EAC和BAD中，EACBAD，BD=CE；（2）如圖2，在ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角BAE，使BAE=90°，AE=AB，連接EA、EB、ECACD=ADC=45°，AC=AD，CAD=90°，BAE+BAC=CAD+BAC，即EAC=BAD，在EAC和BAD中，EACBAD，BD=CEAE=AB=7，BE=7，ABE=AEB=45°，又ABC=45°，ABC+ABE=45°+45°=90°，EC=，BD=CE=（3）如圖3，在線段AC的右側(cè)過點A作AEAB于點A，交BC的延長線于點E，連接BEAEAB，BAE=90°，又ABC=45°，E=ABC=45°，AE=AB=7，BE=7，又ACD=ADC=45°，BAE=DAC=90°，BAEBAC=DACBAC，即EAC=BAD，在EAC和BAD中，EACBAD，BD=CE，BC=3，BD=CE=（73）cm【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確理解三個題目之間的聯(lián)系，構(gòu)造（1）中的全等三角形是解決本題的關(guān)鍵13如圖，ABC是等腰直角三角形，C=90°，點D是AB的中點，點P是AB上的一個動點（點P與點A、B不重合），矩形PECF的頂點E，F(xiàn)分別在BC，AC上（1）探究DE與DF的關(guān)系，并給出證明；（2）當點P滿足什么條件時，線段EF的長最短？（直接給出結(jié)論，不必說明理由）【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；矩形的性質(zhì)【分析】（1）連接CD，首先根據(jù)ABC是等腰直角三角形，C=90°，點D是AB的中點得到CD=AD，CDAD，然后根據(jù)四邊形PECF是矩形得到APE是等腰直角三角形，從而得到DCEDAF，證得DE=DF，DEDF；（2）根據(jù)DE=DF，DEDF，得到EF=DE=DF，從而得到當DE和DF同時最短時，EF最短得到此時點P與點D重合線段EF最短【解答】解：（1）DE=DF，DEDF，證明：連接CD，ABC是等腰直角三角形，C=90°，點D是AB的中點，CD=AD，CDAD，四邊形PECF是矩形，CE=FP，F(xiàn)PCB，APF是等腰直角三角形，AF=PF=EC，DCE=A=45°，DCEDAF，DE=DF，ADF=CDE，CDA=90°，EDF=90°，DE=DF，DEDF；（2）DE=DF，DEDF，EF=DE=DF，當DE和DF同時最短時，EF最短，當DFAC，DEAB時，二者最短，此時點P與點D重合，點P與點D重合時，線段EF最短【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形及矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠證得兩個三角形全等，難度不大14如圖，ABC和EFD分別在線段AE的兩側(cè)，點C，D在線段AE上，AC=DE，ABEF，AB=EF求證：BC=FD【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】證明題【分析】根據(jù)已知條件得出ACBDEF，即可得出BC=DF【解答】證明：ABEF，A=E，在ABC和EFD中ABCEFD（SAS）BC=FD【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形全等的判定方法，難度適中15如圖，已知ABC=90°，D是直線AB上的點，AD=BC（1）如圖1，過點A作AFAB，并截取AF=BD，連接DC、DF、CF，判斷CDF的形狀并證明；（2）如圖2，E是直線BC上一點，且CE=BD，直線AE、CD相交于點P，APD的度數(shù)是一個固定的值嗎？若是，請求出它的度數(shù)；若不是，請說明理由【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】壓軸題【分析】（1）利用SAS證明AFD和BDC全等，再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC，即可判斷三角形的形狀；（2）作AFAB于A，使AF=BD，連結(jié)DF，CF，利用SAS證明AFD和BDC全等，再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC，F(xiàn)DC=90°，即可得出FCD=APD=45°【解答】解：（1）CDF是等腰直角三角形，理由如下：AFAD，ABC=90°，F(xiàn)AD=DBC，在FAD與DBC中，F(xiàn)ADDBC（SAS），F(xiàn)D=DC，CDF是等腰三角形，F(xiàn)ADDBC，F(xiàn)DA=DCB，BDC+DCB=90°，BDC+FDA=90°，CDF是等腰直角三角形；（2）作AFAB于A，使AF=BD，連結(jié)DF，CF，如圖，AFAD，ABC=90°，F(xiàn)AD=DBC，在FAD與DBC中，F(xiàn)ADDBC（SAS），F(xiàn)D=DC，CDF是等腰三角形，F(xiàn)ADDBC，F(xiàn)DA=DCB，BDC+DCB=90°，BDC+FDA=90°，CDF是等腰直角三角形，F(xiàn)CD=45°，AFCE，且AF=CE，四邊形AFCE是平行四邊形，AECF，APD=FCD=45°【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)的運用解答時證明三角形全等是關(guān)鍵16如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且AE=DF，連接BE，AF求證：BE=AF【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)【專題】證明題【分析】根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AB=AD，每一個角都是直角可得BAE=D=90°，然后利用“邊角邊”證明ABE和ADF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可【解答】證明：在正方形ABCD中，AB=AD，BAE=D=90°，在ABE和ADF中，ABEADF（SAS），BE=AF【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及垂直的定義，求出兩三角形全等，從而得到BE=AF是解題的關(guān)鍵17如圖，在ABC中，已知AB=AC，AD平分BAC，點M，N分別在AB，AC邊上，AM=2MB，AN=2NC求證：DM=DN【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】證明題【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD是頂角的平分線，再利用全等三角形進行證明即可【解答】證明：AM=2MB，AN=2NC，AB=AC，AM=AN，AB=AC，AD平分BAC，MAD=NAD，在AMD與AND中，AMDAND（SAS），DM=DN【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進行證明18在平行四邊形ABCD中，將BCD沿BD翻折，使點C落在點E處，BE和AD相交于點O，求證：OA=OE【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）【專題】證明題【分析】由在平行四邊形ABCD中，將BCD沿BD對折，使點C落在E處，即可求得DBE=ADB，得出OB=OD，再由A=C，證明三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可【解答】證明：平行四邊形ABCD中，將BCD沿BD對折，使點C落在E處，可得DBE=ADB，A=C，OB=OD，在AOB和EOD中，AOBEOD（AAS），OA=OE【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)此題難度不大，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用19如圖，在ABD和FEC中，點B，C，D，E在同一直線上，且AB=FE，BC=DE，B=E求證：ADB=FCE【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】證明題【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)得出BD=CE，再利用SAS得出：ABD與FEC全等，進而得出ADB=FCE【解答】證明：BC=DE，BC+CD=DE+CD，即BD=CE，在ABD與FEC中，ABDFEC（SAS），ADB=FCE【點評】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等式的性質(zhì)得出BD=CE，再利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答20如圖，CA=CD，B=E，BCE=ACD求證：AB=DE【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】證明題【分析】如圖，首先證明ACB=DCE，這是解決問題的關(guān)鍵性結(jié)論；然后運用AAS公理證明ABCDEC，即可解決問題【解答】解：如圖，BCE=ACD，ACB=DCE；在ABC與DEC中，ABCDEC（AAS），AB=DE【點評】該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握全等三角形的判定方法，這是靈活運用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵21已知ABC，AB=AC，將ABC沿BC方向平移得到DEF（1）如圖1，連接BD，AF，則BD=AF（填“”、“”或“=”）；（2）如圖2，M為AB邊上一點，過M作BC的平行線MN分別交邊AC，DE，DF于點G，H，N，連接BH，GF，求證：BH=GF【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；平移的性質(zhì)【專題】證明題【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得ABC與ACB的關(guān)系，根據(jù)平移的性質(zhì)，可得AC與DF的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得GM與HN的關(guān)系，BM與FN的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案【解答】（1）解：由AB=AC，得ABC=ACB由ABC沿BC方向平移得到DEF，得DF=AC，DFE=ACB在ABF和DFB中，ABFDFB（SAS），BD=AF，故答案為：BD=AF；（2）證明：如圖：，MNBF，AMGABC，DHNDEF，=，=，MG=HN，MB=NF在BMH和FNG中，BMHFNG（SAS），BH=FG【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了平移的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)22如圖，ABC是等腰直角三角形，ACB=90°，分別以AB，AC為直角邊向外作等腰直角ABD和等腰直角ACE，G為BD的中點，連接CG，BE，CD，BE與CD交于點F（1）判斷四邊形ACGD的形狀，并說明理由（2）求證：BE=CD，BECD【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；平行四邊形的判定【專題】證明題【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)易得BD=2BC，因為G為BD的中點，可得BG=BC，由CGB=45°，ADB=45得ADCG，由CBD+ACB=180°，得ACBD，得出四邊形ACGD為平行四邊形；（2）利用全等三角形的判定證得DACBAE，由全等三角形的性質(zhì)得BE=CD；首先證得四邊形ABCE為平行四邊形，再利用全等三角形的判定定理得BCECAD，易得CBE=ACD，由ACB=90°，易得CFB=90°，得出結(jié)論【解答】（1）解：ABC是等腰直角三角形，ACB=90°，AB=BC，ABD和ACE均為等腰直角三角形，BD=BC=2BC，G為BD的中點，BG=BD=BC，CBG為等腰直角三角形，CGB=45°，ADB=45°，ADCG，ABD=45°，ABC=45°CBD=90°，ACB=90°，CBD+ACB=180°，ACBD，四邊形ACGD為平行四邊形；（2）證明：EAB=EAC+CAB=90°+45°=135°，CAD=DAB+BAC=90°+45°=135°，EAB=CAD，在DAC與BAE中，DACBAE，BE=CD；EAC=BCA=90°，EA=AC=BC，四邊形ABCE為平行四邊形，CE=AB=AD，在BCE與CAD中，BCECAD，CBE=ACD，ACD+BCD=90°，CBE+BCD=90°，CFB=90°，即BECD【點評】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形和全等三角形的判定及性質(zhì)定理，綜合運用各種定理是解答此題的關(guān)鍵23如圖，在正方形ABCD中，G是BC上任意一點，連接AG，DEAG于E，BFDE交AG于F，探究線段AF、BF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得AB=AD，DAB=ABC=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得ADE=BAF，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得BF與AE的關(guān)系，再根據(jù)等量代換，可得答案【解答】解：線段AF、BF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系A(chǔ)F=BF+EF，理由如下：四邊形ABCD是正方形，AB=AD，DAB=ABC=90°DEAG于E，BFDE交AG于F，AED=DEF=AFB=90°，ADE+DAE=90°，DAE+BAF=90°，ADE=BAF在ABF和DAE中，ABFDAE （AAS），BF=AEAF=AE+EF，AF=BF+EF【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了正方形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等量代換24已知：如圖，在ABC中，DE、DF是ABC的中位線，連接EF、AD，其交點為O求證：（1）CDEDBF；（2）OA=OD【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理【專題】證明題【分析】（1）根據(jù)三角形中位線，可得DF與CE的關(guān)系，DB與DC的關(guān)系，根據(jù)SAS，可得答案；（2）根據(jù)三角形的中位線，可得DF與AE的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)，可得答案【解答】證明：（1）DE、DF是ABC的中位線，DF=CE，DFCE，DB=DCDFCE，C=BDF在CDE和DBF中，CDEDBF （SAS）；（2）DE、DF是ABC的中位線，DF=AE，DFAE，四邊形DEAF是平行四邊形，EF與AD交于O點，AO=OD【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）利用了三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定；（2）利用了三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊的性的判定與性質(zhì)25我們把兩組鄰邊相等的四邊形叫做“箏形”如圖，四邊形ABCD是一個箏形，其中AB=CB，AD=CD對角線AC，BD相交于點O，OEAB，OFCB，垂足分別是E，F(xiàn)求證OE=OF【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】證明題；新定義【分析】欲證明OE=OF，只需推知BD平分ABC，所以通過全等三角形ABDCBD（SSS）的對應(yīng)角相等得到ABD=CBD，問題就迎刃而解了【解答】證明：在ABD和CBD中，ABDCBD（SSS），ABD=CBD，BD平分ABC又OEAB，OFCB，OE=OF【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形26如圖，在矩形ABCD中，點F在邊BC上，且AF=AD，過點D作DEAF，垂足為點E（1）求證：DE=AB（2）以D為圓心，DE為半徑作圓弧交AD于點G若BF=FC=1，試求的長【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；矩形的性質(zhì)；弧長的計算【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出B=C=90°，AB=BC=AD=DC，ADBC，得出EAD=AFB，由AAS證明ADEFAB，得出對應(yīng)邊相等即可；（2）連接DF，先證明DCFABF，得出DF=AF，再證明ADF是等邊三角形，得出DAE=60°，ADE=30°，由AE=BF=1，根據(jù)三角函數(shù)得出DE，由弧長公式即可求出的長【解答】（1）證明：四邊形ABCD是矩形，B=C=90°，AB=BC=AD=DC，ADBC，EAD=AFB，DEAF，AED=90°，在ADE和FAB中，ADEFAB（AAS），DE=AB；（2）解：連接DF，如圖所示：在DCF和ABF中，DCFABF（SAS），DF=AF，AF=AD，DF=AF=AD，ADF是等邊三角形，DAE=60°，DEAF，AED=90°，ADE=30°，ADEFAB，AE=BF=1，DE=AE=，的長=【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)以及弧長公式；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵27如圖，1=2，3=4，求證：AC=AD【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】證明題【分析】先證出ABC=ABD，再由ASA證明ABCABD，得出對應(yīng)邊相等即可【解答】證明：3=4，ABC=ABD，在ABC和ABD中，ABCABD（ASA），AC=AD【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵28如圖，AC=DC，BC=EC，ACD=BCE求證：A=D【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】證明題【分析】先證出ACB=DCE，再由SAS證明ABCDEC，得出對應(yīng)角相等即可【解答】證明：ACD=BCE，ACB=DCE，在ABC和DEC中，ABCDEC（SAS），A=D【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵29如圖，已知點D在ABC的BC邊上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F（1）求證：AE=DF；（2）若AD平分BAC，試判斷四邊形AEDF的形狀，并說明理由【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定【專題】證明題【分析】（1）利用AAS推出ADEDAF，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出AE=DF；（2）先根據(jù)已知中的兩組平行線，可證四邊形DEFA是，再利用AD是角平分線，結(jié)合AEDF，易證DAF=FDA，利用等角對等邊，可得AE=DF，從而可證AEDF實菱形【解答】證明：（1）DEAC，ADE=DAF，同理DAE=FDA，AD=DA，ADEDAF，AE=DF；（2）若AD平分BAC，四邊形AEDF是菱形，DEAC，DFAB，四邊形AEDF是平行四邊形，DAF=FDAAF=DF平行四邊形AEDF為菱形【點評】考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情況30如圖，過AOB平分線上一點C作CDOB交OA于點D，E是線段OC的中點，請過點E畫直線分別交射線CD、OB于點M、N，探究線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)【分析】（1）當點M在線段CD上時，線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系是：OD=DM+ON首先根據(jù)OC是AOB的平分線，CDOB，判斷出DOC=DC0，所以O(shè)D=CD=DM+CM；然后根據(jù)E是線段OC的中點，CDOB，推得CM=ON，即可判斷出OD=DM+ON，據(jù)此解答即可（2）當點M在線段CD延長線上時，線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系是：OD=ONDM由（1），可得OD=DC=CMDM，再根據(jù)CM=ON，推得OD=ONDM即可【解答】解：（1）當點M在線段CD上時，線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系是：OD=DM+ON證明：如圖1，OC是AOB的平分線，DOC=C0B，又CDOB，DCO=C0B，DOC=DC0，OD=CD=DM+CM，E是線段OC的中點，CE=OE，CDOB，CM=ON，又OD=DM+CM，OD=DM+ON（2）當點M在線段CD延長線上時，線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系是：OD=ONDM證明：如圖2，由（1），可得OD=DC=CMDM，又CM=ON，OD=DC=CMDM=ONDM，即OD=ONDM【點評】（1）此題主要考查了平行線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等簡單說成：兩直線平行，同位角相等定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等（2）此題還考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：等腰三角形的兩腰相等等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合第50頁（共50頁）