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人教版第12章 全等三角形 測(cè)試卷(3)

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人教版第12章 全等三角形 測(cè)試卷(3)

第12章 全等三角形 測(cè)試卷(3)一、選擇題1如圖,已知等邊ABC,AB=2,點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上,BD=CF,DEBC于E,F(xiàn)GBC于G,DF交BC于點(diǎn)P,則下列結(jié)論:BE=CG;EDPGFP;EDP=60°;EP=1中,一定正確的是()A BC D二、填空題2如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm,E為CD邊上一點(diǎn),DAE=30°,M為AE的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q若PQ=AE,則AP等于cm3如圖,矩形ABCD中,AB=8,點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn),有AE=4,BE的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連結(jié)EF交CD于點(diǎn)G若G是CD的中點(diǎn),則BC的長(zhǎng)是4如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn),點(diǎn)E在CD上,且DE=2CE,過(guò)點(diǎn)C作CFBE,垂足為F,連接OF,則OF的長(zhǎng)為5如圖,點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上,ABDE,AB=DE,BE=CF,AC=6,則DF=6已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個(gè)如圖所示的正方形(用陰影表示),點(diǎn)B1在y軸上且坐標(biāo)是(0,2),點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上,C1的坐標(biāo)是(1,0)B1C1B2C2B3C3,以此繼續(xù)下去,則點(diǎn)A2014到x軸的距離是7如圖,在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中,E是AB邊上一點(diǎn),G是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BE=DG,連接EG,CFEG交EG于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)F,連接CE,BH若BH=8,則FG=8如圖,已知ABC三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O,點(diǎn)D在CA的延長(zhǎng)線上,且DC=BC,AD=AO,若BAC=80°,則BCA的度數(shù)為9如圖,在四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,ABC=ACB=ADC=45°,則BD的長(zhǎng)為10如圖,在ABC中,分別以AC,BC為邊作等邊ACD和等邊BCE設(shè)ACD、BCE、ABC的面積分別是S1、S2、S3,現(xiàn)有如下結(jié)論:S1:S2=AC2:BC2;連接AE,BD,則BCDECA;若ACBC,則S1S2=S32其中結(jié)論正確的序號(hào)是三、解答題11如圖,已知點(diǎn)E、F在四邊形ABCD的對(duì)角線延長(zhǎng)線上,AE=CF,DEBF,1=2(1)求證:AEDCFB;(2)若ADCD,四邊形ABCD是什么特殊四邊形?請(qǐng)說(shuō)明理由12如圖,ABC中,AB=AC,BAC=40°,將ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)100°得到ADE,連接BD,CE交于點(diǎn)F(1)求證:ABDACE;(2)求ACE的度數(shù);(3)求證:四邊形ABFE是菱形13如圖,已知ABC是等腰三角形,頂角BAC=(60°),D是BC邊上的一點(diǎn),連接AD,線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AE,過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線,交AB于點(diǎn)F,連接DE,BE,DF(1)求證:BE=CD;(2)若ADBC,試判斷四邊形BDFE的形狀,并給出證明14如圖,在四邊形ABCD中,點(diǎn)H是BC的中點(diǎn),作射線AH,在線段AH及其延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)E,F(xiàn),連結(jié)BE,CF(1)請(qǐng)你添加一個(gè)條件,使得BEHCFH,你添加的條件是,并證明(2)在問(wèn)題(1)中,當(dāng)BH與EH滿足什么關(guān)系時(shí),四邊形BFCE是矩形,請(qǐng)說(shuō)明理由15如圖,E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB,AC上的點(diǎn),且BE=AF,CE、BF交于點(diǎn)P(1)求證:CE=BF;(2)求BPC的度數(shù)16在等腰直角三角形ABC中,BAC=90°,AB=AC,直線MN過(guò)點(diǎn)A且MNBC,過(guò)點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作RtBDE,BDE=90°,且點(diǎn)D在直線MN上(不與點(diǎn)A重合),如圖1,DE與AC交于點(diǎn)P,易證:BD=DP(無(wú)需寫(xiě)證明過(guò)程)(1)在圖2中,DE與CA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,BD=DP是否成立?如果成立,請(qǐng)給予證明;如果不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)在圖3中,DE與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,BD與DP是否相等?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論,無(wú)需證明17如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊AD,BC上,且DE=CF,連接OE,OF求證:OE=OF18如圖,在RtABC中,C=90°,A的平分線交BC于點(diǎn)E,EFAB于點(diǎn)F,點(diǎn)F恰好是AB的一個(gè)三等分點(diǎn)(AFBF)(1)求證:ACEAFE;(2)求tanCAE的值19探究:如圖,在ABC中,AB=AC,ABC=60°,延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E,使BE=AD,連結(jié)CD,AE,求證:ACECBD應(yīng)用:如圖,在菱形ABCF中,ABC=60°,延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E,使BE=AD,連結(jié)CD,EA,延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)G,求CGE的度數(shù)20如圖,在正方形ABCD中,P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn),連接BP、DP,延長(zhǎng)BC到E,使PB=PE求證:PDC=PEC21如圖,已知ABC中AB=AC(1)作圖:在AC上有一點(diǎn)D,延長(zhǎng)BD,并在BD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,使AE=AB,連AE,作EAC的平分線AF,AF交DE于點(diǎn)F(用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法);(2)在(1)的條件下,連接CF,求證:E=ACF22(1)如圖1,點(diǎn)E,F(xiàn)在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C,求證:A=D(2)如圖2,在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形所組成的網(wǎng)格中,ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上sinB的值是;畫(huà)出ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的A1B1C1(A與A1,B與B1,C與C1相對(duì)應(yīng)),連接AA1,BB1,并計(jì)算梯形AA1B1B的面積23在平面內(nèi)正方形ABCD與正方形CEFH如圖放置,連DE,BH,兩線交于M求證:(1)BH=DE(2)BHDE24如圖,點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn),分別以點(diǎn)B,C為圓心,BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧相交于點(diǎn)A,連接AB,AC,AD,點(diǎn)E為AD上一點(diǎn),連接BE,CE(1)求證:BE=CE;(2)以點(diǎn)E為圓心,ED長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,分別交BE,CE于點(diǎn)F,G若BC=4,EBD=30°,求圖中陰影部分(扇形)的面積25如圖,在等邊ABC中,點(diǎn)D在直線BC上,連接AD,作ADN=60°,直線DN交射線AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CFAB交直線DN于點(diǎn)F(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上,NDB為銳角時(shí),如圖,求證:CF+BE=CD;(提示:過(guò)點(diǎn)F作FMBC交射線AB于點(diǎn)M)(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上,NDB為銳角時(shí),如圖;當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上,NDB為鈍角時(shí),如圖,請(qǐng)分別寫(xiě)出線段CF,BE,CD之間的數(shù)量關(guān)系,不需要證明;(3)在(2)的條件下,若ADC=30°,SABC=4,則BE=,CD=26如圖所示,已知1=2,請(qǐng)你添加一個(gè)條件,證明:AB=AC(1)你添加的條件是;(2)請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程27如圖1,在RtABC中,BAC=90°,AB=AC,在BC的同側(cè)作任意RtDBC,BDC=90°(1)若CD=2BD,M是CD中點(diǎn)(如圖1),求證:ADBAMC;下面是小明的證明過(guò)程,請(qǐng)你將它補(bǔ)充完整:證明:設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)O,BDC=90°,BAC=90°,DOB+DBO=AOC+ACO=90°DOB=AOC,DBO=M是DC的中點(diǎn),CM=CD=又AB=AC,ADBAMC(2)若CDBD(如圖2),在BD上是否存在一點(diǎn)N,使得ADN是以DN為斜邊的等腰直角三角形?若存在,請(qǐng)?jiān)趫D2中確定點(diǎn)N的位置,并加以證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)當(dāng)CDBD時(shí),線段AD,BD與CD滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出28如圖,正方形ABCD中,E、F分別為BC、CD上的點(diǎn),且AEBF,垂足為點(diǎn)G求證:AE=BF29如圖,四邊形ABCD是正方形,BEBF,BE=BF,EF與BC交于點(diǎn)G(1)求證:AE=CF;(2)若ABE=55°,求EGC的大小30如圖,ABC中,BAC=90°,AB=AC,ADBC,垂足是D,AE平分BAD,交BC于點(diǎn)E在ABC外有一點(diǎn)F,使FAAE,F(xiàn)CBC(1)求證:BE=CF;(2)在AB上取一點(diǎn)M,使BM=2DE,連接MC,交AD于點(diǎn)N,連接ME求證:MEBC;DE=DN參考答案與試題解析一、選擇題1如圖,已知等邊ABC,AB=2,點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上,BD=CF,DEBC于E,F(xiàn)GBC于G,DF交BC于點(diǎn)P,則下列結(jié)論:BE=CG;EDPGFP;EDP=60°;EP=1中,一定正確的是()ABCD【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì)【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可以得出DEBFGC,就可以得出BE=CG,DE=FG,就可以得出DEPFGP,得出EDP=GFP,EP=PG,得出PC+BE=PE,就可以得出PE=1,從而得出結(jié)論【解答】解:ABC是等邊三角形,AB=BC=AC,A=B=ACB=60°ACB=GCF,DEBC,F(xiàn)GBC,DEB=FGC=DEP=90°在DEB和FGC中,DEBFGC(AAS),BE=CG,DE=FG,故正確;在DEP和FGP中,DEPFGP(AAS),故正確;PE=PGEDP=GFP60°,故錯(cuò)誤;PG=PC+CG,PE=PC+BEPE+PC+BE=2,PE=1故正確正確的有,故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用,解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵二、填空題2如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm,E為CD邊上一點(diǎn),DAE=30°,M為AE的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q若PQ=AE,則AP等于1或2cm【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì);解直角三角形【專題】分類討論【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形,過(guò)P作PNBC,交BC于點(diǎn)N,由ABCD為正方形,得到AD=DC=PN,在直角三角形ADE中,利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng),進(jìn)而利用勾股定理求出AE的長(zhǎng),根據(jù)M為AE中點(diǎn)求出AM的長(zhǎng),利用HL得到三角形ADE與三角形PQN全等,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊,對(duì)應(yīng)角相等得到DE=NQ,DAE=NPQ=30°,再由PN與DC平行,得到PFA=DEA=60°,進(jìn)而得到PM垂直于AE,在直角三角形APM中,根據(jù)AM的長(zhǎng),利用銳角三角函數(shù)定義求出AP的長(zhǎng),再利用對(duì)稱性確定出AP的長(zhǎng)即可【解答】解:根據(jù)題意畫(huà)出圖形,過(guò)P作PNBC,交BC于點(diǎn)N,四邊形ABCD為正方形,AD=DC=PN,在RtADE中,DAE=30°,AD=3cm,tan30°=,即DE=cm,根據(jù)勾股定理得:AE=2cm,M為AE的中點(diǎn),AM=AE=cm,在RtADE和RtPNQ中,RtADERtPNQ(HL),DE=NQ,DAE=NPQ=30°,PNDC,PFA=DEA=60°,PMF=90°,即PMAF,在RtAMP中,MAP=30°,cos30°=,AP=2cm;由對(duì)稱性得到AP=DP=ADAP=32=1cm,綜上,AP等于1cm或2cm故答案為:1或2【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì),熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵3如圖,矩形ABCD中,AB=8,點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn),有AE=4,BE的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連結(jié)EF交CD于點(diǎn)G若G是CD的中點(diǎn),則BC的長(zhǎng)是7【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì);勾股定理;矩形的性質(zhì)【專題】幾何圖形問(wèn)題【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得CG=DG,然后利用“角邊角”證明DEG和CFG全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=CF,EG=FG,設(shè)DE=x,表示出BF,再利用勾股定理列式求EG,然后表示出EF,再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BF=EF,然后列出方程求出x的值,從而求出AD,再根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得BC=AD【解答】解:矩形ABCD中,G是CD的中點(diǎn),AB=8,CG=DG=×8=4,在DEG和CFG中,DEGCFG(ASA),DE=CF,EG=FG,設(shè)DE=x,則BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x,在RtDEG中,EG=,EF=2,F(xiàn)H垂直平分BE,BF=EF,4+2x=2,解得x=3,AD=AE+DE=4+3=7,BC=AD=7故答案為:7【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì),線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì),勾股定理,熟記各性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵4如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn),點(diǎn)E在CD上,且DE=2CE,過(guò)點(diǎn)C作CFBE,垂足為F,連接OF,則OF的長(zhǎng)為【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形;正方形的性質(zhì)【專題】計(jì)算題;幾何圖形問(wèn)題【分析】在BE上截取BG=CF,連接OG,證明OBGOCF,則OG=OF,BOG=COF,得出等腰直角三角形GOF,在RTBCE中,根據(jù)射影定理求得GF的長(zhǎng),即可求得OF的長(zhǎng)【解答】解:如圖,在BE上截取BG=CF,連接OG,RTBCE中,CFBE,EBC=ECF,OBC=OCD=45°,OBG=OCF,在OBG與OCF中OBGOCF(SAS)OG=OF,BOG=COF,OGOF,在RTBCE中,BC=DC=6,DE=2EC,EC=2,BE=2,BC2=BFBE,則62=BF,解得:BF=,EF=BEBF=,CF2=BFEF,CF=,GF=BFBG=BFCF=,在等腰直角OGF中OF2=GF2,OF=故答案為:【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的應(yīng)用5如圖,點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上,ABDE,AB=DE,BE=CF,AC=6,則DF=6【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】幾何圖形問(wèn)題【分析】根據(jù)題中條件由SAS可得ABCDEF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AC=DF=6【解答】證明:ABDE,B=DEFBE=CF,BC=EF,在ABC和DEF中,ABCDEF(SAS),AC=DF=6故答案是:6【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問(wèn)題,應(yīng)熟練掌握全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時(shí),關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件6已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個(gè)如圖所示的正方形(用陰影表示),點(diǎn)B1在y軸上且坐標(biāo)是(0,2),點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上,C1的坐標(biāo)是(1,0)B1C1B2C2B3C3,以此繼續(xù)下去,則點(diǎn)A2014到x軸的距離是【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);規(guī)律型:點(diǎn)的坐標(biāo);正方形的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì)【專題】規(guī)律型【分析】根據(jù)勾股定理可得正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為=,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得后面正方形的邊長(zhǎng)依次是前面正方形邊長(zhǎng)的,依次得到第2014個(gè)正方形和第2014個(gè)正方形的邊長(zhǎng),進(jìn)一步得到點(diǎn)A2014到x軸的距離【解答】解:如圖,點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上,B1C1B2C2B3C3,B1OC1B2E2C2B3E4C3,B1OC1C1E1D1,B2E2=1,B3E4=,B4E6=,B5E8=,B2014E4016=,作A1Ex軸,延長(zhǎng)A1D1交x軸于F,則C1D1FC1D1E1,=,在RtOB1C1中,OB1=2,OC1=1,正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為為=,D1F=,A1F=,A1ED1E1,=,A1E=3,=,點(diǎn)A2014到x軸的距離是×=故答案為:【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及解直角三角形的知識(shí),得出正方形各邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵7如圖,在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中,E是AB邊上一點(diǎn),G是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BE=DG,連接EG,CFEG交EG于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)F,連接CE,BH若BH=8,則FG=5【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形;正方形的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì)【專題】幾何圖形問(wèn)題;壓軸題【分析】如解答圖,連接CG,首先證明CGDCEB,得到GCE是等腰直角三角形;過(guò)點(diǎn)H作AB、BC的垂線,垂足分別為點(diǎn)M、N,進(jìn)而證明HEMHCN,得到四邊形MBNH為正方形,由此求出CH、HN、CN的長(zhǎng)度;最后利用相似三角形RtHCNRtGFH,求出FG的長(zhǎng)度【解答】解:如圖所示,連接CG在CGD與CEB中CGDCEB(SAS),CG=CE,GCD=ECB,GCE=90°,即GCE是等腰直角三角形又CHGE,CH=EH=GH過(guò)點(diǎn)H作AB、BC的垂線,垂足分別為點(diǎn)M、N,則MHN=90°,又EHC=90°,1=2,HEM=HCN在HEM與HCN中,HEMHCN(ASA)HM=HN,四邊形MBNH為正方形BH=8,BN=HN=4,CN=BCBN=64=2在RtHCN中,由勾股定理得:CH=2GH=CH=2HMAG,1=3,2=3又HNC=GHF=90°,RtHCNRtGFH,即,F(xiàn)G=5故答案為:5【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何綜合題,考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知識(shí)點(diǎn),難度較大作出輔助線構(gòu)造全等三角形與相似三角形,是解決本題的關(guān)鍵8如圖,已知ABC三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O,點(diǎn)D在CA的延長(zhǎng)線上,且DC=BC,AD=AO,若BAC=80°,則BCA的度數(shù)為60°【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì)【專題】幾何圖形問(wèn)題【分析】可證明CODCOB,得出D=CBO,再根據(jù)BAC=80°,得BAD=100°,由角平分線可得BAO=40°,從而得出DAO=140°,根據(jù)AD=AO,可得出D=20°,即可得出CBO=20°,則ABC=40°,最后算出BCA=60°【解答】解:ABC三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O,ACO=BCO,在COD和COB中,CODCOB,D=CBO,BAC=80°,BAD=100°,BAO=40°,DAO=140°,AD=AO,D=20°,CBO=20°,ABC=40°,BCA=60°,故答案為:60°【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì),證明三角形全等是解決此題的關(guān)鍵9如圖,在四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,ABC=ACB=ADC=45°,則BD的長(zhǎng)為【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;等腰直角三角形【專題】計(jì)算題;壓軸題【分析】根據(jù)等式的性質(zhì),可得BAD與CAD的關(guān)系,根據(jù)SAS,可得BAD與CAD的關(guān)系,根據(jù)全等三角形的性質(zhì),可得BD與CD的關(guān)系,根據(jù)勾股定理,可得答案【解答】解:作ADAD,AD=AD,連接CD,DD,如圖:BAC+CAD=DAD+CAD,即BAD=CAD,在BAD與CAD中,BADCAD(SAS),BD=CDDAD=90°由勾股定理得DD=,DDA+ADC=90°由勾股定理得CD=,BD=CD=,故答案為:【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),利用了全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,作出全等圖形是解題關(guān)鍵10如圖,在ABC中,分別以AC,BC為邊作等邊ACD和等邊BCE設(shè)ACD、BCE、ABC的面積分別是S1、S2、S3,現(xiàn)有如下結(jié)論:S1:S2=AC2:BC2;連接AE,BD,則BCDECA;若ACBC,則S1S2=S32其中結(jié)論正確的序號(hào)是【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì)【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方判斷;根據(jù)SAS即可求得全等;根據(jù)面積公式即可判斷【解答】S1:S2=AC2:BC2正確,解:ADC與BCE是等邊三角形,ADCBCE,S1:S2=AC2:BC2BCDECA正確,證明:ADC與BCE是等邊三角形,ACD=BCE=60°ACD+ACB=BCE+ACD,即ACE=DCB,在ACE與DCB中,BCDECA(SAS)若ACBC,則S1S2=S32正確,解:設(shè)等邊三角形ADC的邊長(zhǎng)=a,等邊三角形BCE邊長(zhǎng)=b,則ADC的高=a,BCE的高=b,S1=aa=a2,S2=bb=b2,S1S2=a2b2=a2b2,S3=ab,S32=a2b2,S1S2=S32【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定,等邊三角形的性質(zhì),面積公式以及相似三角形面積的比等于相似比的平方,熟知各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵三、解答題11如圖,已知點(diǎn)E、F在四邊形ABCD的對(duì)角線延長(zhǎng)線上,AE=CF,DEBF,1=2(1)求證:AEDCFB;(2)若ADCD,四邊形ABCD是什么特殊四邊形?請(qǐng)說(shuō)明理由【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);矩形的判定【專題】證明題【分析】(1)根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得E=F,再利用“角角邊”證明AED和CFB全等即可;(2)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=BC,DAE=BCF,再求出DAC=BCA,然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行可得ADBC,再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形ABCD是平行四邊形,再根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形解答【解答】(1)證明:DEBF,E=F,在AED和CFB中,AEDCFB(AAS);(2)解:四邊形ABCD是矩形理由如下:AEDCFB,AD=BC,DAE=BCF,DAC=BCA,ADBC,四邊形ABCD是平行四邊形,又ADCD,四邊形ABCD是矩形【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定,平行四邊形的判定以及平行四邊形與矩形的聯(lián)系,熟記各圖形的判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵12如圖,ABC中,AB=AC,BAC=40°,將ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)100°得到ADE,連接BD,CE交于點(diǎn)F(1)求證:ABDACE;(2)求ACE的度數(shù);(3)求證:四邊形ABFE是菱形【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);菱形的判定;旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【專題】證明題【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出BAD=CAE,然后利用“邊角邊”證明ABD和ACE全等(2)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等,得出ACE=ABD,即可求得(3)根據(jù)對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形,可證得四邊形ABFE是平行四邊形,然后依據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形,即可證得【解答】(1)證明:ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)100°,BAC=DAE=40°,BAD=CAE=100°,又AB=AC,AB=AC=AD=AE,在ABD與ACE中ABDACE(SAS)(2)解:CAE=100°,AC=AE,ACE=(180°CAE)=(180°100°)=40°;(3)證明:BAD=CAE=100°AB=AC=AD=AE,ABD=ADB=ACE=AEC=40°BAE=BAD+DAE=140°,BFE=360°BAEABDAEC=140°,BAE=BFE,四邊形ABFE是平行四邊形,AB=AE,平行四邊形ABFE是菱形【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及菱形的判定,熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵13如圖,已知ABC是等腰三角形,頂角BAC=(60°),D是BC邊上的一點(diǎn),連接AD,線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AE,過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線,交AB于點(diǎn)F,連接DE,BE,DF(1)求證:BE=CD;(2)若ADBC,試判斷四邊形BDFE的形狀,并給出證明【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);菱形的判定;旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【專題】證明題【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得BAE=CAD,從而SAS證明ACDABE,得出答案BE=CD;(2)由ADBC,SAS可得ACDABEABD,得出BE=BD=CD,EBF=DBF,再由EFBC,DBF=EFB,從而得出EBF=EFB,則EB=EF,證明得出四邊形BDFE為菱形【解答】證明:(1)ABC是等腰三角形,頂角BAC=(60°),線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AE,AB=AC,BAE=CAD,在ACD和ABE中,ACDABE(SAS),BE=CD;(2)ADBC,BD=CD,BE=BD=CD,BAD=CAD,BAE=BAD,在ABD和ABE中,ABDABE(SAS),EBF=DBF,EFBC,DBF=EFB,EBF=EFB,EB=EF,BD=BE=EF=FD,四邊形BDFE為菱形【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)14如圖,在四邊形ABCD中,點(diǎn)H是BC的中點(diǎn),作射線AH,在線段AH及其延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)E,F(xiàn),連結(jié)BE,CF(1)請(qǐng)你添加一個(gè)條件,使得BEHCFH,你添加的條件是EH=FH,并證明(2)在問(wèn)題(1)中,當(dāng)BH與EH滿足什么關(guān)系時(shí),四邊形BFCE是矩形,請(qǐng)說(shuō)明理由【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);矩形的判定【專題】幾何綜合題;分類討論【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定方法,可得出當(dāng)EH=FH,BECF,EBH=FCH時(shí),都可以證明BEHCFH,(2)由(1)可得出四邊形BFCE是平行四邊形,再根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形可得出BH=EH時(shí),四邊形BFCE是矩形【解答】(1)答:添加:EH=FH,證明:點(diǎn)H是BC的中點(diǎn),BH=CH,在BEH和CFH中,BEHCFH(SAS);(2)解:BH=CH,EH=FH,四邊形BFCE是平行四邊形(對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形),當(dāng)BH=EH時(shí),則BC=EF,平行四邊形BFCE為矩形(對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形)【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定,是基礎(chǔ)題,難度不大15如圖,E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB,AC上的點(diǎn),且BE=AF,CE、BF交于點(diǎn)P(1)求證:CE=BF;(2)求BPC的度數(shù)【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì)【分析】(1)欲證明CE=BF,只需證得BCEABF;(2)利用(1)中的全等三角形的性質(zhì)得到BCE=ABF,則由圖示知PBC+PCB=PBC+ABF=ABC=60°,即PBC+PCB=60°,所以根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得BPC=120°【解答】(1)證明:如圖,ABC是等邊三角形,BC=AB,A=EBC=60°,在BCE與ABF中,BCEABF(SAS),CE=BF;(2)解:由(1)知BCEABF,BCE=ABF,PBC+PCB=PBC+ABF=ABC=60°,即PBC+PCB=60°,BPC=180°60°=120°即:BPC=120°【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時(shí),關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件16在等腰直角三角形ABC中,BAC=90°,AB=AC,直線MN過(guò)點(diǎn)A且MNBC,過(guò)點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作RtBDE,BDE=90°,且點(diǎn)D在直線MN上(不與點(diǎn)A重合),如圖1,DE與AC交于點(diǎn)P,易證:BD=DP(無(wú)需寫(xiě)證明過(guò)程)(1)在圖2中,DE與CA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,BD=DP是否成立?如果成立,請(qǐng)給予證明;如果不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)在圖3中,DE與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,BD與DP是否相等?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論,無(wú)需證明【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形;平行四邊形的性質(zhì)【專題】幾何綜合題【分析】(1)如答圖2,作輔助線,構(gòu)造全等三角形BDFPDA,可以證明BD=DP;(2)如答圖3,作輔助線,構(gòu)造全等三角形BDFPDA,可以證明BD=DP【解答】題干引論:證明:如答圖1,過(guò)點(diǎn)D作DFMN,交AB于點(diǎn)F,則ADF為等腰直角三角形,DA=DF1+FDP=90°,F(xiàn)DP+2=90°,1=2在BDF與PDA中,BDFPDA(ASA)BD=DP(1)答:BD=DP成立證明:如答圖2,過(guò)點(diǎn)D作DFMN,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則ADF為等腰直角三角形,DA=DF1+ADB=90°,ADB+2=90°,1=2在BDF與PDA中,BDFPDA(ASA)BD=DP(2)答:BD=DP證明:如答圖3,過(guò)點(diǎn)D作DFMN,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則ADF為等腰直角三角形,DA=DF在BDF與PDA中,BDFPDA(ASA)BD=DP【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵17如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊AD,BC上,且DE=CF,連接OE,OF求證:OE=OF【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);矩形的性質(zhì)【專題】證明題【分析】欲證明OE=OF,只需證得ODEOCF即可【解答】證明:如圖,四邊形ABCD是矩形,ADC=BCD=90°,AC=BD,OD=BD,OC=AC,OD=OC,ODC=OCD,ADCODC=BCDOCD,即EDO=FCO,在ODE與OCF中,ODEOCF(SAS),OE=OF【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時(shí),關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件18如圖,在RtABC中,C=90°,A的平分線交BC于點(diǎn)E,EFAB于點(diǎn)F,點(diǎn)F恰好是AB的一個(gè)三等分點(diǎn)(AFBF)(1)求證:ACEAFE;(2)求tanCAE的值【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);角平分線的性質(zhì);勾股定理;銳角三角函數(shù)的定義【專題】證明題【分析】(1)根據(jù)角的平分線的性質(zhì)可求得CE=EF,然后根據(jù)直角三角形的判定定理求得三角形全等(2)由ACEAFE,得出AC=AF,CE=EF,設(shè)BF=m,則AC=2m,AF=2m,AB=3m,根據(jù)勾股定理可求得,tanB=,CE=EF=,在RTACE中,tanCAE=;【解答】(1)證明:AE是BAC的平分線,ECAC,EFAF,CE=EF,在RtACE與RtAFE中,RtACERtAFE(HL);(2)解:由(1)可知ACEAFE,AC=AF,CE=EF,設(shè)BF=m,則AC=2m,AF=2m,AB=3m,BC=m,解法一:C=EFB=90°,EFBACB,=,CE=EF,=;解法二:在RTABC中,tanB=,在RTEFB中,EF=BFtanB=,CE=EF=,在RTACE中,tanCAE=;tanCAE=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的判定、性質(zhì)和利用三角函數(shù)解直角三角形,根據(jù)已知條件表示出線段的值是解本題的關(guān)鍵19探究:如圖,在ABC中,AB=AC,ABC=60°,延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E,使BE=AD,連結(jié)CD,AE,求證:ACECBD應(yīng)用:如圖,在菱形ABCF中,ABC=60°,延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E,使BE=AD,連結(jié)CD,EA,延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)G,求CGE的度數(shù)【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì);菱形的性質(zhì)【專題】幾何圖形問(wèn)題【分析】探究:先判斷出ABC是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BC=AC,ACB=ABC,再求出CE=BD,然后利用“邊角邊”證明即可;應(yīng)用:連接AC,易知ABC是等邊三角形,由探究可知ACE和CBD全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得E=D,然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出CGE=ABC即可【解答】解:探究:AB=AC,ABC=60°,ABC是等邊三角形,BC=AC,ACB=ABC,BE=AD,BE+BC=AD+AB,即CE=BD,在ACE和CBD中,ACECBD(SAS);應(yīng)用:如圖,連接AC,易知ABC是等邊三角形,由探究可知ACECBD,E=D,BAE=DAG,E+BAE=D+DAG,CGE=ABC,ABC=60°,CGE=60°【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì),熟記性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵,(2)作輔助線構(gòu)造出探究的條件是解題的關(guān)鍵20如圖,在正方形ABCD中,P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn),連接BP、DP,延長(zhǎng)BC到E,使PB=PE求證:PDC=PEC【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì)【專題】證明題【分析】根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BC=CD,對(duì)角線平分一組對(duì)角可得BCP=DCP,再利用“邊角邊”證明BCP和DCP全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得PDC=PBC,再根據(jù)等邊對(duì)等角可得PBC=PEC,從而得證【解答】證明:在正方形ABCD中,BC=CD,BCP=DCP,在BCP和DCP中,BCPDCP(SAS),PDC=PBC,PB=PE,PBC=PEC,PDC=PEC【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì),等邊對(duì)等角的性質(zhì),熟記各性質(zhì)并判斷出全等三角形是解題的關(guān)鍵21如圖,已知ABC中AB=AC(1)作圖:在AC上有一點(diǎn)D,延長(zhǎng)BD,并在BD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,使AE=AB,連AE,作EAC的平分線AF,AF交DE于點(diǎn)F(用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法);(2)在(1)的條件下,連接CF,求證:E=ACF【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì);作圖復(fù)雜作圖【專題】作圖題;證明題【分析】(1)以A為圓心,以AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,與BD的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即為點(diǎn)E,再以點(diǎn)A為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,分別與AC、AE相交,然后以這兩點(diǎn)為圓心,以大于它們長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧,兩弧相交于一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A與這一點(diǎn)作出射線與BE的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)F;(2)求出AE=AC,根據(jù)角平分線的定義可得EAF=CAF,再利用“邊角邊”證明AEF和ACF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得E=ACF【解答】(1)解:如圖所示;(2)證明:AB=AC,AE=AB,AE=AC,AF是EAC的平分線,EAF=CAF,在AEF和ACF中,AEFACF(SAS),E=ACF【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判斷與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),作一條線段等于已知線段,角平分線的作法,確定出全等三角形的條件是解題的關(guān)鍵22(1)如圖1,點(diǎn)E,F(xiàn)在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C,求證:A=D(2)如圖2,在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形所組成的網(wǎng)格中,ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上sinB的值是;畫(huà)出ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的A1B1C1(A與A1,B與B1,C與C1相對(duì)應(yīng)),連接AA1,BB1,并計(jì)算梯形AA1B1B的面積【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);作圖-軸對(duì)稱變換;銳角三角函數(shù)的定義【專題】網(wǎng)格型【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì),可得答案;(2)根據(jù)正弦函數(shù)的定義,可得答案;根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì),可作軸對(duì)稱圖形,根據(jù)梯形的面積公式,可得答案【解答】(1)證明:BE=CF,BE+EF=CF+EF即BF=CE在ABF和DCE中,ABFDCE(SAS)A=D;(2)解:AC=3,BC=4,AB=5sinB=;如圖所示:由軸對(duì)稱性質(zhì)得AA1=2,BB1=8,高是4,=20【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),利用了等式的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)23在平面內(nèi)正方形ABCD與正方形CEFH如圖放置,連DE,BH,兩線交于M求證:(1)BH=DE(2)BHDE【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì)【專題】證明題【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC=CD,CE=CH,BCD=ECH=90°,然后求出BCH=DCE,再利用“邊角邊”證明BCH和DCE全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可;(2)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得CBH=CDE,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出DMB=BCD=90°,再根據(jù)垂直的定義證明即可【解答】證明:(1)在正方形ABCD與正方形CEFH中,BC=CD,CE=CH,BCD=ECH=90°,BCD+DCH=ECH+DCH,即BCH=DCE,在BCH和DCE中,BCHDCE(SAS),BH=DE;(2)BCHDCE,CBH=CDE,又CGB=MGD,DMB=BCD=90°,BHDE【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì),熟記性質(zhì)并確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn)24如圖,點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn),分別以點(diǎn)B,C為圓心,BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧相交于點(diǎn)A,連接AB,AC,AD,點(diǎn)E為AD上一點(diǎn),連接BE,CE(1)求證:BE=CE;(2)以點(diǎn)E為圓心,ED長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,分別交BE,CE于點(diǎn)F,G若BC=4,EBD=30°,求圖中陰影部分(扇形)的面積【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì);扇形面積的計(jì)算【分析】(1)由點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)得到BD=CD,再由AB=AC=BC可判斷ABC為等邊三角形,于是得到AD為BC的垂直平分線,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得BE=CE;(2)由EB=EC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得EBC=ECB=30°,則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算得BEC=120°,在RtBDE中,BD=BC=2,EBD=30°,根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到ED=BD=,然后根據(jù)扇形的面積公式求解【解答】(1)證明:點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn),BD=CD,AB=AC=BC,ABC為等邊三角形,AD為BC的垂直平分線,BE=CE;(2)解:EB=EC,EBC=ECB=30°,BEC=120°,在RtBDE中,BD=BC=2,EBD=30°,ED=BDtan30°=BD=,陰影部分(扇形)的面積=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì):全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、相等垂直平分線的性質(zhì)以及扇形的面積公式25如圖,在等邊ABC中,點(diǎn)D在直線BC上,連接AD,作ADN=60°,直線DN交射線AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CFAB交直線DN于點(diǎn)F(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上,NDB為銳角時(shí),如圖,求證:CF+BE=CD;(提示:過(guò)點(diǎn)F作FMBC交射線AB于點(diǎn)M)(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上,NDB為銳角時(shí),如圖;當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上,NDB為鈍角時(shí),如圖,請(qǐng)分別寫(xiě)出線段CF,BE,CD之間的數(shù)量關(guān)系,不需要證明;(3)在(2)的條件下,若ADC=30°,SABC=4,則BE=8,CD=4或8【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì);含30度角的直角三角形;平行四邊形的判定與性質(zhì)【專題】幾何綜合題【分析】(1)通過(guò)MEFCDA即可求得ME=CD,因?yàn)橥ㄟ^(guò)證四邊形BCFM是平行四邊形可以得出BM=CF,從而證得CF+BE=CD;(2)作FMBC,得出四邊形BCFM是平行四邊形,然后通過(guò)證得MEFCDA即可求得,(3)根據(jù)ABC的面積可求得AB=BC=AC=4,所以BD=2AB=8,所以 BE=8,圖CD=4圖CD=8,【解答】(1)證明:如圖,過(guò)點(diǎn)F作FMBC交射線AB于點(diǎn)M,CFAB,四邊形BMFC是平行四邊形,BC=MF,CF=BM,ABC=EMF,BDE=MFE,ABC是等邊三角形,ABC=ACB=60°,BC=AC,EMF=ACB,AC=MF,ADN=60°,BDE+ADC=120°,ADC+DAC=120°,BDE=DAC,MFE=DAC,在MEF與CDA中,MEFCDA(AAS),CD=ME=EB+BM,CD=BE+CF(2)如圖,CF+CD=BE,如圖,CFCD=BE;(3)ABC是等邊三角形,SABC=4,易得AB=BC=AC=4,如圖,ADC=30°,ACB=60°,CD=AC=4,ADN=60°,CDF=30°,又CFAB,BCF=ABC=60°,CFD=CDF=30°,CD=CF,由(2)知BE=CF+CD,BE=4+4=8如圖,ADC=30°,ABC=60°,BAD=ADC=30°,BD=BA=4,CD=BD+BC=4+4=8,ADN=60°,ADC=30°,BDE=90°,又DBE=ABC=60°,DEB=30°,在RtBDE中,DEB=30°,BD=4,BE=2BD=8,綜上,BE=8,CD=4或8【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì),三角形全等的判定和性質(zhì),30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等26如圖所示,已知1=2,請(qǐng)你添加一個(gè)條件,證明:AB=AC(1)你添加的條件是B=C;(2)請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】幾何綜合題【分析】(1)此題是一道開(kāi)放型的題目,答案不唯一,如B=C或ADB=ADC等;(2)根據(jù)全等三角形的判定定理AAS推出ABDACD,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可【解答】解:(1)添加的條件是B=C,故答案為:B=C;(2)證明:在ABD和ACD中,ABDACD(AAS),AB=AC【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊相等27如圖1,在RtABC中,BAC=90°,AB=AC,在BC的同側(cè)作任意RtDBC,BDC=90°(1)若

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