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1、
《保險(xiǎn)精精算學(xué)》筆筆記：多元生生命函數(shù)數(shù)
第一節(jié)?? 多元元生命函函數(shù)簡(jiǎn)介介
一、多元元生命函函數(shù)的定定義：涉涉及多個(gè)個(gè)生命剩剩余壽命命的函數(shù)數(shù)。
二、多元元生命函函數(shù)的作作用
養(yǎng)老金給給付場(chǎng)合合
n???????????? 合伙伙人聯(lián)保保場(chǎng)合
n遺產(chǎn)稅稅的計(jì)算算場(chǎng)合
三、多元元剩余壽壽命的聯(lián)聯(lián)合分布布
1、? 聯(lián)合密密度函數(shù)數(shù)
2、? 聯(lián)合分分布函數(shù)數(shù)
3、? 聯(lián)合生生存函數(shù)數(shù)
4、? 邊際生生存函數(shù)數(shù)
第二節(jié)?? 多元元生命狀狀況
??? 一、連連生狀況況
1、? 連生狀狀況定義義
（1）定定義：當(dāng)當(dāng)所有成成員都活活著時(shí)的的狀況，稱稱為
2、連生生狀況。當(dāng)當(dāng)有一個(gè)個(gè)成員死死亡時(shí)，連連生狀況況就結(jié)束束了。簡(jiǎn)簡(jiǎn)記連生生狀況為為：
（2）連連生狀況況剩余壽壽命的定定義：
（3）連連生狀況況剩余壽壽命的性性
質(zhì)：連生生狀況的的剩余壽壽命的實(shí)實(shí)質(zhì)上就就是 個(gè)個(gè)生命的的最小次次序統(tǒng)計(jì)計(jì)量
2、? 兩個(gè)體體連生狀狀況的生生命函數(shù)數(shù)
（1）分分布函數(shù)數(shù)
（2）生生存函數(shù)數(shù)
特別：兩兩個(gè)體剩剩余壽命命獨(dú)立場(chǎng)場(chǎng)合
（3）密密度函數(shù)數(shù)
特別：兩兩個(gè)體剩剩余壽命命獨(dú)立場(chǎng)場(chǎng)合
（4）死死亡效力力函數(shù)
特別：兩兩個(gè)體剩剩余壽命命獨(dú)立場(chǎng)場(chǎng)合
（5）兩兩個(gè)體至至少有一一個(gè)在第第 年內(nèi)內(nèi)死亡的的概率
3、
（6）連連生狀況況整值剩剩余壽命命為 的的概率
（7）剩剩余壽命命的期望望
二、最后后生存狀狀況
1、? 最后生生存狀況況的定義義
（1）定定義：只只要至少少有一個(gè)個(gè)成員活活著時(shí)的的狀況，稱稱為最后后生存狀狀況。當(dāng)當(dāng)所有的的成員都都死亡時(shí)時(shí)，最后后生存狀狀況就結(jié)結(jié)束了。簡(jiǎn)簡(jiǎn)記最后后生存狀狀況為：：
（2）最最后生存存狀況剩剩余壽命命的定義義：
（3）最最后生存存狀況剩剩余壽命命的性
質(zhì)：最后后生存狀狀況的剩剩余壽命命的實(shí)質(zhì)質(zhì)上就是是 個(gè)生生命的最最大次序序統(tǒng)計(jì)量量
2、? 多生命命狀況剩剩余壽命命的關(guān)系系
（1）
（2）
（3）
（4）
4、
3、兩個(gè)個(gè)體最后后生存狀狀況的生生命函數(shù)數(shù)
（1）分分布函數(shù)數(shù)
等價(jià)公式式
（2）生生存函數(shù)數(shù)
等價(jià)公式式
（3）密密度函數(shù)數(shù)
等價(jià)公式式
（4）死死亡效力力函數(shù)
（5）最最后生存存狀況整整值剩余余壽命為為 的概概率
等價(jià)公式式
（6）剩剩余壽命命期望
4、聯(lián)合合生命狀狀態(tài)剩余余壽命協(xié)協(xié)方差分分析
第三節(jié)?????????? 聯(lián)合合生命模模型
一、 簡(jiǎn)簡(jiǎn)介
聯(lián)合生命命模型分分為兩類類：Coommoon SShocck 模模型和CCopuulass模型。
Commmon Shoock 模型假假定個(gè)體體之間的的剩余
5、壽壽命隨機(jī)機(jī)變量相相互獨(dú)立立的模型型。這種種模型假假定有時(shí)時(shí)與現(xiàn)實(shí)實(shí)情況不不符，但但易于分分析。
Copuulass模型假假定個(gè)體體之間的的剩余壽壽命隨機(jī)機(jī)變量不不獨(dú)立的的模型。這這種模型型假定更更符合實(shí)實(shí)際情況況，但不不易于分分析。
我們主要要研究簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的CCommmon Shoock 模型。
二、 CCommmon Shoock 模型
1、定義義：如果果有 滿滿足
且有一個(gè)個(gè)Commmonn Shhockk 隨機(jī)機(jī)變量 ，它獨(dú)獨(dú)立于 ，且服服從指數(shù)數(shù)生存函函數(shù)
令
則
2、聯(lián)合合生命狀狀況分析析
記
則
（1）邊邊際生存存函數(shù)為為
6、
（2）連連生狀況況剩余壽壽命生存存函數(shù)為為
（3）最最后生存存狀況剩剩余壽命命生存函函數(shù)為
特別， 獨(dú)立時(shí)時(shí)，等價(jià)價(jià)于 。
第四節(jié)?? 人壽壽保險(xiǎn)與與生存年年金
一、聯(lián)合合生命狀狀況躉繳繳純保費(fèi)費(fèi)的確定定
1、? 躉繳純純保費(fèi)的的確定原原理
2、? 聯(lián)合多多生命狀狀況躉繳繳純保費(fèi)費(fèi)的確定定
（1）???????? 連生狀狀況
（2）???????? 最后生生存狀況況
二、聯(lián)合合生命狀狀況生存存年金的的確定
1、? 生存年年金確定定原理
2、? 聯(lián)合生生命狀況況生存年年金的確確定
（1）連連生狀況況
（2）最最后生存存狀況
7、
三、 連連生狀況況合最后后死亡狀狀況的關(guān)關(guān)系
四、 繼繼承年金金
1、? 繼承年年金的定定義：在在聯(lián)合生生命狀態(tài)態(tài)中，只只有在其其中一個(gè)個(gè)生命（vv）死亡亡之后，另另一個(gè)生生命（uu）才能能開(kāi)始獲獲得年金金。這種種年金叫叫做繼承承年金，簡(jiǎn)簡(jiǎn)記為 。
2、? 終身繼繼承年金金
3、? 定期繼繼承年金金
第五節(jié)?? 在特特殊死亡亡律假定定下求值值
一、Goompeerz 和Maakehham假假定
1、? Gommperrz假定定下
尋找能替替代連生生狀態(tài)的的單個(gè)生生命狀態(tài)態(tài) ，即即
已知在GGompperzz假定下下有 ，則則在兩生生命獨(dú)立立假定下下有
由這個(gè)等等式可求求出 ，于于是
2、? Makkehaam假定定下
由于Maakehham假假定的死死亡效力力函數(shù)含含有常數(shù)數(shù)項(xiàng)，所所以無(wú)法法用單個(gè)個(gè)生命狀狀態(tài)替換換連生狀狀態(tài)，但但是可以以考慮用用兩個(gè)同同年齡的的連生狀狀態(tài) 作作替換，即即
已知在MMakeehamm假定下下有 ，則則在兩生生命獨(dú)立立假定下下有
由這個(gè)等等式可求求出 ，于于是
二、均勻勻分布假假定
??? 在均勻勻分布假假定下，躉躉繳純保保費(fèi)和生生存年金金具有單單生命狀狀態(tài)下近近似的性性質(zhì)
《保險(xiǎn)精算學(xué)》筆記：多元生命函數(shù)bwt
