中考數(shù)學(xué) 第二部分 題型研究 拓展題型 二次函數(shù)綜合題課件.ppt

拓展題型 二次函數(shù)綜合題,拓展一 二次函數(shù)與線段和差問題 拓展二 二次函數(shù)與三角形面積問題 拓展三 二次函數(shù)與特殊四邊形判定問題,拓展一 二次函數(shù)與線段和差問題,典例精講,例1 如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0)與x軸交于點(diǎn)A、 B（1,0)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y= x-2經(jīng)過點(diǎn)A、C.拋物線的頂點(diǎn)為D,對稱軸為直線l . （1)求拋物線的解析式；,【思維教練】已知直線y= x-2經(jīng)過 點(diǎn)A、C，結(jié)合題干，可求得A、C兩 點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合B(1,0)，代入拋物線 y=ax2+bx+c(a0)求解即可；,例1題圖,拋物線解析式為y= - x2+ x-2；,例1題圖,【思維教練】要求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對稱軸l，需知拋物線的頂點(diǎn)式，(1)中已求得拋物線的一般式，直接化為頂點(diǎn)式即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)和對稱軸l ；,（2）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)與對稱軸l；,例1題圖,解：由拋物線y= - x2+ x-2，得 y= - （x2-5x）-2= - (x- )2+ ， 拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ , ）， 對稱軸l為直線x= ；,例1題圖,【思維教練】已知點(diǎn)E在x軸上，則設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（e,0）,要求點(diǎn)E的坐標(biāo)，已知AE=CE，需先分別用含e的式子表示出AE和CE，由于A點(diǎn)坐標(biāo)（1）中已求得，則AE4-e,由題圖可知點(diǎn)O、E、C三點(diǎn)可構(gòu)成RtCOE，結(jié)合C點(diǎn)坐標(biāo)，利用勾股定理即可表示出CE的式子，建立方程求解即可；,（3）設(shè)點(diǎn)E為x軸上一點(diǎn)，且AE=CE，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；,例1題圖,例1題解圖,在Rt COE中，根據(jù)勾股定理得 CE2=OC2+OE2=22+e2， AE=CE， (4-e)222+e2， 解得e= ， 則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（ ，0）；,E,解：如解圖，由點(diǎn)E在x軸上，可設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（e,0）， 則AE=4-e，連接CE，,（4）設(shè)點(diǎn)G是y軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)G,使得GD+GB的值最小，若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由； 例1題圖,【思維教練】線段之和最小值問題即“最短路徑問題”，解決這類問題最基本的定理就是“兩點(diǎn)之間線段最短”，即已知一條直線和直線同旁的兩個(gè)點(diǎn)，要在直線上找一點(diǎn)，使得這兩個(gè)點(diǎn)與這點(diǎn)連接的線段之和最小，解決問題的方法就是通過軸對稱作出對稱點(diǎn)來解決.如此問，要使GD+GB的值最小，先找點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B,再連接BD, BD與y軸的交點(diǎn)即為所求的G點(diǎn)，求直線BD的解析式，再求其與y軸的交點(diǎn)即可；,設(shè)直線BD 的解析式為y=kx+d （k0），其中D( , )， 則 解得 直線BD的解析式為y= x+ ，令x=0,得y= ，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0， ）；,例1題解圖,-k+d=0 k+d= ，,k= d= ，,解：存在.如解圖，取點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1,0）.連接BD，直線BD與y軸的交點(diǎn)G即為所求的點(diǎn).,B,G,（5）在直線l上是否存在一點(diǎn)F，使得BCF的周長最小， 若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及BCF周長的最小值；若不存在，請說明理由；,例1題圖,【思維教練】要使BCF的周長最小，因 為BC長為定值，即要使CF+BF的值最小， 由點(diǎn)A,B關(guān)于直線l對稱，可知AC與l的交點(diǎn) 為點(diǎn)F，即可使得CF+BF最小，將x= 代 入直線AC的解析式，即可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)， 在RtAOC中可得AC的長，在RtOBC中可得BC的長，即可得到BCF周長的最小值；,在RtOBC中，OB=1，OC=2，由勾 股定理得BC= 為定值， 當(dāng)BF+CF最小時(shí)，CBCF最小. 點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線l對稱， AC與對稱軸l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)F， 將x= 代入直線y= x-2，得y= -2=- ， 點(diǎn)F的坐標(biāo)為（ , - ）.,例1題解圖,解：存在，要使BCF的周長最小，即BC+BF+CF最小，如解圖所示.,F,在RtAOC中，由AO=4，OC=2，根據(jù)勾股定理得AC=2 ， BCF周長的最小值為BC+AC= +2 =3 ；,例1題解圖,F,【思維教練】要使SD-SB的值最大，則 需分兩種情況討論：S、B、D三點(diǎn)不 共線時(shí)構(gòu)成三角形，由三角形三邊關(guān)系 得到SD-SB<BD；當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有 SD-SB=BD.從而得到當(dāng)點(diǎn)S在DB的延長 線上時(shí)滿足條件，求出直線BD的解析式 后，再求出直線BD與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；,（6）在y軸上是否存在一點(diǎn)S，使得SD- SB的值最大，若存在，求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由;,例1題圖,當(dāng)S與DB不在同一條直線上時(shí)， 由三角形三邊關(guān)系得SD-SB<BD， 當(dāng)S與DB在同一條直線上時(shí)，SD-SB=BD， SD-SBBD，即當(dāng)S在DB的延長線上時(shí)， SD-SB最大，最大值為BD. 設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n, 由B（1，0），D（ ， ），得,例1題解圖,S,解：存在.如解圖，延長DB交y軸于點(diǎn)S.,m+n=0 m+n= ， m= 解得 ， n=- 直線BD的解析式為y= x- , 當(dāng)x=0時(shí),y=- , 即當(dāng)點(diǎn)S的坐標(biāo)為（0，- ）時(shí)，SD-SB的值最大；,例1題解圖,S,（7）若點(diǎn)H是拋物線上位于AC上方的一 點(diǎn)，過點(diǎn)H作y軸的平行線，交AC于點(diǎn)K， 設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為h，線段HKd. 求d關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式； 求d的最大值及此時(shí)H點(diǎn)的坐標(biāo)；,例1題圖,【思維教練】平行于y軸的兩點(diǎn)之間的距離為此兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差的絕對值，如此問，要求d關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式，由題可得點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為h，分別將h代入拋物線及直線AC的解析式中，即可得到點(diǎn)H、K的縱坐標(biāo)，再由點(diǎn)H在點(diǎn)K的上方，可得到d關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式；利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，即可得HK的最大值及此時(shí)H點(diǎn)的坐標(biāo)；,點(diǎn)H的坐標(biāo)為（h, - h2+ h-2）， HKy軸，交AC于K， 點(diǎn)K的坐標(biāo)為（h, h-2）， 點(diǎn)H在點(diǎn)K的上方， HK=d=（- h2+ h-2）-（ h-2） =- h2+2h（0h4）; 由d=- h2+2h=- (h2-4h)=- (h-2)2+2可知， 當(dāng)h=2時(shí)，d最大，0<2<4,符合題意， 當(dāng)h=2時(shí)，d最大，最大值為2,此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)（2,1）；,例1題解圖,H,K,解：如解圖,點(diǎn)H在拋物線上，點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為h，,（8）設(shè)點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)與直線AC距離最大時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出最大距離是多少？,例1題圖,【思維教練】要求P點(diǎn)的坐標(biāo)及P點(diǎn)到AC的 最大距離，可根據(jù)三角形相似，確定對應(yīng) 邊的最大值即可，通過作PTy軸交AC于 L,作PQAC于點(diǎn)Q，證明PLQACO, 得到PQ與PL的比等于AO與AC的比，即可 得到PQ與PL的關(guān)系,再由（7）得到PL的最 大值，即可得到PQ的最大距離及此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo).,PLQ=ACO,PQL=AOC=90， PLQACO， , ， 設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t， 由（7）知PL=- t2+2t，,例1題解圖,解：如解圖，過點(diǎn)P作PTy軸，交AC于L，作PQAC于點(diǎn)Q，,P,T,L,Q,當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí),PL取最大值2， 當(dāng)t=2時(shí)，PQ取最大距離 ， 此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,1）.,P,T,L,Q,拓展二 二次函數(shù)與三角形面積問題,例2 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+3與x軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，且AB=4，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A,B,C. （1)求拋物線的解析式；,例2題圖,【思維教練】要求拋物線的解析式， 需知過拋物線的三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)， 利用直線y=x+3求得A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)， 結(jié)合已知的AB=4，求得B點(diǎn)坐標(biāo)，代入求解即可；,典例精講,解：對于y=x+3，當(dāng)x=0時(shí)，y=3； 當(dāng)y=0時(shí)，x=-3， A（-3，0），C（0，3）， AB=4，B（1，0）， 拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0）， B（1，0），C（0，3）， ，解得 ， 拋物線的解析式為y=-x2-2x+3;,9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3,a=-1 b=-2 c=3,例2題圖,【思維教練】要求ABC的面積，需知ABC的一條邊的長度和這條邊上高的長度，由于ABC的邊AB已知，底邊AB上的高為OC，即為點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，代入面積計(jì)算公式即可求解；,（2）求ABC的面積；,解：點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，3)， OC=3， SABC = ABOC= 43=6;,例2題圖,【思維教練】QAE與CBE的底邊 AE=BE，要使兩三角形面積相等，故 只要高相等，CBE底邊BE的高為3， 點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為3和-3時(shí)，滿足條件， 分別代入拋物線解析式即可求解；,（3）點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，DE是拋物線的對稱軸，點(diǎn)E在x軸上，在拋物線上存在點(diǎn)Q,使得QAE的面積與CBE的面積相等，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；,例2題圖,例2題解圖,Q1,（Q2）,P,Q4,（Q3）,解：Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，3）或（0，3） 或（-1+ ，-3）或（-1- ，-3）； 【解法提示】如解圖，依題意，AE=BE， 當(dāng)QAE的邊AE上的高為3時(shí)，QAE 的面積與CBE的面積相等. 當(dāng)y=3時(shí)，-x2-2x+3=3，解得x1=-2，x2=0， 點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，3）或（0，3）. 當(dāng)y=-3時(shí)，-x2-2x+3=-3，解得x=-1 ， 點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1+ ，-3）或 （-1- ，-3）. 綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，3）或（0，3）或 （-1+ ，-3）或（-1- ，-3）.,【思維教練】要求四邊形AOCD和ACD的面積，由于四邊形AOCD是不規(guī)則圖形，則可利用S四邊形AOCD= SAOD +SCOD計(jì)算.由于ACD的底與高不容易計(jì)算，所以可利用S四邊形AOCD -SAOC計(jì)算；,（4）在（3)的條件下，連接AD,CD，求四邊形AOCD和ACD的面積； 例2題圖,易知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4）， S四邊形AOCD =SAOD +SCOD= 34+ 31= ， SACD =S四邊形AOCD -SAOC= - 33=3；,例2題解圖,解：如解圖，連接OD，,（5）在直線AC的上方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)M,使MAC的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求出MAC面積的最大值；若不存在，請說明理由； 例2題圖,【思維教練】要求圖形面積最值問題，若求三角形面積最值，根據(jù)題意用未知數(shù)設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用所設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)表示出三角形的底和高，用面積公式求解；若求四邊形面積最值時(shí)，常用到的方法是利用割補(bǔ)方法將四邊形分成兩個(gè)三角形，從而利用求三角形面積的方法求得用含未知數(shù)的代數(shù)式表示的線段（常用到相似三角形性質(zhì)、勾股定理）.分別計(jì)算出每個(gè)三角形的面積，再進(jìn)行和差計(jì)算求解.如此問，要使MAC的面積最大，可先用含字母的式子表示出SMAC，再利用二次函數(shù)性質(zhì)討論其最值，進(jìn)而求得M點(diǎn)坐標(biāo)；,設(shè)M（x，-x2-2x+3），則N（x，x+3），MN=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x，SMAC =SAMN +SCMN = MN3= (-x2-3x)= - (x+ )2+ ，- <0， 當(dāng)x=- 時(shí)，SMAC的值最大為 ， 當(dāng)x=- 時(shí)，y=-(- )2-2(- )+3= ， 點(diǎn)M的坐標(biāo)為（- ， ）；,例2題解圖,解：存在點(diǎn)M，使得MAC的面積最大. 如解圖，過點(diǎn)M作MNy軸，交AC于點(diǎn)N，,N,M,【思維教練】要確定H點(diǎn)的位置，根據(jù)HGA被分成面積為12的兩部分，HAI和AIG高相等，對稱軸在y軸左側(cè)，可分HI與IG為12或21兩種情況，列方程即可求解；,（6）點(diǎn)H是拋物線第二象限內(nèi)一點(diǎn)，作HGx軸，試確定H點(diǎn)的位置，使HGA的面積被直線AC分為12的兩部分；,例2題圖,解：如解圖，由（5）可知，可分兩種情況討論： 若HI=2IG，則有-x2-3x=2(x+3) （-3x0）， 整理得x2+5x+6=0， 解得x1=-2，x2=-3（不合題意，舍去）， H（-2，3）； 若2HI=IG，則有2(-x2-3x)=x+3 （-3x0），整理得2x2+7x+3=0， 解得 x1= - ，x2=-3（不合題意，舍去）， H（- ， ）. 綜上所述，有兩種情況：H（-2，3）或H（- ， ）；,例2題解圖,H1,G2,G1,O,H2,I1,I2,（7）在拋物線上是否存在一點(diǎn)R，且位于對稱軸的左側(cè)，使SRBC = ，若存在，求出此時(shí)點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.,【思維教練】先假設(shè)存在點(diǎn)R，使得 SRBC = .過點(diǎn)R作BC的垂線交BC 的延長線于點(diǎn)K，可得 BCRK= ， 此時(shí)點(diǎn)R，K坐標(biāo)不易計(jì)算，可考慮作 RHy軸與BC的延長線交于點(diǎn)F，利 用RKF與BOC相似，RFBOBCRK9，設(shè)出R點(diǎn)坐標(biāo)利用此關(guān)系式列方程即可求解.,例2題圖,例2題解圖,解：存在點(diǎn)R，使得SRBC ，且位于對稱軸的左側(cè).如解圖，過點(diǎn)R作RKBC，交BC的延長線于點(diǎn)K，作RHy軸，交x軸于點(diǎn)H，交BC的延長線于點(diǎn)F，,則F=BCO，RKF=BOC=90， RKFBOC， ， RFBO=BCRK， 又SRBC = ，BO=1， BCRK= BORF= ， RF=9.,F,R,K,H,由B（1，0），C（0，3）可求出直線BC的解析式為y=-3x+3， 設(shè)R（x，-x2-2x+3），則F（x，-3x+3）， RF=-3x+3-（-x2-2x+3）=x2-x， x2-x=9， 解得x1= ， x2= （不合題意，舍去）， R（ ， ）.,F,K,H,R,例2題解圖,拓展三 二次函數(shù)與特殊四邊形判定問題,例 3 如圖，拋物線經(jīng)過A（-5，0），B（-1，0）， C（0，5）三點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為M，連接AC. 拋物線的對 稱軸為l，l與x軸交點(diǎn)為D，與AC交點(diǎn)為E.,(1)分別求出拋物線的解析式，頂點(diǎn) M的坐標(biāo)，對稱軸l的解析式；,例3題圖,典例精講,【思維教練】要確定拋物線的解析式，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)和對稱軸l的解析式，由于A、B、C的坐標(biāo)已知，設(shè)拋物線解析式為一般式，將點(diǎn)A、B、C代入求出拋物線解析式，將解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，對稱軸l的解析式即可求解；,例3題圖,解：設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c， 將點(diǎn)A（-5，0），B（-1，0），C（0，5）代入，得 ，解得 ， 拋物線解析式為y=x2+6x+5， =(x+3)2-4，,25a-5b+c=0 a-b+c=0 c=5,a=1 b=6 c=5,頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-3，-4），對稱軸l的解析式為：x=-3;,例3題圖,【思維教練】由點(diǎn)P在對稱軸上結(jié)合拋物線的解析式，設(shè)P（-3，p），根據(jù)PMCO，分P在M點(diǎn)上方和P在M點(diǎn)下方兩種情況進(jìn)行討論，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；,（2）設(shè)P是直線l上一點(diǎn)，且PM=CO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；,例3題圖,解：點(diǎn)C（0，5），CO=5， 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，p），如解圖， 當(dāng)點(diǎn)P在M點(diǎn)上方時(shí)，即為P1點(diǎn)， 則P1M=p-（-4）=5，解得p=1， 此時(shí)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（-3，1）； 當(dāng)點(diǎn)P在M點(diǎn)下方，即為P2點(diǎn)， 則P2M=-4-p=5，解得p=-9， 此時(shí)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（-3，-9）， 綜上，這樣的點(diǎn)P有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為P1（-3，1）， P2（-3，-9）；,例3題解圖,P1,P2,（3）在線段CO上取一點(diǎn)F,使得CF=DE,求點(diǎn)F的坐標(biāo),并判定四邊形DECF的形狀;,例3題圖,【思維教練】要求點(diǎn)F的坐標(biāo)，可根據(jù) CF=DE，結(jié)合C點(diǎn)坐標(biāo)求解，C點(diǎn)坐標(biāo) 已知，故只需求解DE的長度，由點(diǎn)E 為l與AC的交點(diǎn)可知點(diǎn)E在AC上，先求 直線AC的解析式，從而確定點(diǎn)E的坐標(biāo)， 然后確定DE的長，再結(jié)合DE確定CF， 從而得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用DECF，DE=CF，即可判定四邊形DECF的形狀；,解：設(shè)直線AC的解析式為 ， 將點(diǎn)A（-5,0），C（0,5）代入得 ，解得 ， 直線AC的解析式為y=x+5. 令x=-3得y=-3+5=2， 點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-3,2），易得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3,0）， DE=2.,例3題圖,如解圖，連接DF DECF，DE=CF， 四邊形DECF是平行四邊形；,例3題解圖,CF=DE=2，點(diǎn)F在線段CO上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,5）， 點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0,3）.,F,（4）設(shè)G是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)G作GHx軸交l于點(diǎn)H， 點(diǎn)G坐標(biāo)為何值時(shí)，以A、B、G、H為頂點(diǎn)的四邊形是平 行四邊形？,【思維教練】由于GHx軸，AB在 x軸上可知GHAB，要使以A、B、 G、H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形， 則需證GH=AB即可；,例3題圖,解：點(diǎn)G在拋物線上，則設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(g,g2+6g+5)， GH x軸，點(diǎn)H在l：x=-3上，點(diǎn)H(-3,g2+6g+5). GHAB，要得到以A、B、G、H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則必須GH=AB=4， 如解圖，即|g+3|=4， 解得g=1或g=-7， 當(dāng)g=1時(shí)，g2+6g+5=12， 此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1,12）； 當(dāng)g=-7時(shí)，g2+6g+5=12， 此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-7,12）， 綜上，這樣的點(diǎn)G有兩個(gè)，坐標(biāo) 分別為（1,12），（-7,12）；,例3題解圖,E,H1（H2）,G1,G2,【思維教練】由折疊的性質(zhì)得到M、M關(guān)于x軸對稱，再由拋物線性質(zhì)得到A、B關(guān)于MM對稱，從而利用菱形性質(zhì)得出結(jié)論；,（5）如圖，沿x軸將拋物線在x軸下方的部分翻折到x軸上方，點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)為M，判斷四邊形AMBM的形狀，并說明理由； 例3題圖,由折疊性質(zhì)可得 點(diǎn)M與M關(guān)于x軸對稱， MD=MD，MMAB. 由拋物線性質(zhì)得點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于l對稱， AD=BD，ABMM， 四邊形AMBM是菱形;,例3題解圖,解：四邊形AMBM是菱形. 理由如下：如解圖，,（6）設(shè)點(diǎn)Q是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)R是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為何值時(shí)，四邊形AQCR是菱形？,例3題圖,【思維教練】由四邊形AQCR是菱形可 知AC是對角線，結(jié)合OC=OA，從而過 點(diǎn)O作OPAC，且OP平分AC，從而 可得點(diǎn)Q在OP上，只需求出QP所在直 線的解析式，與拋物線聯(lián)立解方程組 即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo).,例4題解圖,解：存在.如解圖，過點(diǎn)O作OPAC于點(diǎn)P.,P,Q1,Q2,P,OA=OC=5， AP=CP， OP是AC的垂直平分線. 四邊形AQCR是菱形， 點(diǎn)Q、R在AC的垂直平分線上， 點(diǎn)Q是直線OP與拋物線的交點(diǎn)， 過點(diǎn)P作PPx軸于點(diǎn)P，則PP是AOC的中位線， PP= OC= ，PO= AO= ， 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ , ），,設(shè)直線QP的解析式為y=kx，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入，可得k=-1, 直線QP的解析式為y=-x, 與拋物線聯(lián)立得 解得 ， ，,y=x2+6x+5 y=-x，,x2= y2=,x1= y1=,例3題解圖,P,Q2,P,Q1,這樣的Q點(diǎn)有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為（ , ）， （ , ）.,