線性規(guī)劃常見題型大全.doc

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…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○………… 學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ …………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○………… 絕密★啟用前 2014-2015學(xué)年度???學(xué)校8月月考卷 試卷副標(biāo)題 考試范圍：xxx；考試時(shí)間：100分鐘；命題人：xxx 題號(hào) 一 二 三 總分 得分 注意事項(xiàng)： 1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息 2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上 第I卷（選擇題） 請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明 評(píng)卷人 得分 一、選擇題（題型注釋） 1．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則z＝4x＋y的最大值為( ) A、10 B、8 C、2 D、0 【答案】B 【解析】 試題分析：畫出可行域，根據(jù)圖形可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過A(2，0)點(diǎn)時(shí)，z＝4x＋y取得最大值為8 x A y 2 2 0 考點(diǎn)：線性規(guī)劃. 2．若不等式組，表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D.或 【答案】D 【解析】根據(jù)畫出平面區(qū)域（如圖1所示），由于直線斜率為，縱截距為， 自直線經(jīng)過原點(diǎn)起，向上平移，當(dāng)時(shí)，表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域（如圖2所示）；當(dāng)時(shí)，表示的平面區(qū)域是一個(gè)四邊形區(qū)域（如圖3所示），當(dāng)時(shí)，表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域（如圖1所示），故選D. 圖1 圖2 圖3 考點(diǎn)：平面區(qū)域與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃. 3．已知變量x,y滿足約束條件 則的取值范圍是( ) A． B． C． D．(3,6] 【答案】A 【解析】 試題分析：畫出可行域，可理解為可行域中一點(diǎn)到原點(diǎn)的直線的斜率,可知可行域的邊界交點(diǎn)為臨界點(diǎn)（），（）則可知k＝的范圍是. 考點(diǎn)：線性規(guī)劃，斜率. 4．（5分）（2011?廣東）已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定．若M（x，y）為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則z=?的最大值為（ ） A.3 B.4 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 試題分析：首先做出可行域，將z=?的坐標(biāo)代入變?yōu)閦=，即y=﹣x+z，此方程表示斜率是﹣的直線，當(dāng)直線與可行域有公共點(diǎn)且在y軸上截距最大時(shí)，z有最大值． 解：首先做出可行域，如圖所示： z=?=，即y=﹣x+z 做出l0：y=﹣x，將此直線平行移動(dòng)，當(dāng)直線y=﹣x+z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線在y軸上截距最大時(shí)，z有最大值． 因?yàn)锽（，2），所以z的最大值為4 故選B 點(diǎn)評(píng)：本題考查線性規(guī)劃、向量的坐標(biāo)表示，考查數(shù)形結(jié)合思想解題． 5．已知不等式組 表示的平面區(qū)域的面積等于，則的值為（ ） ﹙A﹚ （B） ﹙C﹚ （D） 【答案】D 【解析】 試題分析：由題意，要使不等式組表示平面區(qū)域存在，需要，不等式組表示的區(qū)域如下圖中的陰影部分，面積，解得，故選D. 考點(diǎn)：1.線性規(guī)劃求參數(shù)的取值. 6．設(shè)x，y滿足約束條件，若z=的最小值為，則a的值為（??? ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】 ∵=1+ 而表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(－1，－1)連線的斜率． 由圖知a>0，否則無(wú)可行域，且點(diǎn)(－1，－1)與點(diǎn)(3a，0)的連線斜率最小， 即==a=1 7．已知實(shí)數(shù)，滿足條件，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：如下圖 可行區(qū)域?yàn)樯蠄D中的靠近x軸一側(cè)的半圓，目標(biāo)函數(shù)，所表示在可行區(qū)域取一點(diǎn)到點(diǎn)（2,0）連線的斜率的最小值，可知過點(diǎn)（2,0）作半圓的切線，切線的斜率的最小值，設(shè)切線方程為y=k（x-2），則A到切線的距離為1，故. 考點(diǎn)：1.線性規(guī)劃；2.直線與圓的位置關(guān)系. 8．若在區(qū)間[0，2]中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)中較大的數(shù)大于的概率是( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】 試題分析：設(shè)這兩個(gè)數(shù)為：，則.若兩數(shù)中較大的數(shù)大于，則還應(yīng)滿足：或（只需排除），作出以上不等式組表示的區(qū)域，由幾何概型的概率公式得.選C. 考點(diǎn)：1、幾何概型；2、不等式組表示的區(qū)域.  第II卷（非選擇題） 請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明 評(píng)卷人 得分 二、填空題（題型注釋） 9．若實(shí)數(shù)，滿足線性約束條件，則的最大值為________． 【答案】. 【解析】 試題分析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，即可行域，則可知直線與直線的交點(diǎn)，作直線：，平移直線，可知當(dāng)，時(shí)，. 考點(diǎn)：線性規(guī)劃. 10．已知變量滿足約束條件 若目標(biāo)函數(shù)的最大值 為1，則 . 【答案】3 【解析】 試題分析：約束條件所滿足的區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)過B（4,1）點(diǎn)是取得最大值，所以，所以. 考點(diǎn)：線性規(guī)劃. 11．設(shè)z=kx+y，其中實(shí)數(shù)x，y滿足若z的最大值為12，則實(shí)數(shù)k=　　　　． 【答案】2 【解析】 作出可行域(如圖)，其中A(4，4)，B(0，2)，C(2，0) 過原點(diǎn)作出直線kx+y=0 k=0時(shí)，y=0，目標(biāo)函數(shù)z=y在點(diǎn)A處取得最大值4，與題意不符 ②即時(shí)，直線kx+y=0即y=－kx經(jīng)過一、三象限，平移直線y=－kx可知，目標(biāo)函數(shù)z=kx+y在點(diǎn)A處取得最大值，即，此時(shí)k=2與不符; ③－k>即k<－時(shí)，直線kx+y=0即y=－kx經(jīng)過一、三象限，平移直線y=－kx可知，目標(biāo)函數(shù)z=kx+y在點(diǎn)B處取得最大值，即，此式不成立 ④－k<0即k>0時(shí)，直線kx+y=0即y=－kx經(jīng)過二、四象限，平移直線y=－kx可知，目標(biāo)函數(shù)z=kx+y在點(diǎn)A處取得最大值，即，此時(shí)k=2與k>0相符，所以k=2 12．點(diǎn)是不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且不等式總成立，則的取值范圍是________________. 【答案】 【解析】 試題分析：將不等式化為，只需求出的最大值即可，令，就是滿足不等式的最大值，由簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題解法，可知在處取最大值3，則m取值范圍是. 考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃和轉(zhuǎn)化思想. 13．設(shè)變量x，y滿足的最大值為. 【答案】8 【解析】 試題分析： 這是如圖可行域， 目標(biāo)函數(shù),表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線的距離的2倍，很顯然點(diǎn)A到直線的距離最大，點(diǎn),將其代入點(diǎn)到直線的距離公式得到 考點(diǎn)：1.線性規(guī)劃；2.點(diǎn)到直線的距離公式. 14．已知實(shí)數(shù)x，y滿足若z＝ax＋y的最大值為3a＋9，最小值為3a－3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________． 【答案】[－1，1] 【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示， 則z在點(diǎn)A處取得最大值，在點(diǎn)C處取得最小值．又kBC＝－1，kAB＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1. 15．設(shè)實(shí)數(shù)滿足 向量，．若，則實(shí)數(shù)的最大值為 ． 【答案】； 【解析】 試題分析：因?yàn)?，所?故根據(jù)線性規(guī)劃的知識(shí)畫出可行域如圖,則目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)（1，8）處取得最大值6. 考點(diǎn)：向量平行 線性規(guī)劃 16．已知點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)滿足,則的最大值是 【答案】 【解析】 試題分析：作出可行域如圖，則, 又是的夾角, ∴目標(biāo)函數(shù)表示在上的投影， 過作的垂線，垂足為， 當(dāng)在可行域內(nèi)移動(dòng)到直線和直線的交點(diǎn)時(shí)， 在上的投影最大，此時(shí)， ∴的最大值為,故答案為． 考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，平面向量的數(shù)量積，平面向量的投影. 17．若實(shí)數(shù)、滿足,則的最大值是_________. 【答案】4 【解析】 試題分析：將變形為，表示圓心為，半徑為的圓。令，即。由圖像分析可知圓心到直線距離，解得，所以的最大值是4。 考點(diǎn)：1線性規(guī)劃、數(shù)形結(jié)合思想；2點(diǎn)到線的距離； 18．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，滿足，則的最大值等于 . 【答案】 【解析】 試題分析：，設(shè),如圖：做出可行域 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)平移到C點(diǎn)取得最大值，解得,,代入目標(biāo)函數(shù)，的最大值為. 考點(diǎn)：1.向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示；2.線性規(guī)劃. 19．已知實(shí)數(shù)x，y滿足 則r的最小值為________． 【答案】 【解析】作出約束條件表示的可行域，如圖中的三角形， 三角形內(nèi)(包括邊)到圓心的最短距離即為r的值，所以r的最小值為圓心到直線y＝x的距離，所以r的最小值為. 20．已知P(x，y)滿足則點(diǎn)Q(x＋y，y)構(gòu)成的圖形的面積為_____． 【答案】2 【解析】令x＋y＝u，y＝v，則點(diǎn)Q(u，v)滿足，在uOv平面內(nèi)畫出點(diǎn)Q(u，v)所構(gòu)成的平面區(qū)域如圖，易得其面積為2. 21．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最大值為 ． 【答案】 【解析】 試題分析：解線性規(guī)劃問題，不僅要正確確定可行域，本題是直角三角形及其內(nèi)部,而且要挖出目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，本題中可理解為坐標(biāo)原點(diǎn)到可行域中點(diǎn)的距離的平方.要求目標(biāo)函數(shù)最大值，就是求的最小值，即坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離的平方，為. 考點(diǎn)：線性規(guī)劃求最值 22．曲線y＝在點(diǎn)M(π，0)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域?yàn)镈（包含三角形內(nèi)部與邊界）．若點(diǎn)P(x，y)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn)，則x＋4y的最大值為 ． 【答案】4 【解析】 試題分析：， ， ， 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即： ，它與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形區(qū)域如下圖所示： 令，將其變形為 ，當(dāng)變化時(shí)，它表示一組斜率為，在軸上的截距為的平行直線，并且該截距越在，就越大，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，截距最大， 所以＝，故答案為：4. 考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、求導(dǎo)公式；3、線必規(guī)劃. 23．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值是 . 【答案】2 【解析】 試題分析：線性不等式組表示的可行域如圖： ，，。 表示點(diǎn)與可行域內(nèi)的點(diǎn)間的距離的平方。，點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)?，所以? 考點(diǎn)：線性規(guī)劃。 24．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最大值為 ． 【答案】 【解析】 試題分析：解線性規(guī)劃問題，不僅要正確確定可行域，本題是直角三角形及其內(nèi)部,而且要挖出目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，本題中可理解為坐標(biāo)原點(diǎn)到可行域中點(diǎn)的距離的平方.要求目標(biāo)函數(shù)最大值，就是求的最小值，即坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離的平方，為. 考點(diǎn)：線性規(guī)劃求最值 25．在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積為，則實(shí)數(shù)的值是 . 【答案】2 【解析】 試題分析：等價(jià)于，即直線的下方和直線的上方，而與直線圍成三角形區(qū)域，當(dāng)時(shí)，不等式組表示的平面區(qū)域的面積為. 考點(diǎn)：不等式中的線性規(guī)劃問題. 26．已知實(shí)數(shù)滿足則的最大值為_________. 【答案】16 【解析】 試題分析：如圖實(shí)數(shù)滿足滿足的可行域是三角形OAB的陰影部分. 由可化為.所以求z的最大值即求出的最小值.目標(biāo)函數(shù)，如圖所示.過點(diǎn)B即為m所求的最小值.因?yàn)锽（-2,0）所以m=-4.所以.故填16. 考點(diǎn)：1.線性規(guī)劃問題.2.指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算. 評(píng)卷人 得分 三、解答題（題型注釋） 27．已知x，y滿足約束條件，試求解下列問題． (1)z＝的最大值和最小值； (2)z＝的最大值和最小值； (3)z＝|3x＋4y＋3|的最大值和最小值． 【答案】（1）zmax＝，zmin＝.（2）zmax＝1，zmin＝（3）zmax＝14，zmin＝5. 【解析】(1)z＝表示的幾何意義是區(qū)域中的點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)(0，0)的距離，則zmax＝，zmin＝. (2)z＝表示區(qū)域中的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(－2，0)連線的斜率，則zmax＝1，zmin＝. (3)z＝|3x＋4y＋3|＝5·，而表示區(qū)域中的點(diǎn)(x，y)到直線3x＋4y＋3＝0的距離，則zmax＝14，zmin＝5 28．設(shè)x,y滿足約束條件, （1）畫出不等式表示的平面區(qū)域，并求該平面區(qū)域的面積； （2）若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為4,求的最小值. 【答案】（1）10；（2）4 【解析】 試題分析：（1）如圖 先在直角坐標(biāo)系中畫出各直線方程，再用特殊點(diǎn)代入法判斷各不等式表示的平面區(qū)域，其公共部分即為不等式組表示的平面區(qū)域，用分割法即可求出其面積。（2）畫出目標(biāo)函數(shù)線，平移使其經(jīng)過可行域當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線的縱截距最大時(shí)，取得最大值，求出滿足條件的此點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)。用基本不等式求的最小值。 試題解析：解：（1）不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分. 3分 聯(lián)立得點(diǎn)C坐標(biāo)為(4,6) 平面區(qū)域的面積. 6分 （2）當(dāng)直線ax+by=z(a>0,b>0)過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(diǎn)C(4,6)時(shí), 目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值4,即4a+6b=4, 即. 9分 所以 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到. 故的最小值為4. 12分 考點(diǎn)：1線性規(guī)劃；2基本不等式。 試卷第17頁(yè)，總17頁(yè)