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1、第一章 質(zhì)點運動學(xué) 11 如圖11(a)所示，雷達站探測飛機的方位，在某一時刻測得飛機離該站 =4000m， 連線 與水平方向的夾角 ； 經(jīng)過 0 8s 后， 測得飛機離該站 m， 連線 與水平的夾角 。求飛機在這段時間內(nèi)的平均速度。 1 r 1 r 0 1 936. 4200 2 r 2 r 0 2 30 圖11(a) 圖 11(b) 解 取坐標(biāo)系如圖 l 一1(b)所示，兩次測得飛機的位矢分別為 jijsinricosrr jijsinricosrr 21003637 24003200 22222 11111 根據(jù)平均速度的定義，在 O8s內(nèi)飛機的平均速度為 smji j . i .t r
2、r t r v 375546 80 24002100 80 32003637 12 故平均速度的大小為 sm.v 22 2 10626375546 平均速度的方向與 x 軸的夾角為 0 534 546 375 .arctan 12 一直桿，一端與半徑為R的固定大圓環(huán)連結(jié)在0點，直桿還穿過套在大環(huán) 上的小環(huán)M，如圖17(a)。 已知直桿以勻角速繞0點轉(zhuǎn)動， 試求小環(huán)M的速度和加速度。 解1 以0點為原點建立直角坐標(biāo)系x0y(圖17(b)，則小環(huán)M 的運動學(xué)方程為 sin,cos OMyOMx 若t=0時， ，則 t 又 cos2ROM 故 ,cos2 2 tRx tRy 2sin 通過求導(dǎo)可得速
3、度 jtRitR j dt dy i dt dx v 2cos22sin2 由此可知速度的大小為 R2 ，v與y軸的夾角為 t2 ，即 2 ，從圖上可以看出，v的方 向正是M點圓的切線方向。 再求一次導(dǎo)數(shù)可得小環(huán)M的加速度： jtRitRj dt yd i dt xd a sin42cos4 22 2 2 2 2 由此可知加速度的大小為 ，方向指向圓心。 2 4 R 解2 以0為原點、x軸為極軸建立平面極坐標(biāo)系(圖17(c)，則 小環(huán)的運動 學(xué)方程 ttRr cos2 小環(huán)M的速度 00 0000 cos2sin2 sin2 tRrtR rrtR dt d rr dt dr v 由此可知速度的
4、大小為 R2 ，v與 0 的夾角為 t ，即v正好沿M點的切線方向。小 環(huán)M的加速度為 0202 0 2 2 0 2 2 2 cos4cos4 2 tRrtr dt d dt dr dt d rr dt d r dt rd a 此式表明加速度的大小為 ，其方向指向圓心。 2 4 R 解3 采用 自然坐標(biāo)系， 取大圓上A點， 計算弧坐標(biāo)的起點，以運動方向為其正方向(圖 17(d)，則小環(huán)M的運動學(xué)方程： tRRAMs 22 則可求得小環(huán)M的速度和加速度： 020 22 0 2 0 2 2 00 4 4 2 nRn R R n v dt sd a r dt ds v 13 求籃球運動員作立定投籃時
5、順利進入籃圈的最佳出手角度。已知運動員投球 時球距籃圈中心的距離L4 60m，籃圈距地面 的高度為H3 05m， 籃球的直徑d 246cm，籃圈的直徑D45cm。 設(shè)人的出手高度h=2m，出手速度 8ms。 0 v 解如以出手時球的中心選為坐標(biāo)原點， 坐標(biāo)系Oxy如圖112(a)。 球的運動方程為 2 00 2 1 sin,cos gttvytvx 式中 為球與水平方向的夾角。消去t得 22 2 0 2 22 0 tan1 2 tan cos2 tan x v g xx v g xy 移項整理得 圖112(a) 0 2 tantan 2 2 0 2 2 2 0 2 v gx yx v gx 可
6、解得 2 0 2 2 0 2 0 2 2 11tan v gx y v g gx v 投中籃圈的條件為x=L 時，y=(H-h)。將有關(guān)數(shù)值代入上式得 0 2 0 1 13.39,73.63 欲使籃球順利進入籃圈， 還必須考慮籃圈邊框的阻擋，就是說入圈角 不能太小。由圖 112(b)可知，僅當(dāng) dD 0 90cos 0 才能人圈，即必須滿足 0 14.33,6.24sin45 現(xiàn)在來確定與出手角 21 , 相對應(yīng)的入圈角。由球的軌跡方程 22 2 0 sec 2 tan x v g xy 可知，斜率 2 2 0 sectan v gx dx dy 當(dāng)xL 時， tan dx dy 于是 tan
7、sectan 2 2 0 v gL 經(jīng)計算得 0 2 0 2 0 1 0 1 65.19,13.39 50.57,73.63 因為 ，故最佳出手角為 0 1 14.33 .73.63 0 。 l一4一溜冰者在冰面上以 smv 7 0 的速度沿半徑R15m 的圓周溜冰。某時刻他 平拋出一小球，為使小球能擊中冰面上圓心處， 他應(yīng)以多大的相對于他的速度拋球，并求 出該速度的方向(用與他溜冰速度之間的夾角 表示)。已知人拋球時的高度h=15m。 解 根據(jù)拋球時的高度矗和擊中目標(biāo)離溜冰者的距離， 可以求出拋球 相對于地面的速度 ，由于 b v 2 2 1 , gtytvx b 。 而xR， yh可得 s
8、m g h Rv b 1.27 8.9 5.12 15 2 方向指向圓心。 球相對于溜冰者的速度設(shè)為 ，則 b v 0 vvv bb 于是 ，由圖125可知 smvvv bb 2871.27 2 2 2 0 2 方向 2104 28 7 arctan90 00 15 一架飛機在速率u150kmh的西風(fēng)中 行駛，機頭指向正北，相對于空 氣的航速為750kmh。 飛機中雷達員在熒屏上發(fā)現(xiàn)一目標(biāo) 正相對于飛機從東北方向 以950kmh的速率逼近飛機。求目標(biāo)相對于地 面的速度。 解 設(shè) 為飛機相對于地面的速度， 為目標(biāo)相對于地面的速度， 為飛機相 對于空氣的速度， 1 v 2 v 1 v 2 v為目標(biāo)
9、相對于飛機的速度。由于 風(fēng)地機地機氣 vvv 即 uvv 11 ， 0 ， 由圖127可得 hkmuvv /765 22 11 0 1 1 3.11 750 150 arctanarctan v u 即飛機相對于地面的航速為760kmh，方向北偏東 。 0 3.11 因 ， 機地物地物機 vvv 即 122 vvv 因此 238 45cos 45sin arctan /527cos2 0 0 2 0 21 212 2 1 2 22 uv vv hkmvvvvv 即目標(biāo)相對地面以527kmh的速率沿西偏北 的方向飛行。 238 0 smji j . i .t rr t r v 375546 80 24002100 80 32003637 12 故平均速度的大小為 sm.v 22 2 10626375546 平均速度的方向與 x 軸的夾角為 0 534 546 375 .arctan
質(zhì)點運動學(xué)-非物理類試題(附解析)-中國科技大學(xué)
