高考數(shù)學(xué) 6.3 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題課件.ppt

第三節(jié) 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)二元一次不等式表示平面區(qū)域: 在平面直角坐標(biāo)系中,平面內(nèi)所有的點被直線Ax+By+C=0分成三類: 滿足Ax+By+C_0的點; 滿足Ax+By+C_0的點; 滿足Ax+By+C_0的點.,=,(2)二元一次不等式表示平面區(qū)域的判斷方法: 直線l:Ax+By+C=0把坐標(biāo)平面內(nèi)不在直線l上的點分為兩部分,當(dāng)點在 直線l的同一側(cè)時,點的坐標(biāo)使式子Ax+By+C的值具有_的符號,當(dāng) 點在直線l的兩側(cè)時,點的坐標(biāo)使Ax+By+C的值具有_的符號.,相同,相反,(3)線性規(guī)劃中的基本概念:,不等式(組),不等式(組),解析式,一次,可行解,最大值或最小值,最大值,最小值,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界,特殊點定域: 直線定界:不等式中無等號時直線畫成虛線,有等號時直線畫成實線; 特殊點定域:若直線不過原點,特殊點常選原點;若直線過原點,則特殊點常選取(0,1)或(1,0)來驗證.,(2)利用“同號上,異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域: 對于Ax+By+C0或Ax+By+C0時,區(qū)域為直線Ax+By+C=0的上方; 當(dāng)B(Ax+By+C)0時,區(qū)域為直線Ax+By+C=0的下方. (3)最優(yōu)解和可行解的關(guān)系: 最優(yōu)解必定是可行解,但可行解不一定是最優(yōu)解.最優(yōu)解不一定唯一,有時唯一,有時有多個.,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:特殊點法,平移法. (2)數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合思想. (3)記憶口訣:線定界,點定域,一畫二移三求.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)不等式Ax+By+C0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax+By+C=0的上方.( ) (2)任何一個二元一次不等式組都表示平面上的一個區(qū)域.( ) (3)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的.( ) (4)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(b0)中,z的幾何意義是直線ax+by-z=0在y軸上的截距.( ),【解析】(1)錯誤,不等式Ax+By+C0表示的平面區(qū)域不一定在直線Ax+By+C=0的上方,因為(Ax+By+C)·B0不一定成立. (2)錯誤,當(dāng)二元一次不等式組中的不等式所表示的區(qū)域沒有公共部分時,就無法表示平面上的一個區(qū)域. (3)正確,當(dāng)線性目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成的直線和某個邊界重合時,最優(yōu)解無窮多.,(4)錯誤,目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(b0)中, 是直線ax+by-z=0在y軸上的截距. 答案:(1)× (2)× (3) (4)×,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修5P86T3改編)不等式組 表示的平面區(qū)域是( ),【解析】選C.x-3y+60表示直線x-3y+6=0左上方部分,x-y+20表示直線x-y+2=0及其右下方部分. 故不等式組表示的平面區(qū)域為選項C所示部分.,(2)(必修5P93習(xí)題3.3A組T2改編)已知x,y滿足 則z=-3x+y的最大值為 . 【解析】由題意畫出平面區(qū)域為:,當(dāng)直線-3x+y=0經(jīng)過點A時,z取得最大值. 由 可得 即點A(1,3). 所以zmax=-3x+y=-3×1+3=0. 答案:0,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·新課標(biāo)全國卷)設(shè)x,y滿足約束條件 則z=2x-y的最大值為( ) A.10 B.8 C.3 D.2 【解析】選B.畫出可行域,可知可行域為三角形,經(jīng)比較斜率,可知目標(biāo)函數(shù)z=2x-y在兩條直線x-3y+1=0與x+y-7=0的交點(5,2)處,取得最大值z=8.故選B.,(2)(2014·天津高考)設(shè)變量x,y滿足約束條件 則目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最小值為( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】選B.作出可行域如圖,結(jié)合圖象可知,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)通過點(1,1)時,z取得最小值3.,(3)(2014·湖南高考)若變量x,y滿足約束條件 且z=2x+y的最小值為-6,則k= . 【解析】如圖,畫出可行域,l0:2x+y=0,當(dāng)l0:2x+y=0運動到過點A(k,k)時,目標(biāo)函數(shù)取得最小值-6,所以2k+k=-6,k=-2. 答案:-2,考點1 平面區(qū)域面積的問題 【典例1】(1)(2015·北京模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,不等式組 表示圖形的面積等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(2015·揚州模擬)已知不等式組 表示的平面區(qū)域 為D,若直線y=kx+1將區(qū)域D分成面積相等的兩部分,則實數(shù)k的值是 .,【解題提示】(1)作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,根據(jù)平面區(qū)域的圖形即可計算對應(yīng)的面積. (2)畫出不等式組表示的平面區(qū)域,直線y=kx+1過定點(0,1),利用面積相等確定直線經(jīng)過的區(qū)域邊界上的點,然后代入求k值.,【規(guī)范解答】(1)選B.不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖,對應(yīng)的區(qū)域為正方形ABCD, 其中A(0,1),D(1,0), 邊長AD= 則正方形的面積S= =2, 故選B.,(2)區(qū)域D如圖中的陰影部分所示,直線y=kx+1經(jīng)過定點C(0,1),如果其把區(qū)域D劃分為面積相等的兩個部分,則直線y=kx+1只要經(jīng)過AB的中點即可.,由方程組 解得A(1,0). 由方程組 解得B(2,3) 所以AB的中點坐標(biāo)為 代入直線方程ykx1得， 解得 答案：,【互動探究】若把本例題(2)的條件改為 所表示的平面 區(qū)域被直線 分為面積相等的兩部分，則k的值是_.,【解析】由圖可知，平面區(qū)域為ABC邊界 及內(nèi)部， 恰過 將區(qū)域平均分成面積相等的兩部分，故過 BC的中點 答案：,【規(guī)律方法】平面區(qū)域面積問題的解題思路 (1)求平面區(qū)域的面積: 首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域,若不能直接畫出,應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題,從而再作出平面區(qū)域; 對平面區(qū)域進行分析,若為三角形應(yīng)確定底與高,若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形),可利用面積公式直接求解,若為不規(guī)則四邊形,可分割成幾個三角形分別求解再求和即可. (2)利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題,也應(yīng)作出平面圖形,利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解.,【變式訓(xùn)練】(2015·汕頭模擬)已知約束條件 表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則實數(shù)k的值為( ) A.1 B.-1 C.0 D.-2,【解析】選A.先作出不等式組 對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖：,要使陰影部分為直角三角形， 當(dāng)k=0時，此三角形的面積為 所以不成立， 所以k0，則必有BCAB， 因為x+y-4=0的斜率為-1， 所以直線kx-y=0的斜率為1，即k=1, 故選A,【加固訓(xùn)練】(2014·郴州模擬)已知點P(x，y)滿足 則點Q(x+y，y)構(gòu)成的圖形的面積為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選B.設(shè)點Q(u，v)，則x+y=u，y=v， 則點Q(u，v)滿足,在uOv平面內(nèi)畫出點Q(u，v)所構(gòu)成的平面區(qū)域如圖， 它是一個平行四邊形，一邊長為1，高為2， 故其面積為2×1=2故選B,考點2 簡單的線性規(guī)劃問題 知·考情 線性規(guī)劃問題以其獨特的表達形式成為不等式考查的重要內(nèi)容,在線性規(guī)劃中,通過最優(yōu)解求最值或求參數(shù)的取值范圍問題是高考的熱點和重點,高考中常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1：已知約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值 【典例2】(2014·廣東高考)若變量x,y滿足約束條件 且z=2x+y的最大值和最小值分別為m和n，則mn=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【解題提示】畫出可行域，標(biāo)出邊界點，目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)動直線的斜率為2.,【規(guī)范解答】選B. 如圖,可行域是以 B(1,1),C(2,1)為頂點的等腰直角三角形， 所以當(dāng)動直線z=2x+y經(jīng)過點C(2,1)時取得最大值3，經(jīng)過點B(1,1)時取得最小值3，所以mn=6.,命題角度2：已知目標(biāo)函數(shù)的最值，求參數(shù)的取值或取值范圍 【典例3】(2014·北京高考)若x,y滿足 且z=yx 的最小值為-4，則k的值為( ) A.2 B.-2 C. D. 【解題提示】作出可行域，向右下平移l0:y-x=0判斷最小值.,【規(guī)范解答】選D.如圖，作出可行域，向右下平移l0過點A時，z 取 最小值，此時 所以 解得,命題角度3：已知目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解的個數(shù)求參數(shù) 【典例4】(2014·安徽高考)x,y滿足約束條件 若z=y-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為( ),【解題提示】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識,要使z=y-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則目標(biāo)函數(shù)和其中一條直線平行,然后根據(jù)條件即可求出a的值. 【規(guī)范解答】選D.由線性約束條件可得其 圖象如圖所示,由圖象可知直線z=y-ax經(jīng) 過AB或AC時取得最大值的最優(yōu)解不唯一, 此時a=2或-1.,【一題多解】解答本題,還有以下解法: 選D.畫出可行域,如規(guī)范解答中圖所示,可知點A(0,2),C(2,0), B(-2,-2),則z(A)=2,z(C)=-2a,z(B)=2a-2. 要使對應(yīng)最大值的最優(yōu)解有無數(shù)組, 只要z(A)=z(B)z(C)或z(A)=z(C)z(B)或z(B)=z(C)z(A), 解得a=-1或a=2.,悟·技法 1.利用可行域求線性目標(biāo)函數(shù)最值的方法 首先利用約束條件作出可行域,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)找到最優(yōu)解時的點,解得點的坐標(biāo)代入求解即可. 2.利用可行域及最優(yōu)解求參數(shù)及其范圍的方法 利用約束條件作出可行域,通過分析可行域及目標(biāo)函數(shù)確定最優(yōu)解的點,再利用已知可解參數(shù)的值或范圍.,3.利用可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)最值的方法 畫出可行域,分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是斜率問題還是距離問題,依據(jù)幾何意義可求得最值.,通·一類 1.(2015·天津模擬)設(shè)變量x，y滿足約束條件 則目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最大值為( ),【解析】選B.由約束條件 作出可行域如圖， 由z=x-2y，得 由圖可知，當(dāng)直線 過可行域內(nèi) 點A時直線在y軸上的截距最小，z最大 聯(lián)立 解得 即A(1，0)所以目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最大值為1-2×0=1 故選B,2.(2015·杭州模擬)若x，y滿足約束條件 且z=kx+y取得最小值時的點有無數(shù)個，則k=( ) A.-1 B.2 C.-1或2 D.1或-2,【解析】選D.作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖(陰影部分). 由z=kx+y,得y=-kx+z, 若k=0,此時y=z,此時z只在B處取得最小值,不滿足條件.,若k0,則目標(biāo)函數(shù)的斜率-k0.平移直線y=-kx+z, 由圖象可知當(dāng)直線y=-kx+z和直線y=2x-2平行時,此時目標(biāo)函數(shù)取得最小值時最優(yōu)解有無數(shù)多個,此時-k=2,即k=-2. 綜上,k=1或k=-2.故選D.,【解析】選D.作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖： w 的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點 P(x，y)到定點A(0，-1)之間的斜率，由圖象 可知當(dāng)P位于點D(1，0)時， 直線AP的斜率最小，此時 的最小值為 故選D,4.(2014·浙江高考)當(dāng)實數(shù)x,y滿足 時，1ax+y4恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_.,【解析】作出不等式組 所表示的區(qū)域，由1ax+y4，由圖可知， a0且在(1,0)點取得最小值，在(2,1)點取得最大值，所以a1, 2a+14，故a的取值范圍為 答案：,考點3 線性規(guī)劃的實際應(yīng)用 【典例5】某企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動力、煤和電如下表:,已知生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品的利潤是7萬元,生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品的利潤是12萬元,現(xiàn)因條件限制,該企業(yè)僅有勞動力300個,煤360噸,并且供電局只能供電200千瓦,試問該企業(yè)如何安排生產(chǎn),才能獲得最大利潤? 【解題提示】題目的設(shè)問是“該企業(yè)如何安排生產(chǎn),才能獲得最大利潤”,這個利潤是由兩種產(chǎn)品的利潤所決定的,因此A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量決定著該企業(yè)的總利潤,故可以設(shè)出A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量,列不等式組并建立目標(biāo)函數(shù)求解.,【規(guī)范解答】設(shè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品分別為x噸,y噸,利潤為z萬元, 依題意,得 目標(biāo)函數(shù)為z=7x+12y. 作出可行域,如圖中陰影部分. 當(dāng)直線7x+12y=0向右上方平行移動時,經(jīng)過M時z取最大值.,解方程組 因此,點M的坐標(biāo)為(20,24). 所以該企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品分別為20噸和24噸時,才能獲得最大利潤.,【規(guī)律方法】解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟 (1)分析題意,設(shè)出未知量. (2)列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù). (3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解. (4)作答.,【變式訓(xùn)練】農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜,種植面積不超過50畝,投入資金不超過54萬元,假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表 為使一年的種植總利潤(總利潤=總銷售收入-總種植成本)最大,則黃瓜和韭菜的種植面積分別是多少畝?,【解析】設(shè)種植黃瓜x畝,韭菜y畝, 由題意得 即 設(shè)總利潤為z,則z=x+0.9y. 作可行域如圖所示,由 得A(30,20). 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線l向右平移,移至點A(30,20)處時,目標(biāo)函數(shù)取得最大值,即當(dāng)黃瓜種植30畝,韭菜種植20畝時,種植總利潤最大. 所以,黃瓜和韭菜分別種植30畝、20畝時,一年的種植總利潤最大.,【加固訓(xùn)練】(2015·江門模擬)甲、乙兩校計劃周末組織學(xué)生參加敬老活動,甲校每位同學(xué)往返車費是5元,每人可為3位老人服務(wù),乙校每位同學(xué)往返車費是3元,每人可為5位老人服務(wù),兩校都有學(xué)生參加,甲校參加活動的學(xué)生比乙校至少多1人,且兩校同學(xué)往返總車費不超過45元.如何安排甲、乙兩校參加活動的人數(shù),才能使受到服務(wù)的老人最多?受到服務(wù)的老人最多是多少?,【解析】設(shè)甲、乙兩校參加活動的人數(shù)分別為x,y, 受到服務(wù)的老人的人數(shù)為z=3x+5y, 依題意,x,y應(yīng)滿足的約束條件為 可行域為圖中陰影部分中的整點,畫直線l0:3x+5y=0,并向右上方平移l0到l,當(dāng)l經(jīng)過可行域的某點,這一點的坐標(biāo)使目標(biāo)函數(shù)取最大值. 解方程組 得 M(6,5)滿足約束條件, 因此,當(dāng)x=6,y=5時,z取最大值, zmax=3×6+5×5=43. 答:甲、乙兩校參加活動的人數(shù)分別為6和5時,受到服務(wù)的老人最多,最多為43人.,自我糾錯15 求非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題 【典例】(2015·保定模擬)已知 則x2+y2的最大值為 _,最小值為_.,【解題過程】,【錯解分析】分析上面解題過程,你知道錯在哪里嗎? 提示:解題過程中誤將求可行域內(nèi)的點到原點的距離的平方的最值認(rèn)為是求三點A,B,C到原點的距離的平方的最值.,【規(guī)避策略】 1.準(zhǔn)確作圖 在利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值時首先要利用約束條件作出可行域,一定要準(zhǔn)確,特別是邊界一定要明確是否包含. 2.準(zhǔn)確理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義 在求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值時,一定要準(zhǔn)確理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,利用其幾何意義結(jié)合可行域準(zhǔn)確解題.,【自我矯正】不等式組 表示的平面區(qū)域為如圖所示 ABC的內(nèi)部(包括邊界),令z=x2+y2,則z即為點(x,y)到原點的距離的平方. 由 得A點坐標(biāo)(4,1), 此時z=x2+y2=42+12=17, 由 得B點坐標(biāo)(-1,-6), 此時z=x2+y2=(-1)2+(-6)2=37,由 得C點坐標(biāo)(-3,2), 此時z=x2+y2=(-3)2+22=13, 而在原點處, 此時z=x2+y2=02+02=0, 所以當(dāng) 時x2+y2取得最大值37, 當(dāng) 時x2+y2取得最小值0. 答案:37 0,