高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十四章 系列4選講 14.1 幾何證明選講 課時(shí)2 圓的進(jìn)一步認(rèn)識課件 理.ppt

,§14.1 幾何證明選講,課時(shí)2 圓的進(jìn)一步認(rèn)識,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,思想方法 感悟提高,練出高分,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),1.圓周角與圓心角定理 (1)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于 . (2)圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于其所對弧的度數(shù)的 . 推論1：同弧(或等弧)所對的圓周角 .同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等. 推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角等于 .反之，90°的圓周角所對的弧為半圓(或弦為直徑).,其所對弧的度數(shù),一半,相等,90°,知識梳理,1,答案,2.圓的切線的性質(zhì)及判定定理 (1)判定定理：過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的 . (2)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的 . 推論1：經(jīng)過圓心且與切線垂直的直線必經(jīng)過 . 推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且與切線垂直的直線必經(jīng)過 . 3.切線長定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長 . 4.弦切角定理 弦切角的度數(shù)等于其所夾弧的 .,切線,半徑,切點(diǎn),圓心,相等,度數(shù)的一半,答案,5.與圓有關(guān)的比例線段,PC·PD,BDP,PC·PD,PDB,答案,PB·PC,PCA,PB,OPB,6.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 (1)性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形的對角 . (2)判定定理：如果四邊形的對角互補(bǔ)，則此四邊形內(nèi)接于圓.,互補(bǔ),答案,1.如圖，從圓O外一點(diǎn)P引圓的切線PC及割線PAB，C為切點(diǎn).求證：AP·BCAC·CP.,證明 因?yàn)镻C為圓O的切線，所以PCAPBC， 又CPABPC，故CAPBCP，,考點(diǎn)自測,2,解析答案,1,2,3,4,2.(2015·重慶)如圖，圓O的弦AB，CD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作圓 O的切線與DC的延長線交于點(diǎn)P，若PA6，AE9，PC3， CEED21，求BE的長. 解 首先由切割線定理得PA2PC·PD，,又CEED21， 因此CE6，ED3， 再由相交弦定理AE·EBCE·ED，,解析答案,1,2,3,4,3.如圖，ABC中，BC6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AC2AE，求EF的長.,解 AA，AEFACB，,解析答案,1,2,3,4,4.如圖，在ABC中，ACB90°，A60°，AB20， 過C作ABC的外接圓的切線CD，BDCD，BD與外接圓 交于點(diǎn)E，求DE的長. 解 在RtACB中，ACB90°，A60°， ABC30°.AB20，,CD為切線，BCDA60°.,DE5.,1,2,3,4,解析答案,返回,題型分類 深度剖析,例1 (2015·課標(biāo)全國)如圖，AB是O的直徑，AC是O的 切線，BC交O于點(diǎn)E. (1)若D為AC的中點(diǎn)，證明：DE是O的切線；,證明 連結(jié)AE，由已知得，AEBC，ACAB. 在Rt AEC中，由已知得，DEDC，故DECDCE. 連結(jié)OE，則OBEOEB. 又ACBABC90°， 所以DECOEB90°， 故OED90°，即DE是O的切線.,題型一 圓周角、弦切角和圓的切線問題,解析答案,解 設(shè)CE1，AEx，,由射影定理可得，AE2CE·BE，,解析答案,思維升華,(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小.(2)涉及圓的切線問題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端作圓周角或弦切角.,思維升華,(1)如圖所示，O的兩條切線PA和PB相交于點(diǎn)P，與O相切于A，B兩點(diǎn)，C是O上的一點(diǎn)，若P70°，求ACB的大小.,解 如圖所示，連結(jié)OA，OB， 則OAPA，OBPB. 故AOB110°，,跟蹤訓(xùn)練1,解析答案,(2)如圖，圓O的半徑為1，A、B、C是圓周上的三點(diǎn)，且滿足ABC30°，過點(diǎn)A作圓O的切線與OC的延長線交于點(diǎn)P，求PA的長.,解 如圖，連結(jié)OA，由圓周角定理知AOC60°，,又OAPA，在RtPOA中，,解析答案,例2 如圖所示，已知AP是O的切線，P為切點(diǎn)，AC是 O的割線，與O交于B、C兩點(diǎn)，圓心O在PAC的內(nèi) 部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn). (1)證明：A，P，O，M四點(diǎn)共圓；,證明 如圖，連結(jié)OP，OM，因?yàn)锳P與O相切于點(diǎn)P， 所以O(shè)PAP， 因?yàn)镸是O的弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)MBC， 于是OPAOMA180°. 由圓心O在PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對角互補(bǔ)， 所以A，P，O，M四點(diǎn)共圓.,題型二 四點(diǎn)共圓問題,解析答案,(2)求OAMAPM的大小. 解 由(1)得，A，P，O，M四點(diǎn)共圓， 所以O(shè)AMOPM， 由(1)得OPAP，因?yàn)閳A心O在PAC的內(nèi)部， 可知OPMAPM90°， 所以O(shè)AMAPM90°.,解析答案,思維升華,(1)如果四點(diǎn)與一定點(diǎn)距離相等，那么這四點(diǎn)共圓；(2)如果四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；(3)如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.,思維升華,如圖所示，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，AB的延長 線與DC的延長線交于點(diǎn)E，且CBCE. (1)證明：DE；,證明 由題設(shè)知，A，B，C，D四點(diǎn)共圓， 所以DCBE， 由已知得CBEE， 故DE.,跟蹤訓(xùn)練2,解析答案,(2)設(shè)AD不是O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，且MBMC，證明：ADE為等邊三角形.,證明 如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為N，連結(jié)MN， 則由MBMC知MNBC，故點(diǎn)O在直線MN上. 又AD不是O的直徑，M為AD的中點(diǎn)， 故OMAD，即MNAD. 所以ADBC，故ACBE. 又CBEE，故AE， 由(1)知，DE， 所以ADE為等邊三角形.,解析答案,例3 (2015·陜西)如圖，AB切O于點(diǎn)B，直線AO 交O 于D，E兩點(diǎn)，BCDE，垂足為C. (1)證明：CBDDBA；,證明 因?yàn)镈E為O的直徑， 則BEDEDB90°， 又BCDE，所以CBDEDB90°， 從而CBDBED， 又AB切O于點(diǎn)B，得DBABED， 所以CBDDBA.,題型三 與圓有關(guān)的比例線段,解析答案,解 由(1)知BD平分CBA，,故DEAEAD3，即O的直徑為3.,解析答案,思維升華,(1)應(yīng)用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質(zhì)、與圓有關(guān)的相似三角形等. (2)相交弦定理、切割線定理主要用于與圓有關(guān)的比例線段的計(jì)算與證明.解決問題時(shí)要注意相似三角形知識及圓周角、弦切角、圓的切線等相關(guān)知識的綜合應(yīng)用.,思維升華,(1)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F，E是AB延 長線上一點(diǎn)，且DFCF ，AFFBBE421， 若CE與圓相切，求線段CE的長.,解 由相交弦定理得AF·FBDF·CF， 由于AF2FB，可解得FB1，,跟蹤訓(xùn)練3,解析答案,(2)(2014·湖北)如圖，P為O外一點(diǎn)，過P點(diǎn)作O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.過PA的中點(diǎn)Q作割線交O于C，D兩點(diǎn).若QC1，CD3，求PB的長.,解 由切割線定理得QA2QC·QD4，解得QA2. 由切線長定理得PBPA2QA4.,解析答案,返回,思想方法 感悟提高,1.判定切線通常有三種方法： (1)和圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的切線； (2)與圓心距離等于半徑的直線是圓的切線； (3)過半徑外端且和半徑垂直的直線是圓的切線. 2.四點(diǎn)共圓問題主要結(jié)合圓中有關(guān)邊、角定理進(jìn)行推理和說明，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)或判定對問題求解. 3.解決與圓有關(guān)的成比例線段問題的兩種思路： (1)直接應(yīng)用相交弦、切割線定理及其推論； (2)當(dāng)比例式(等積式)中的線段分別在兩個(gè)三角形中時(shí)，可轉(zhuǎn)化為證明三角形相似，一般思路為“相似三角形比例式等積式”.在證明中有時(shí)還要借助中間比來代換，解題時(shí)應(yīng)靈活把握.,返回,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1.(2015·江蘇)如圖，在ABC中，ABAC，ABC的外接圓O的弦AE交BC于點(diǎn)D.求證：ABDAEB.,證明 因?yàn)锳BAC，所以ABDC. 又因?yàn)镃E，所以ABDE， 又BAE為公共角，可知ABDAEB.,解析答案,2.如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn). 證明：OCBD. 證明 因?yàn)锽，C是圓O上的兩點(diǎn)， 所以O(shè)BOC. 故OCBB. 又因?yàn)镃，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)， 故B，D為同弧所對的兩個(gè)圓周角， 所以BD. 因此OCBD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,3.(2015·湖南)如圖，在O中，相交于點(diǎn)E的兩弦AB，CD的 中點(diǎn)分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點(diǎn)F， 證明：MENNOM180°.,證明 如圖所示，因?yàn)镸，N分別是弦AB，CD的中點(diǎn)， 所以O(shè)MAB，ONCD， 即OME90°，ENO90°， 因此OMEENO180°， 又四邊形的內(nèi)角和等于360°， 故MENNOM180°.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,4.如圖，AB是圓O的直徑，直線CE與圓O相切于點(diǎn)C，AD CE于點(diǎn)D，若圓O的面積為4，ABC30°，求AD的長.,解 由題意可知圓O的半徑為2，,由弦切角定理可知ACDABC30°，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,5.如圖，已知CB是O的一條弦，A是O上異于B，C 的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作O的切線交直線CB于點(diǎn)P，D為 O上一點(diǎn)，且ABDABP.求證：AB2BP·BD. 證明 AP與O相切于點(diǎn)A，AB為O的弦， ADBPAB， 又在DBA和ABP中，DBAABP，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,6.如圖，過O外一點(diǎn)P作O的切線PA，切點(diǎn)為A，連結(jié)OP 與O交于點(diǎn)C，過C作AP的垂線，垂足為D，若PA12 cm， PC6 cm，求CD的長. 解 設(shè)O的半徑為r， 由切割線定理得AP2PC·(PC2r)， 即1226×(62r)，解得r9. 連結(jié)OA，則有OAAP. 又CDAP，所以O(shè)ACD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,7.如圖，已知AB是O的直徑，CD是O的弦，分別延 長AB，CD相交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在O上，ANAC. 證明：MDN2ACO. 證明 如圖，連結(jié)ON，因?yàn)锳NAC， ONOC，OA是公共邊， 所以ANOACO，故OACOAN. 又OACACO， 所以NACOACOANACOOAC2ACO. 因?yàn)锳，C，D，N四點(diǎn)共圓，所以MDNNAC， 所以MDN2ACO.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,8.如圖，PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PA2，AC是圓O的 直徑，PC與圓O交于點(diǎn)B，PB1，求圓O的半徑R. 解 由切割線定理可得PA2PB·PC，,所以BCPCPB3， 因?yàn)锳C是圓O的直徑，所以ABC90°， 所以AB2BC·BP3， 所以AC2BC2AB29312，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,9.如圖，ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BD AC.過點(diǎn)A作圓的切線與DB的延長線交于點(diǎn)E，AD與BC交 于點(diǎn)F.若ABAC，AE6，BD5，求線段CF的長.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,解 設(shè)EBx，則EDx5， 由切割線定理知x(x5)62，x4. ABAC，ABCACB， 又ACBADB，EABADB， EABABC，AEBC，又ACED， 四邊形EBCA為平行四邊形.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,ACEB4，BCAE6， 由AFCDFB.,10.如圖，圓O的直徑為BD，過圓上一點(diǎn)A作圓O的切線AE，過 點(diǎn)D作DEAE于點(diǎn)E，延長ED與圓O交于點(diǎn)C. (1)證明：DA平分BDE；,證明 AE是O的切線， DAEABD. BD是O的直徑，BAD90°， ABDADB90°. 又ADEDAE90°， ADBADE，DA平分BDE.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,(2)若AB4，AE2，求CD的長.,解 由(1)可得ADEBDA，,ABD30°，DAE30°.,由切割線定理可得AE2DE·CE，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,返回,