高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十四章 系列4選講 14.3 課時(shí)1 坐標(biāo)系課件 理.ppt

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,§14.3 坐標(biāo)系與參數(shù)方程,課時(shí)1 坐標(biāo)系,,,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),題型分類(lèi) 深度剖析,思想方法 感悟提高,練出高分,,,,,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),1.平面直角坐標(biāo)系 設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：,的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱(chēng)φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱(chēng)伸縮變換.,,,知識(shí)梳理,1,,答案,2.極坐標(biāo)系 (1)極坐標(biāo)與極坐標(biāo)系的概念 在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O，自點(diǎn)O引一條射線Ox，同時(shí)確定 一個(gè)長(zhǎng)度單位和計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)?正方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.點(diǎn)O稱(chēng)為極點(diǎn)，射線Ox稱(chēng)為極軸.平面內(nèi)任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長(zhǎng)度ρ和從射線Ox到射線OM的角度θ來(lái)刻畫(huà)(如圖所示).這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)稱(chēng)為點(diǎn)M的極坐標(biāo).ρ稱(chēng)為點(diǎn)M的 ，θ稱(chēng)為點(diǎn)M的 .由極徑的意義可知ρ≥0.當(dāng)極角θ的取值范圍是[0,2π)時(shí)，平面上的點(diǎn)(除去極點(diǎn))就與極坐標(biāo)(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.我們?cè)O(shè)定，極點(diǎn)的極坐標(biāo)中，極徑ρ＝0，極角θ可取任意角.,極徑,極角,,答案,(2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 設(shè)M為平面內(nèi)的一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)為(x，y)，極坐標(biāo)為(ρ，θ).由圖可知下面關(guān)系式成立：,這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式.,或,.,,,,答案,3.常見(jiàn)曲線的極坐標(biāo)方程,ρ＝r(0≤θ2π),ρ＝2rcos θ,ρ＝2rsin θ(0≤θπ),,,,,答案,ρcos θ＝a,ρsin θ＝a(0θπ),,答案,∴過(guò)點(diǎn)(0,2)且與x軸平行的直線方程為y＝2. 即為ρsin θ＝2.,,考點(diǎn)自測(cè),2,,解析答案,1,2,3,,解析答案,1,2,3,3.在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓ρ＝4sin θ和直線ρsin θ＝a相交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)△AOB是等邊三角形時(shí)，求a的值.,,解析答案,1,2,3,返回,解 由ρ＝4sin θ可得x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4. 由ρsin θ＝a可得y＝a. 設(shè)圓的圓心為O′，y＝a與x2＋(y－2)2＝4的兩交點(diǎn)A， B與O構(gòu)成等邊三角形，如圖所示. 由對(duì)稱(chēng)性知∠O′OB＝30°，OD＝a.,,1,2,3,返回,,題型分類(lèi) 深度剖析,例1 (1)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標(biāo)方程.,∴y＝1－x化成極坐標(biāo)方程為ρcos θ＋ρsin θ＝1，,∵0≤x≤1，∴線段在第一象限內(nèi)(含端點(diǎn))，,,,題型一 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,,解析答案,(2)在極坐標(biāo)系中，曲線C1和C2的方程分別為ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo). 解 因?yàn)閤＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 由ρsin2θ＝cos θ，得ρ2sin2θ＝ρcos θ， 所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為y2＝x. 由ρsin θ＝1，得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y＝1.,,解析答案,思維升華,,(1)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提條件：①極點(diǎn)與原點(diǎn)重合；②極軸與x軸的正半軸重合；③取相同的單位長(zhǎng)度.(2)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易，只要運(yùn)用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化簡(jiǎn)即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對(duì)困難一些，解此類(lèi)問(wèn)題常通過(guò)變形，構(gòu)造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，進(jìn)行整體代換.,思維升華,(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方程.,解 將x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入x2＋y2－2x＝0， 得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ.,跟蹤訓(xùn)練1,,解析答案,(2)求在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝2cos θ垂直于極軸的兩條切線方程. 解 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0， 即(x－1)2＋y2＝1， 其垂直于x軸的兩條切線方程為x＝0和x＝2，,,解析答案,例2 將圓x2＋y2＝1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得曲線C. (1)寫(xiě)出曲線C的方程；,解 設(shè)(x1，y1)為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(diǎn)(x，y)，,,,題型二 求曲線的極坐標(biāo)方程,,解析答案,(2)設(shè)直線l：2x＋y－2＝0與C的交點(diǎn)為P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.,化為極坐標(biāo)方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，,,解析答案,思維升華,,求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(ρ，θ)是曲線上任意一點(diǎn)；(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式；(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡(jiǎn)，得出曲線的極坐標(biāo)方程.,思維升華,令θ＝0，得ρ＝1，所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0).,于是圓C過(guò)極點(diǎn)，所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ.,跟蹤訓(xùn)練2,,解析答案,例3 (2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；,解 因?yàn)閤＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝－2， C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.,,,題型三 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用,,解析答案,由于C2的半徑為1，所以△C2MN為等腰直角三角形，,,解析答案,思維升華,,(1)已知極坐標(biāo)系方程討論位置關(guān)系時(shí)，可以先化為直角坐標(biāo)方程；(2)在曲線的方程進(jìn)行互化時(shí)，一定要注意變量的范圍，注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.,思維升華,圓ρ＝4可化為x2＋y2＝16，,跟蹤訓(xùn)練3,,解析答案,返回,,思想方法 感悟提高,在用方程解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，有助于對(duì)方程所表示的曲線的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到化陌生為熟悉的目的，這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,2.在極坐標(biāo)系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲線ρ(cos θ＋sin θ)＝1與ρ(sin θ－cos θ)＝1的交點(diǎn)的極坐標(biāo). 解 曲線ρ(cos θ＋sin θ)＝1化為直角坐標(biāo)方程為x＋y＝1， ρ(sin θ－cos θ)＝1化為直角坐標(biāo)方程為y－x＝1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,3.在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ＝3cos θ與直線2ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求實(shí)數(shù)a的值. 解 圓ρ＝3cos θ的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝3x，,直線2ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0的直角坐標(biāo)方程為2x＋4y＋a＝0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,解 以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸建立直角坐標(biāo)系， 則曲線ρ＝2cos θ的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1，且圓心為(1,0).,因?yàn)閳A心(1,0)關(guān)于y＝x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(0,1)， 所以圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于y＝x的對(duì)稱(chēng)曲線為x2＋(y－1)2＝1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解 對(duì)曲線C1的極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化： ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36. 對(duì)曲線C2的極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化：,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,解 設(shè)P′點(diǎn)的極坐標(biāo)為(ρ，θ). ∵△POP′為正三角形，如圖所示，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,8.在極坐標(biāo)系中，判斷直線ρcos θ－ρsin θ＋1＝0與圓ρ＝2sin θ的位置關(guān)系. 解 直線ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x－y＋1＝0， 圓ρ＝2sin θ可化為x2＋y2＝2y， 即x2＋(y－1)2＝1.,故直線與圓相交.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,(1)將M、N、P三點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,(2)判斷M、N、P三點(diǎn)是否在一條直線上.,∴kMN＝kNP，∴M、N、P三點(diǎn)在一條直線上.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,10.在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ－ )＝1，M，N分別為C與x軸、y軸的交點(diǎn). (1)寫(xiě)出C的直角坐標(biāo)方程，并求M、N的極坐標(biāo)；,當(dāng)θ＝0時(shí)，ρ＝2，所以M(2,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程. 解 M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,返回,