高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù) 12.1 合情推理與演繹推理課件 文.ppt

,第十二章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù),§12.1 合情推理與演繹推理,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,高頻小考點,思想方法 感悟提高,練出高分,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),1.合情推理 (1)歸納推理 定義：從個別事實中推演出一般性的結(jié)論，稱為歸納推理(簡稱歸納法). 特點：歸納推理是由 到整體、由 到一般的推理. (2)類比推理 定義：根據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，像這樣的推理通常稱為類比推理(簡稱類比法). 特點：類比推理是由 到 的推理.,部分,個別,特殊,特殊,知識梳理,1,答案,(3)合情推理 合情推理是根據(jù)已有的事實、正確的結(jié)論、實驗和實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程.歸納推理和類比推理都是數(shù)學(xué)活動中常用的合情推理. 2.演繹推理 (1)演繹推理 一種由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法稱為演繹推理.簡言之，演繹推理是由 到 的推理.,一般,特殊,答案,(2)“三段論”是演繹推理的一般模式 大前提已知的 ； 小前提所研究的 ； 結(jié)論根據(jù)一般原理，對 做出的判斷.,一般原理,特殊情況,特殊情況,答案,判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”) (1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確.( ) (2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理.( ) (3)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.( ) (4)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯誤的.( ) (5)一個數(shù)列的前三項是1,2,3，那么這個數(shù)列的通項公式是ann(nN*).( ) (6)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確.( ),×,×,×,×,思考辨析,答案,1.觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10_.,解析 從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值， 從第三項開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和， 依據(jù)此規(guī)律，a10b10123.,123,考點自測,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是_. 使用了歸納推理； 使用了類比推理； 使用了“三段論”，但推理形式錯誤； 使用了“三段論”，但小前提錯誤.,解析 由“三段論”的推理方式可知，該推理的錯誤原因是推理形式錯誤.,解析答案,1,2,3,4,5,3.(2014·福建)已知集合a，b，c0,1,2，且下列三個關(guān)系：a2，b2，c0有且只有一個正確，則100a10bc_.,解析答案,1,2,3,4,5,解析 因為三個關(guān)系中只有一個正確，分三種情況討論：,所以解得ab1，c0，或a1，bc0，或b1，ac0，與互異性矛盾；,解析答案,1,2,3,4,5,所以100a10bc201.,答案 201,1,2,3,4,5,4.在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為12，則它們的面積比為14，類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長比為12，則它們的體積比為_,解析答案,1,2,3,4,5,解析 兩個正三角形是相似的三角形， 它們的面積之比是相似比的平方 同理，兩個正四面體是兩個相似幾何體，體積之比為相似比的立方， 它們的體積比為18.,18,5.(教材改編)在等差數(shù)列an中，若a100，則有a1a2ana1a2a19n (n19，nN*)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，若b91，則b1b2b3b4bn_.,b1b2b3b4b17n (n17，nN*),1,2,3,4,5,答案,返回,題型分類 深度剖析,命題點1 與數(shù)字有關(guān)的等式的推理,例1 (2015·陜西)觀察下列等式：,， 據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為_.,題型一 歸納推理,解析答案,解析 等式左邊的特征：第1個等式有2項，第2個有4項，第3個有6項，且正負交錯， 故第n個等式左邊有2n項且正負交錯，,等式右邊的特征：第1個有1項，第2個有2項，第3個有3項，,命題點2 與不等式有關(guān)的推理,解析 第一個式子是n1的情況，此時a111； 第二個式子是n2的情況，此時a224； 第三個式子是n3的情況，此時a3327，歸納可知ann.,nn,解析答案,命題點3 與數(shù)列有關(guān)的推理,正方形數(shù) N(n,4)n2，,六邊形數(shù) N(n,6)2n2n 可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10,24)_.,解析答案,解析 由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推測：,答案 1 000,命題點4 與圖形變化有關(guān)的推理,例4 某種平面分形圖如下圖所示，一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段，長度均為1，兩兩夾角為120°；二級分形圖是在一級分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來 的線段，且這兩條線段與原線段兩夾角為120°，依此規(guī)律得到n級分形圖.,(1)n級分形圖中共有_條線段；,解析 分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條線段， 由題圖知，一級分形圖中有3(3×23)條線段， 二級分形圖中有9(3×223)條線段， 三級分形圖中有21(3×233)條線段， 按此規(guī)律n級分形圖中的線段條數(shù)an(3×2n3) (nN*).,3×2n3,解析答案,(2)n級分形圖中所有線段長度之和為_.,解析答案,思維升華,歸納推理問題的常見類型及解題策略 (1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理.觀察數(shù)字特點，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解. (2)與不等式有關(guān)的推理.觀察每個不等式的特點，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解. (3)與數(shù)列有關(guān)的推理.通常是先求出幾個特殊現(xiàn)象，采用不完全歸納法，找出數(shù)列的項與項數(shù)的關(guān)系，列出即可. (4)與圖形變化有關(guān)的推理.合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡?,思維升華,(1)觀察下圖，可推斷出“x”處應(yīng)該填的數(shù)字是_.,解析 由前兩個圖形發(fā)現(xiàn)：中間數(shù)等于四周四個數(shù)的平方和， “x”處應(yīng)填的數(shù)字是325272102183.,183,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1,(2)如圖，有一個六邊形的點陣，它的中心是1個點(算第1層)， 第2層每邊有2個點，第3層每邊有3個點，依此類推，如 果一個六邊形點陣共有169個點，那么它的層數(shù)為_.,解析 由題意知，第1層的點數(shù)為1，第2層的點數(shù)為6，第3層的點數(shù)為2×6，第4層的點數(shù)為3×6，第5層的點數(shù)為4×6， 第n(n2，nN*)層的點數(shù)為6(n1). 設(shè)一個點陣有n(n2，nN*)層，,由題意得3n23n1169，即(n7)·(n8)0，所以n8，故共有8層.,8,解析答案,例5 已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若ama，anb(nm1，m，nN*)， 則amn .類比等差數(shù)列an的上述結(jié)論，對于等比數(shù)列bn(bn0， nN*)，若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，則可以得到bmn _.,解析 設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q.,題型二 類比推理,解析答案,思維升華,(1)進行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進行類比，提出猜想.其中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵.(2)類比推理常見的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；數(shù)的運算與向量的運算類比；圓錐曲線間的類比等.,思維升華,解析 設(shè)ha，hb，hc，hd分別是三棱錐ABCD四個面上的高， P為三棱錐ABCD內(nèi)任一點,P到相應(yīng)四個面的距離分別為Pa，Pb，Pc，Pd ，,跟蹤訓(xùn)練2,解析答案,(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.,(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了),題型三 演繹推理,解析答案,(2)Sn14an.,又a23S13，S2a1a21344a1， (小前提) 對于任意正整數(shù)n，都有Sn14an. (結(jié)論) (第(2)問的大前提是第(1)問的結(jié)論以及題中的已知條件),解析答案,思維升華,演繹推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式為三段論，演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊含關(guān)系，解題時要找準正確的大前提，一般地，若大前提不明確時，可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提.,思維升華,某國家流傳這樣的一個政治笑話：“鵝吃白菜，參議員先生也吃白菜，所以參議員先生是鵝.”結(jié)論顯然是錯誤的，是因為_. 大前提錯誤； 小前提錯誤； 推理形式錯誤； 非以上錯誤.,解析 因為大前提的形式“鵝吃白菜”，不是全稱命題，大前提本身正確，小前提“參議員先生也吃白菜”本身也正確，但不是大前提下的特殊情況，鵝與人不能類比，所以不符合三段論推理形式，所以推理形式錯誤.,跟蹤訓(xùn)練3,解析答案,返回,高頻小考點,典例1 (1)傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù).他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：,將三角形數(shù)1,3,6,10，記為數(shù)列an，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列bn，可以推測： b2 014是數(shù)列an的第_項； b2k1_.(用k表示),高頻小考點,10.高考中的合情推理問題,解析答案,解析答案,答案 5 035,(2)設(shè)S，T是R的兩個非空子集，如果存在一個從S到T的函數(shù)yf(x)滿足：(1)Tf(x)|xS；(2)對任意x1，x2S，當x1x2時，恒有f(x1)f(x2).那么稱這兩個集合“保序同構(gòu)”.以下集合對不是“保序同構(gòu)”的是_. AN*，BN； Ax|1x3，Bx|x8或0x10； Ax|0x1，BR； AZ，BQ.,解析答案,溫馨提醒,返回,解析 對于，取f(x)x1，xN*，所以AN*，BN是“保序同構(gòu)”的，故是；,不符合，不是保序同構(gòu).,答案 ,溫馨提醒,(1)解決歸納推理問題，常因條件不足，了解不全面而致誤.應(yīng)由條件多列舉一些特殊情況再進行歸納. (2)解決類比問題，應(yīng)先弄清所給問題的實質(zhì)及已知結(jié)論成立的緣由，再去類比另一類問題.,返回,溫馨提醒,思想方法 感悟提高,1.合情推理的過程概括為,2.演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個特殊情況的結(jié)論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論.數(shù)學(xué)問題的證明主要通過演繹推理來進行.,方法與技巧,1.合情推理是從已知的結(jié)論推測未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過進一步嚴格證明. 2.演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來證明和推理數(shù)學(xué)問題，注意推理過程的嚴密性，書寫格式的規(guī)范性. 3.合情推理中運用猜想時不能憑空想象，要有猜想或拓展依據(jù).,失誤與防范,返回,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.下列推理是歸納推理的是_. A，B為定點，動點P滿足PAPB2aAB，則P點的軌跡為橢圓； 由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式；,科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇.,解析 從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項和Sn，是從特殊到一般的推理，所以是歸納推理.,解析答案,2.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)sin(x21)是正弦函數(shù)，因此f(x)sin(x21)是奇函數(shù)，以上推理_. 結(jié)論正確； 大前提不正確； 小前提不正確； 全不正確.,解析 f(x)sin(x21)不是正弦函數(shù)，所以小前提錯誤.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,3.平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個區(qū)域，則f(n)的表達式為f(n)_.,解析 1條直線將平面分成11個區(qū)域； 2條直線最多可將平面分成1(12)4個區(qū)域； 3條直線最多可將平面分成1(123)7個區(qū)域； ；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,4.給出下列三個類比結(jié)論： (ab)nanbn與(ab)n類比，則有(ab)nanbn； loga(xy)logaxlogay與sin()類比，則有sin()sin sin ； (ab)2a22abb2與(ab)2類比，則有(ab)2a22a·bb2. 其中正確結(jié)論的個數(shù)是_. 解析 (ab)nanbn(n1，a·b0)，故錯誤. sin()sin sin 不恒成立.,由向量的運算公式知正確.,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,若cn是等比數(shù)列，,即dn為等比數(shù)列.,答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.觀察下列不等式：, 照此規(guī)律，第五個不等式為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 觀察每行不等式的特點，每行不等式左端最后一個分數(shù)的分母的開方與右端值的分母相等，且每行右端分數(shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，,因為P0(x0，y0)在這兩條切線上，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知 b1b30b2b29b11b20，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,并注意到在這三個特殊式子中，自變量之和均等于1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,歸納猜想得：當x1x21時，,解析答案,證明：設(shè)x1x21，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 如圖所示，由射影定理得 AD2BD·DC，AB2BD·BC，AC2BC·DC，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,又BC2AB2AC2，,猜想，四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE平面BCD，,解析答案,證明：如圖，連結(jié)BE并延長交CD于F，連結(jié)AF. ABAC，ABAD，ACADD， AC平面ACD，AD平面ACD，AB平面ACD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,AF平面ACD，ABAF.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,12.已知正方形的對角線相等；矩形的對角線相等；正方形是矩形.根據(jù)“三段論”推理出一個結(jié)論.則這個結(jié)論是_.(填序號),解析 根據(jù)演繹推理的特點，正方形與矩形是特殊與一般的關(guān)系，所以結(jié)論是正方形的對角線相等.,解析答案,13.如圖(1)若從點O所作的兩條射線OM、ON上分別有點M1、M2與點N1、N2，則三角形面積之比 如圖(2)，若從點O所作的不在同一平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上分別有點P1、P2，點Q1、Q2和點R1、R2，則類似的結(jié)論為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,故體積之比為,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14.已知等差數(shù)列an的公差d2，首項a15. (1)求數(shù)列an的前n項和Sn；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 由于a15，d2，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)設(shè)Tnn(2an5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并歸納出Sn與Tn的大小規(guī)律,解 因為Tnn(2an5)n2(2n3)54n2n， 所以T15，T24×22218，T34×32339， T44×42468，T54×525105. S15，S22×(24)12，S33×(34)21， S44×(44)32，S55×(54)45. 由此可知S1T1，當n2且nN*時，SnTn. 歸納猜想：當n1時，SnTn； 當n2，nN*時，SnTn.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1yf(1x)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值,解 由(1)知1f(x)f(1x)， 即f(x)f(1x)1. f(2)f(3)1，f(1)f(2)1， f(0)f(1)1. 則f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.,解析答案,返回,