高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.7 解三角形課件 文 北師大版.ppt

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4.7 解三角形,考綱要求:1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題. 2.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.,1.正弦定理和余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,則,2.三角形中的常見結(jié)論 (1)A+B+C=π. (2)在三角形中,AB?ab?sin Asin B. (3)任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.,3.△ABC的面積公式,4.實際問題中的常用角 (1)仰角和俯角 在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角,目標視線在水平視線上方 叫仰角,目標視線在水平視線下方 叫俯角(如圖1).,,,(2)方位角:從某點的正北方向線起按順時針轉(zhuǎn)到目標方向線之間的水平角叫方位角,如B點的方位角為α(如圖②). (3)方向角:正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角,如南偏東30°、北偏西45°、西偏北60°等. (4)坡度:坡面與水平面所成的二面角的正切值.,,2,3,4,1,5,1.下列結(jié)論正確的打“√”,錯誤的打“×”. (1)在三角形中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求邊c. ( ) (2)在三角形中,已知兩角和一邊或已知兩邊和一角都能解三角形. ( ) (3)在△ABC中,sin Asin B的充分不必要條件是AB. ( ) (4)在△ABC中,a2+b2c2是△ABC為銳角三角形的必要不充分條件. ( ),√,√,×,√,√,2,3,4,1,5,2.在△ABC中,化簡bcos C+ccos B的結(jié)果為( ) A.a B.b C.c D. b,答案,解析,2,3,4,1,5,3. (2015廣東,文5)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=2,c=2 ,cos A= 且bc,則b=( ),答案,解析,2,3,4,1,5,4.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點間的距離是 ( ),答案,解析,2,3,4,1,5,答案,解析,2,3,4,1,5,自測點評 1.在一個三角形中,邊和角共有6個量,已知三個量(其中至少有一邊)就可解三角形. 2.判斷三角形形狀的兩種思路:一是化邊為角;二是化角為邊,并用正弦定理(余弦定理)實施邊、角轉(zhuǎn)換. 3.當(dāng)a2+b2c2時判斷三角形的形狀,由cos C= 0,得∠C為鈍角,則三角形為鈍角三角形.,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點1利用正、余弦定理解三角形 例1在△ABC中,∠A= ,AB=6,AC=3 ,點D在BC邊上,AD=BD,求AD的長.,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,思考:已知怎樣的條件能用正弦定理解三角形?已知怎樣的條件能用余弦定理解三角形? 解題心得:1.已知兩邊和一邊的對角或已知兩角和一邊都能用正弦定理解三角形,正弦定理的形式多樣,其中a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C能夠?qū)崿F(xiàn)邊角互化. 2.已知兩邊和它們的夾角或已知兩邊和一邊的對角或已知三邊都能直接運用余弦定理解三角形,在運用余弦定理時,要注意整體思想的運用. 3.已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對角,該三角形具有不唯一性,通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷.,,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=2,cos C= ,3sin A=2sin B,則c= .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點2判斷三角形的形狀 例2在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角A的大小; (2)若sin B+sin C= ,試判斷△ABC的形狀.,解:(1)由2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C及正弦定理, 得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c, 即bc=b2+c2-a2,,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,思考:判斷三角形的形狀時主要有哪些方法? 解題心得:判斷三角形的形狀時主要有以下兩種方法: (1)利用正弦定理、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系,通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀; (2)利用正弦定理、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系,通過三角恒等變形,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀,此時要注意應(yīng)用A+B+C=π這個結(jié)論.,,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,對點訓(xùn)練2 (1)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2c2=2a2+2b2+ab,則△ABC是( ) A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等邊三角形,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,則△ABC的形狀為( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點3正、余弦定理與三角變換的綜合問題 例3(2015湖南,文17)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btan A. (1)證明:sin B=cos A; (2)若sin C-sin Acos B= ,且B為鈍角,求A,B,C.,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,對點訓(xùn)練3 (2015湖南懷化高三一模)已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,acos C+ asin C-b-c=0. (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面積為 ,求b,c.,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點4正、余弦定理在實際問題中的應(yīng)用 例4(2015湖北,文15)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600 m后到達B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD= m.,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,思考:利用正、余弦定理解決實際問題的一般思路是什么? 解題心得:利用正、余弦定理解決實際問題的一般思路是:(1)實際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)實際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形,這時需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有時需設(shè)出未知量,從幾個三角形中列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解.,,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,對點訓(xùn)練4 如圖,為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點,從A點測得M點的仰角∠MAN=60°,C點的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從C點測得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,則山高MN= m.,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,1.正弦定理和余弦定理其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系. 2.在已知關(guān)系式中,若既含有邊又含有角,通常的思路是:將角都化成邊或?qū)⑦叾蓟山?再結(jié)合正弦定理、余弦定理即可求解. 3.在△ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理時,會出現(xiàn)解的不確定性,一般可根據(jù)“大邊對大角”來取舍.,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,1.在解三角形中,三角形內(nèi)角和定理起著重要作用,在解題中要注意根據(jù)這個定理確定角的范圍,確定三角函數(shù)值的符號,防止出現(xiàn)增解等擴大范圍的現(xiàn)象. 2.在判斷三角形的形狀時,等式兩邊一般不要約去公因式,應(yīng)移項提取公因式,以免漏解.,