高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第44講立體幾何中的向量方法一證明平行與垂直課件.ppt

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,立體幾何,第 七 章,,,,第44講 立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直,,,,,,欄目導(dǎo)航,,,,,,非零,1．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)． (1)直線的方向向量是唯一確定的．( ) (2)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行．( ) (3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行或重合．( ) (4)若空間向量a平行于平面α，則a所在直線與平面α平行．( ),×,√,√,×,C,3．已知直線l的方向向量v＝(1,2,3)，平面α的法向量為u＝(5,2，－3)，則l與α的位置關(guān)系是____________. 解析 ∵v＝(1,2,3)，u＝(5,2，－3)，1×5＋2×2＋3×(－3)＝0， ∴v⊥u，∴l(xiāng)∥a或l?α. 4．設(shè)u，v分別是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，當(dāng)v＝(3，－2,2)時，α與β的位置關(guān)系為____________；當(dāng)v＝(4，－4，－10)時，α與β的位置關(guān)系為____________. 解析 當(dāng)v＝(3，－2,2)時，u⊥v，則α⊥β，當(dāng)v＝(4，－4，－10)時，u∥v，則α∥β.,l∥a或l?α,α⊥β,α∥β,5．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線ON，AM的位置關(guān)系是____________.,異面垂直,(1)恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵． (2)證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可．這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算．,一 利用空間向量證明平行問題,【例1】 如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點．求證：PB∥平面EFG. 證明 ∵平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD為正方形，∴AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，G(1,2,0)．,,,,二 利用空間向量證明垂直問題,證明垂直問題的方法 (1)利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算．其中靈活建系是解題的關(guān)鍵． (2)證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個向量垂直即可，當(dāng)然，也可證直線的方向向量與平面的法向量平行；證明面面垂直：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可．,【例2】 如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．求證：AB1⊥平面A1BD．,【例3】 如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)證明AP⊥BC； (2)若點M是線段AP上一點，且AM＝3.試證明平面AMC⊥平面BMC．,,,,三 利用空間向量解決探索性問題,對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：一種是先根據(jù)條件作出判斷，再進(jìn)一步論證；另一種是利用空間向量，先假設(shè)存在點的坐標(biāo)，再根據(jù)條件求該點的坐標(biāo)，即找到“存在點”，若該點坐標(biāo)不能求出，或有矛盾，則判定“不存在”．,【例4】 如圖，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD． (1)求證：BD⊥AA1； (2)在直線CC1上是否存在點P，使BP∥平面DA1C1.若存在，求出點P的位置，若不存在，請說明理由．,,,,,,2．如圖所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點，求證： (1)DE∥平面ABC； (2)B1F⊥平面AEF.,,,3．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°角． (1)求證：CM∥平面PAD； (2)求證：平面PAB⊥平面PAD．,,,,,4．在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點． (1)求證：EF⊥CD； (2)在平面PAD內(nèi)求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論．,,,錯因分析：①寫準(zhǔn)點的坐標(biāo)是關(guān)鍵，要利用中點、向量共線、相等來確定點的坐標(biāo)．②利用a＝λb證明直線平行需強(qiáng)調(diào)兩直線不重合，證明直線與平面平行仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外．,易錯點 坐標(biāo)系建立不恰當(dāng)、點的坐標(biāo)出錯,【例1】 如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點，點P，Q分別在棱DD1，BB1上移動，且DP＝BQ＝λ(0λ2)． (1)當(dāng)λ＝1時，證明：直線BC1∥平面EFPQ； (2)是否存在λ，使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．,,,,,