2022-2023學(xué)年福建省永安市高一年級下冊學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、數(shù)學(xué)試題 完卷時間120分鐘;滿分150分 第Ⅰ卷 一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.復(fù)數(shù)的虛部為( ) A.1 B. C. D. 2.已知平面向量,,且,則( ) A. B. C. D. 3.如圖,是的直觀圖,則是( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.以上都有可能 4.下圖是一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖,設(shè)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為M,中位數(shù)為N,則關(guān)于M與N的大小關(guān)系,下面說法正確的是( ) A. B. C. D.不確定 5.云南某鎮(zhèn)因地制宜,在政府的

2、帶領(lǐng)下,數(shù)字力量賦能鄉(xiāng)村振興,利用“農(nóng)抬頭”智慧農(nóng)業(yè)平臺,通過大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)分析柑橘等特色產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)數(shù)量、價格走勢、市場供求等數(shù)據(jù),幫助小農(nóng)戶找到大市場,開啟“直播電商”銷售新模式,推進當(dāng)?shù)靥厣r(nóng)產(chǎn)品“走出去”;通過“互聯(lián)網(wǎng)旅游”聚焦特色農(nóng)產(chǎn)品、綠色食品、生態(tài)景區(qū)資源.下面是2022年7月到12月份該鎮(zhèn)甲、乙兩村銷售收入統(tǒng)計數(shù)據(jù)(單位:百萬): 甲:5,6,6,7,8,16; 乙:4,6,8,9,10,17. 根據(jù)上述數(shù)據(jù),則( ) A.甲村銷售收入的第50百分位數(shù)為7百萬 B.甲村銷售收入的平均數(shù)小于乙村銷售收入的的平均數(shù) C.甲村銷售收入的中位數(shù)大于乙村銷售收入的中位數(shù) D

3、.甲村銷售收入的方差大于乙村銷售收入的方差 6.“春雨驚春清谷天,夏滿芒夏暑相連,秋處露秋寒霜降,冬雪雪冬小大寒,每月兩節(jié)不變史,最多相差一兩天.”中國農(nóng)歷的“二十四節(jié)氣”,凝結(jié)著中華民族的智慧,是中國傳統(tǒng)文化的結(jié)晶,如五月有立夏、小滿,六月有芒種、夏至,七月有小暑、大暑,現(xiàn)從五月、六月、七月這六個節(jié)氣中任選兩個節(jié)氣,則這兩個節(jié)氣恰在同一個月的概率為( ) A. B. C. D. 7.在中,已知角A,B,C所對邊長分別為a,b,c,且滿足,,D為BC的中點,,則( ) A. B.3 C. D.4 8.兩個邊長為4的正三角形與,沿公共邊AB折疊成的二面角,若點A,B,C,D

4、在同一球O的球面上,則球O的表面積為( ) A. B. C. D. 二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分. 9.已知復(fù)數(shù),則下列說法正確的是( ) A. B.z的共軛復(fù)數(shù)是 C.復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第二象限 D. 10.設(shè)平面向量,滿足,且,則( ) A. B. C. D.與的夾角為 11.設(shè)A,B為兩個隨機事件,以下命題正確的為( ) A.若A,B是互斥事件,,,則 B.若A,B是對立事件,則 C.若A,B是獨立事件,,,則 D.若,

5、,且,則A,B是獨立事件 12.如圖,在幾何體中,平面平面,,,平面,底面為直角梯形.,E為的中點,,則( ) A. B. C.AC與所成角的余弦值為 D.幾何體的體積為2 第Ⅱ卷 三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上. 13.2020年新冠肺炎疫情期間,為停課不停學(xué),某高中實施網(wǎng)上教學(xué).該高中為了解網(wǎng)課學(xué)習(xí)效果,組織了一次網(wǎng)上測試.并利用分層抽樣的方法從高中3個年級的學(xué)生中隨機抽取了150人的測試成績,其中高一、高二年級各抽取了40人,50人,若高三年級有學(xué)生1200人,則該高中共有學(xué)生________人. 14.若樣本數(shù)據(jù)的方

6、差為3,則數(shù)據(jù)的方差為________. 15.已知復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程的一個根,則________. 16.一所初級中學(xué)為了估計全體學(xué)生的平均身高和方差,通過抽樣的方法從初一年級隨機抽取了30人,計算得這30人的平均身高為,方差為30;從初二年級隨機抽取了40人,計算得這40人的平均身高為,方差為20;從初三年級隨機抽取了30人,計算得這30人的平均身高為,方差為10.依據(jù)以上數(shù)據(jù),若用樣本的方差估計全校學(xué)生身高的方差,則全校學(xué)生身高方差的估計值為________. 四、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.(10分) 已知向量,滿足,,.

7、 (1)求向量與的夾角的大?。? (2)求的值. 18.(12分) 天氣預(yù)報中,在元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的降雨概率是0.3.假定在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響,計算在這段時間內(nèi): (1)甲乙兩地都降雨的概率 (2)甲乙兩地都不降雨的概率 19.(12分) 如圖,四棱錐中,,,點E為PC上一點,F(xiàn)為PB的中點,且平面BDE. (1)若平面PAD與平面PBC的交線為l,求證:平面; (2)求證:. 20.(12分) 的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知,,. (1)求A; (2)若M是直線BC外一點,,求面積的最大值. 21.(12分

8、) 2021年3月18日,位于孝感市孝南區(qū)長興工業(yè)園內(nèi)的湖北福益康醫(yī)療科技有限公司正式落地投產(chǎn),這是孝感市第一家獲批的具有省級醫(yī)療器械生產(chǎn)許可證資質(zhì)的企業(yè),也是我市首家“一次性使用醫(yī)用口罩、醫(yī)用外科口罩”生產(chǎn)企業(yè).在加大生產(chǎn)的同時,該公司狠抓質(zhì)量管理,不定時抽查口罩質(zhì)量,該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機抽取了100個,將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組:,,,…,,得到如下頻率分布直方圖. (1)求出直方圖中m的值; (2)利用樣本估計總體的思想,估計該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表,中位數(shù)精確到0.01); (3)現(xiàn)規(guī)定:質(zhì)量指標(biāo)值小

9、于70的口罩為二等品,質(zhì)量指標(biāo)值不小于70的口罩為一等品.利用分層抽樣的方法從該企業(yè)所抽取的100個口罩中抽出5個口罩,其中一等品和二等品分別有多少個. (4)該廠每月能否獲利?如果能獲利,求出最大利潤. 22.(12分) 如圖所示,四邊形為菱形,,平面平面,點E是棱AB的中點. (1)求證:; (2)若,求三棱錐的體積. (3)若,當(dāng)二面角的正切值為時,求直線PE與平面所成的角. 數(shù)學(xué)試題 參考答案: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B C B B C C B BD AC BC ABD

10、5.B 【詳解】對于A,因為,所以這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為,故A錯誤; 對于B,,, 故甲村銷售收入的平均數(shù)小于乙村銷售收入的平均數(shù),故B正確; 對于C,甲村銷售收入的中位數(shù)為,乙村銷售收入的中位數(shù)為到, 則甲村銷售收入的中位數(shù)小于乙村銷售收入的中位數(shù),故C錯誤; 對于D,甲村銷售收入的方差 , 乙村銷售收入的方差 . 所以甲村銷售收入的方差小于乙村銷售收入的方差,故D錯誤. 故選:B 7.C 【詳解】因為,,D為BC的中點,,如圖, 在中,根據(jù)余弦定理可得,, 在中,根據(jù)余弦定理可得,, 又因為,所以, 故有,得到,即,所以,故選:C. 8.B 【

11、詳解】取AB的中點E,連接CE,DE,因為正三角形與的邊長為4,所以,,且,故為二面角的平面角,,所以是等邊三角形,取CE的中點F,連接DF,則,,,因為,,,DE,平面,所以平面,因為平面,所以,因為,AB,平面,所以平面,取的中心G,則點G在CE上,且,故,則球心O在G點正上方,連接DO,OG,OC,過點O作于點K,則,設(shè),,則,由勾股定理得,,故,解得,故外接球半徑,故球O的表面積為. 9.BD 【詳解】因為,則,故A錯誤; z的共軛復(fù)數(shù)是,故B正確; 復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為,位于第一象限,故C錯誤; 因為,, 所以,故D正確; 10.AC 【詳解】由題意,

12、得,因為,所以,解得,故A正確; ,故B錯誤; ,故C正確; 設(shè)與的夾角為,則,故與的夾角不為,故D錯誤. 11.BC 【詳解】對于A:若A,B是互斥事件,,,則,故A錯誤; 對于B:若A,B是對立事件,則,故B正確; 對于C:若A,B是獨立事件,,,則A,也是獨立事件,則,故C正確; 對于D:若,,則且,則,B不是獨立事件,故A,B也不是獨立事件,故D錯誤; 12.ABD 【詳解】對于A,的中點E,連接BE,,則,且,∴四邊形為平行四邊形,∴,.∵平面平面,平面平面,平面平面,∴,又,∴四邊形為平形四邊形,∴,,∴,,∴四邊形為平行四邊形,則,∵平面平面,平面平面,平面平

13、面,∴.易知,∴四邊形為平行四邊形,∴,∴,故A正確. ∵,平面,∴平面,∵平面,∴又∵四邊形為直角梯形,,,∴,又∵,,平面,∴平面,∵平面,∴,故B正確; ,,所以為平行四邊形,所以,AC與所成角即為或其補角,,,而, 所以,故C錯誤; 三棱柱的體積,故D正確. 13 14 15 16 3000 12 64.4 15. 【詳解】由求根公式可得或,所以,故答案為: 16.64.4 【詳解】初一學(xué)生的樣本記為,方差記為,初二學(xué)生的樣本記為,方差記為,初三學(xué)生的樣本記為,方差記為. 設(shè)樣本的平均數(shù)為,則,設(shè)樣本的方差為. 則 又, 故, 同理,,

14、 因此, . 17.(1)由得,由得,得, 設(shè)向量與的夾角為,由得,得, 因為,所以,即向量與的夾角的大小為. (2). 18.(1)設(shè)“甲地降雨”為事件A,“乙地降雨”為事件B,則,, “甲乙兩地都下雨”表示事件A,B同時發(fā)生,即事件AB, 由已知,甲乙兩地是否降雨相互之間沒有影響,即事件A與事件B相互獨立, 所以, 所以甲乙兩地都降雨的概率為0.06. (2)設(shè)“甲地降雨”為事件A,“乙地降雨”為事件B,“甲乙兩地都不降雨”即事件與同時發(fā)生,即, ,,利用獨立事件的性質(zhì)可知,事件與相互獨立, 所以,所以甲乙兩地都不降雨的概率為0.56. 19.(1)∵,

15、平面,平面,∴平面.∵平面,平面平面,∴.∵平面,平面,∴平面. (2)連接AC,F(xiàn)C,設(shè),,連接OM,∵平面,平面,平面平面,∴,∵,,所以,∴,∴點M是的重心,∴點E是PC的中點,∴,∴,∴. 20.(1)由得,由正弦定理得, 因為,所以. 又因為,所以,所以.因為,所以. (2)由得,故.因為,所以,所以,可得.根據(jù)正弦定理可得,. 設(shè),,在中,, 由余弦定理可得. 所以, 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以. 所以.故面積的最大值為. 21.(1)由,得. (2)平均數(shù)為, 因為,, 所以中位數(shù)在第4組,設(shè)中位數(shù)為n,則,解得, 所以可以估計該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩

16、的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為71,中位數(shù)為73.33. (3)由頻率分布直方圖可知:100個口罩中一等品有60個,二等品有40個, 由分層抽樣可知,所抽取的5個口罩中一等品有個,二等品有個, 所以抽取的5個口罩中一等品有3個和二等品有2個. 22.(1)如圖所示,設(shè)點F是棱AD的中點,連接PF,EF,BD,由及點F是棱AD的中點,可得,因為平面平面,平面平面,平面,故平面,又因為平面,所以,又因為四邊形為菱形,所以,而EF是的中位線,所以,可得,又由,且平面,平面,所以平面,又因為平面,所以. (2)若,由于菱形,易證正三角形中,由于平面,所以. (3)設(shè)點G是AC與EF的交點,由(1)可知平面,又PG,EG均在平面內(nèi),從而有,,故為二面角的平面角,所以,所以, 因為,所以為等邊三角形.不妨設(shè)菱形的邊長為,.則在直角中,,,,所以,因為平面,所以為直線PE與平面所成的角.則,所以直線PE與平面所成的角為.

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