經(jīng)典層次分析法分析及實(shí)例教程.ppt

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層次分析法,Analytic Hierarchy Process AHP,T.L.saaty,面臨各種各樣的方案，要進(jìn)行比較、判斷、評(píng)價(jià)、最后 作出決策。這個(gè)過(guò)程主觀因素占有相當(dāng)?shù)谋戎亟o用數(shù)學(xué)方法 解決問(wèn)題帶來(lái)不便。T.L.saaty等人20世紀(jì)在七十年代提出了 一種能有效處理這類(lèi)問(wèn)題的實(shí)用方法。 層次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)這是 一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。 過(guò)去研究自然和社會(huì)現(xiàn)象主要有機(jī)理分析法和統(tǒng)計(jì)分析法兩 種方法，前者用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系，后者 以隨機(jī)數(shù)學(xué)為工具，通過(guò)大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律。近 年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析 的數(shù)學(xué)工具之一。,二 層次分析法的基本步驟,1 建立層次結(jié)構(gòu)模型 一般分為三層，最上面為目標(biāo)層，最下面為方案層，中 間是準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。 例1 的層次結(jié)構(gòu)模型,準(zhǔn)則層,方案層,目標(biāo)層,,,,,,設(shè)某層有 個(gè)因素，,2 構(gòu)造成對(duì)比較矩陣,要比較它們對(duì)上一層某一準(zhǔn)則（或目標(biāo)）的影響程度，確定 在該層中相對(duì)于某一準(zhǔn)則所占的比重。（即把 個(gè)因素對(duì)上 層某一目標(biāo)的影響程度排序）,用 表示第 個(gè)因素相對(duì)于第 個(gè)因素的比較結(jié)果，則,則稱(chēng)為成對(duì)比較矩陣。,上述比較是兩兩因素之間進(jìn)行的比較，比較時(shí)取1~9尺度。,尺度,第 個(gè)因素與第 個(gè)因素的影響相同,,第 個(gè)因素比第 個(gè)因素的影響稍強(qiáng),第 個(gè)因素比第 個(gè)因素的影響強(qiáng),第 個(gè)因素比第 個(gè)因素的影響明強(qiáng),第 個(gè)因素比第 個(gè)因素的影響絕對(duì)地強(qiáng),含義,比較尺度：（1~9尺度的含義）,2,4,6,8表示第 個(gè)因素相對(duì)于第 個(gè)因素的影響介于上述 兩個(gè)相鄰等級(jí)之間。不難定義以上各尺度倒數(shù)的含義， 根據(jù) 。,2 4 6 8,比較尺度aij,Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值1,2,… , 9及其互反數(shù)1,1/2, … , 1/9,心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不宜超過(guò)9個(gè),用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27種比較尺度對(duì)若干實(shí)例構(gòu)造成對(duì)比較陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對(duì)比發(fā)現(xiàn)， 1~9尺度較優(yōu)。,便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：,成對(duì)比較陣和權(quán)向量,由上述定義知，成對(duì)比較矩陣,則稱(chēng)為正互反陣。 比如，第二層A的各因素對(duì)目標(biāo)層Z的影響兩兩比較結(jié)果如下：,滿(mǎn)足一下性質(zhì),1,1/2,4,3,3,2,1,7,5,5,1/4,1/7,1,1/2,1/3,1/3,1/5,2,1,1,1/3,1/5,3,1,1,由上表，可得成對(duì)比較矩陣,問(wèn)題：兩兩進(jìn)行比較后，怎樣才能知道，下層各因素對(duì)上 層某因素的影響程度的排序結(jié)果呢？,3 層次單排序及一致性檢驗(yàn),層次單排序：確定下層各因素對(duì)上層某因素影響程度的過(guò)程。 用權(quán)值表示影響程度，先從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子看如何確定權(quán)值。 例如 一塊石頭重量記為1，打碎分成 各小塊，各塊的重量,分別記為：,則可得成對(duì)比較矩陣,由右面矩陣可以看出，,即，,但在上例的成對(duì)比較矩陣中，,在正互反矩陣 中，若 ,則稱(chēng) 為一致陣。,一致陣的性質(zhì)：,5. 的任一列(行)都是對(duì)應(yīng)于特征根 的特征向量。,若成對(duì)比較矩陣是一致陣，則我們自然會(huì)取對(duì)應(yīng)于最 大特征根 的歸一化特征向量 ，且,定理： 階互反陣 的最大特征根 ，當(dāng)且僅 當(dāng) 時(shí)， 為一致陣。,表示下層第 個(gè)因素對(duì)上層某因素影響程度的權(quán)值。,若成對(duì)比較矩陣不是一致陣，Saaty等人建議用其最大 特征根對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量作為權(quán)向量 ，則,（為什么？）,這樣確定權(quán)向量的方法稱(chēng)為特征根法.,定義一致性指標(biāo),其中 為 的對(duì)角線(xiàn)元素之和，也為 的特征根之和。,則可得一致性指標(biāo),定義隨機(jī)一致性指標(biāo),隨機(jī)構(gòu)造500個(gè)成對(duì)比較矩陣,隨機(jī)一致性指標(biāo) RI 的數(shù)值：,一致性檢驗(yàn)：利用一致性指標(biāo)和一致性比率0.1 及隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值表，對(duì) 進(jìn)行檢驗(yàn)的過(guò)程。,一般，當(dāng)一致性比率,的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其歸一化特征向量 作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣，對(duì) 加 以調(diào)整。,時(shí)，認(rèn)為,4 層次總排序及其一致性檢驗(yàn) 確定某層所有因素對(duì)于總目標(biāo)相對(duì)重要性的排序權(quán)值過(guò)程， 稱(chēng)為層次總排序 從最高層到最低層逐層進(jìn)行。設(shè)：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,對(duì)總目標(biāo)Z的排序?yàn)?的層次單排序?yàn)?即 層第 個(gè)因素對(duì) 總目標(biāo)的權(quán)值為：,層的層次總排序?yàn)椋?,A,B,層次總排序的一致性檢驗(yàn),設(shè) 層 對(duì)上層( 層)中因素 的層次單排序一致性指標(biāo)為 ，隨機(jī)一致性指為 ， 則層次總排序的一致性比率為：,當(dāng) 時(shí)，認(rèn)為層次總排序通過(guò)一致性檢驗(yàn)。到 此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。,1.建立層次結(jié)構(gòu)模型 該結(jié)構(gòu)圖包括目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。,層次分析法的基本步驟歸納如下,3.計(jì)算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn),2.構(gòu)造成對(duì)比較矩陣,從第二層開(kāi)始用成對(duì)比較矩陣和1~9尺度。,對(duì)每個(gè)成對(duì)比較矩陣計(jì)算最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)通過(guò)，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過(guò)，需要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣。,四 層次分析法的優(yōu)點(diǎn)和局限性,1 系統(tǒng)性 層次分析法把研究對(duì)象作為一個(gè)系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策 ，成為繼機(jī)理分析、統(tǒng)計(jì)分析之后發(fā)展起來(lái)的系統(tǒng)分析的重要工具。,2 實(shí)用性 層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來(lái)，能處理許多用 傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無(wú)法著手的實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)用范圍很廣，同 時(shí)，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策 者甚至可以直接應(yīng)用它，這就增加了決策的有效性。,3 簡(jiǎn)潔性 具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本 原理并掌握該法的基本步驟，計(jì)算也非常簡(jiǎn)便，并且所得 結(jié)果簡(jiǎn)單明確，容易被決策者了解和掌握。,以上三點(diǎn)體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點(diǎn)，該法的局限 性主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：,第一 只能從原有的方案中優(yōu)選一個(gè)出來(lái)，沒(méi)有辦法得出更好的新方案。,第二 該法中的比較、判斷以及結(jié)果的計(jì)算過(guò)程都是粗糙 的，不適用于精度較高的問(wèn)題。 第三 從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對(duì)比較矩陣，人主觀 因素對(duì)整個(gè)過(guò)程的影響很大，這就使得結(jié)果難以讓 所有的決策者接受。當(dāng)然采取專(zhuān)家群體判斷的辦法 是克服這個(gè)缺點(diǎn)的一種途徑。,思考：多名專(zhuān)家的綜合決策問(wèn)題,五 正互反陣最大特征值和特征向量實(shí)用算法,用定義計(jì)算矩陣的特征值和特征向量相當(dāng)困難，特別是階數(shù)較高時(shí)； 成對(duì)比較矩陣是通過(guò)定性比較得到的比較粗糙的結(jié)果，對(duì)它的精確計(jì)算是沒(méi)有必要的。 尋找簡(jiǎn)便的近似方法。,定理,對(duì)于正矩陣 A （A的所有元素為正）,1） A 的最大特征根為正單根 ；,2） 對(duì)應(yīng)正特征向量 w（w的所有分量為正）；,3）,其中,是對(duì)應(yīng) 的歸一化特征向量。,1 冪法 步驟如下,a) 任取 n 維歸一化初始向量,b) 計(jì)算,c) 歸一化,，即令,d) 對(duì)于預(yù)先給定的精度 ，當(dāng)下式成立時(shí),即為所求的特征向量；否則返回b；,e) 計(jì)算最大特征值,這是求特征根對(duì)應(yīng)特征向量的迭代方法，其收 斂性由定理的3）保證。,2 和法 步驟如下,a) 將A的每一列向量歸一化得,b) 對(duì),c) 歸一化,按行求和得,d) 計(jì)算,3 根法,步驟與和法基本相同，只是將步驟 b 改為對(duì),按行求積并開(kāi)n次方，即,三方法中，和法最為簡(jiǎn)便。看下列例子。,e) 計(jì)算,，最大特征值的近似值。,,列向量歸一化,,求和,,歸一化,精確計(jì)算，得,