巴特沃斯數(shù)字低通濾波器要點(diǎn)

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1、 目錄 1.題目 .2 2.要求 2 3.設(shè)計(jì)原理 2 3.1 數(shù)字濾波器基本概念 2 3.2 數(shù)字濾波器工作原理 2 3.3 巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)原理 2 3.4 脈沖響應(yīng)不法 4 3.5 實(shí)驗(yàn)所用 MATLAB 函數(shù)說明 5 4.設(shè)計(jì)思路 6 5、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 6 5.1 實(shí)驗(yàn)程序 6 5.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析 10 6.心得體會(huì) 10 7.參考文獻(xiàn) 10

2、 第 1 頁 一、題目 ：巴特沃斯數(shù)字低通濾波器 二、要求： 利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃斯數(shù)字低通濾波器，通帶截止頻率100HZ,采樣頻率 1000HZ，通帶最大衰減為 0.5HZ，阻帶最小衰減為 10HZ ，畫出幅頻、相頻相應(yīng)相應(yīng)曲線。并假設(shè)一個(gè)信號(hào) x(t)=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t), 其 中 f1=50HZ,f2=200HZ 。用此信號(hào)驗(yàn)證濾波器設(shè)計(jì)的正確性。三、設(shè)計(jì)原理 1、數(shù)字濾波器的基本概念 所謂數(shù)字濾波

3、器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過數(shù)值運(yùn)算處理改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例，或者濾波器除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序，因此，數(shù)字濾波的概念和模擬濾波相同，只是的形式和實(shí)現(xiàn)濾波方法不同。 正因?yàn)閿?shù)字濾波通過數(shù)值運(yùn)算實(shí)現(xiàn)濾波， 所以數(shù)字濾波處理精度高、 穩(wěn)定、體積小、質(zhì)量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實(shí)驗(yàn)?zāi)M濾波器無法實(shí)現(xiàn)的特殊 濾波功能。如果要處理的是模擬信號(hào)，可通過 A\DC 和 D\AC, 在信號(hào)形式上進(jìn)行匹配轉(zhuǎn)換，同樣可以使用數(shù)字濾波器對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行濾波。 2、數(shù)字濾波器的工作原理 數(shù)字濾波器是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)，輸入 x(n) 是一個(gè)時(shí)間序列，輸出 y(

4、n)也是一個(gè)時(shí)間序列。如數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 H(Z), 其脈沖響應(yīng)為 h(n),則在時(shí)間域內(nèi)存在下列關(guān)系 y(n)=x(n) h(n) 在 Z 域內(nèi)，輸入輸出存在下列關(guān)系 Y(Z)=H(Z)X(Z) 式中， X(Z),Y(Z) 分別為輸入 x(n)和輸出 y(n)的 Z 變換。 同樣在頻率域內(nèi)，輸入和輸出存在下列關(guān)系 Y(jw)=X(jw)H(jw) 式中， H(jw) 為數(shù)字濾波器的頻率特性， X(jw) 和 Y(jw) 分別為 x(n)和 y(n)的頻譜。 w 為數(shù)字角頻率，單位 rad。通常設(shè)計(jì) H(jw) 在某些頻段的響應(yīng)值為 1，在某些

5、頻段的響應(yīng)為 0.X(jw) 和 H(jw) 的乘積在頻率響應(yīng)為 1 的那些頻段的值仍為 X(jw) ，即在這些頻段的振幅可以無阻礙地通過濾波器， 這些頻帶為通帶。 X(jw) 和 H(jw) 的乘積在頻段響應(yīng)為 0 的那些頻段的值不管 X(jw) 大小如何均為零，即在這些頻段里的振幅不能通過濾波器，這些頻帶稱為阻帶。 一個(gè)合適的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù) H(Z) 可以根據(jù)需要輸入 x(n) 的頻率特性，經(jīng)數(shù)字濾波器處理后的信號(hào) y(n)保留信號(hào) x(n) 中的有用頻率成分， 去除無用頻率成分。 3、巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)原理 （ 1）基本性質(zhì) 巴特沃斯濾波器以巴特沃

6、斯函數(shù)來近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 巴特沃斯濾波器 是根據(jù)幅頻特性在通頻帶內(nèi)具有最平坦特性定義的濾波器。 1 2 1 巴特沃思濾波器的低通模平方函數(shù)表示 H a (j ) 2 N 1 / c 第 2 頁 N=1,2，?? （2-6） 下面 了巴特沃斯 波器的主要特征 a 所有的 N， Ha j 2 1。 0 b 所有的 N， a j 2 0.707 即 20lg H a j 3d

7、B c c c Ha j 2 是Ω 的 下降函數(shù)。 2 Ha j d 隨著 次 N 的增大而更接近于理想低通 波器。 如下 2 所示，可以看出 波器的幅 特性隨著 波器 次 N 的增加而 得越來越好，在截止 率 Ωc 的函數(shù) 始 1/2 的情況下，通 內(nèi)有更多的 區(qū)的 接近于 1；在阻 內(nèi)更迅速的 近于零。

8、 圖 2 巴特沃思低通 波平方幅 特性函數(shù) （ 2）系 函數(shù) 巴特沃斯的系 函數(shù) Ha（s）， ： （ 3） 程 巴特沃思低通 波技 指 關(guān)系式 ap>-20log|Ha(jΩ )|， Ω<ΩP as<-20log|Ha(jΩ )|， Ω>Ωs 其中： Ωp 通 界 率， Ω s 阻 界 率。代入式 1.4.1 可得 : 第 3 頁 經(jīng)過化簡(jiǎn)整理可得： 取滿足上式的最小整數(shù) N 作為濾

9、波器的階數(shù)。再將 N 代入可得： 或 查表求得歸一化傳輸函數(shù) H(s),令 s/Ω c 代替歸一化原 型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的 s, 即得到實(shí)際濾波器傳輸函數(shù)。 4、脈沖響應(yīng)不變法 所謂脈沖響應(yīng)不變法就是數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)序列 h(n)等于模擬濾波器的響應(yīng) ha(t)的采樣值，即 h(n)=ha(t)|t=nT=ha(nT) 式中， T 為采樣周期。 因此數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(Z) 可由下式求得 H(z)=Z[h(n)]=Z[ha(nT)] Z[-] 表示 [

10、-] 的內(nèi)容進(jìn)行變換，變換的內(nèi)容請(qǐng)參考相應(yīng)的數(shù)字信號(hào)處理材 料。 如果已經(jīng)獲得了滿足性能指標(biāo)的模擬濾波器的傳遞函數(shù) Ha(s) ,求與之對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) H(z)的方法是： （1）、求模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng) ha(t)。 式中， L[Ha(s)] 表示對(duì) Ha(s)的 Laplace.逆變換。 Laplace 變換內(nèi)容請(qǐng)參考高等數(shù) 學(xué)的積分變換或信號(hào)處理教材。 （2）、求模擬濾波器單位沖激響應(yīng) ha(t)的采樣值，即數(shù)字濾波器沖激響應(yīng)序列 h(n)。 （3）、對(duì)數(shù)字濾波器的沖激 h(n)響應(yīng)進(jìn)行 z 變換，得到傳遞函數(shù) H(z)。

11、 由上述方法推論出更直接地由模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)求出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù) H(z)的步驟是： （1）利用部分分式展開將模擬濾波器的傳遞函數(shù) H(z) 展開成 Ha(s)= Rk\(S-Pk) 在 MATLAB 中這步可通過 residue函數(shù)實(shí)現(xiàn) 若調(diào)用 residue函數(shù)的形式為 [b,a]=residue(R,P,K)形式。 若為 [R,P,K]=residue(a,b)則為上面調(diào)用形式的反過程。 (2)將模擬極點(diǎn) Pk 變換為數(shù)字極點(diǎn) e^pkT 即得到數(shù)字系統(tǒng)的傳遞函數(shù) H(z)= Rk\(1-e^pkT*z*(-1))

12、式中 T 為采樣間隔。 （3）將上式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式，可采用 [R,P,K]=residue(b,a)。 第 4 頁 對(duì)于上面的步驟， 中已經(jīng)提供了沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的函數(shù)， 調(diào)用格式為 [bz,az]=impinvar(b,a[ ,Fs],Fp) 式中， b,a 為模擬濾波器分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量； Fs 為采樣頻率（所濾波數(shù)據(jù)），單位 Hz，缺省時(shí)為 1Hz，為預(yù)畸變頻率（ prewarped frequency），是一個(gè)“匹配”頻率，在該頻率上，頻率響應(yīng)在變換前后和模擬頻率可精確匹配。一般設(shè)計(jì)中不考慮。 bz,a

13、z 分別為數(shù)字濾波器分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量。 5、實(shí)驗(yàn)所用 MATLAB 函數(shù)說數(shù) 。 （ 1） [N,wc]=buttord(wp,ws,RP,As,’s’) 該格式用于計(jì)算巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù) N 和 3db 截止頻率 wc。Wp、 ws 和 wc 是實(shí)際模擬角頻率 (rad\s)。 Rp 和 As 為通帶最大衰減和最小衰減。 （ 2） [Z,P,k]=buttap(N) 該格式用于計(jì)算 N 階巴特沃斯歸一化模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)和增益因子，返回長(zhǎng)度為 N 的列向量 Z 和 P，分別給出 N 個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置， K 表示濾波器增益。

14、 （ 3） Y=filter(b,a,x) 式中 b 表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣； a 表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣； x 表示輸入序列； filter 表示輸出序列。 IIR 函數(shù)實(shí)現(xiàn)的直接形式。 (4) [b ， a]=butter （ N， wc，‘ftype ’） 計(jì)算 N 階巴特沃斯數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量 b、a。 說明： 調(diào)用參數(shù) N 和 wc 分別為巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)和 3dB 截止頻率的歸一化值，一般是調(diào)用 buttord 格式（ 1）計(jì)算 N 和 wc。系數(shù) b、 a 是按照 z-1 的升冪排

15、列。 (5) [B ， A]=butter （ N， Ωc，‘ ftype ’，‘ s’） 計(jì)算巴特沃斯模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量。 說明：調(diào)用參數(shù) N和 Ωc 分別為巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)和 3dB 截止頻率 ( 實(shí)際角頻率 ) ，可調(diào)用 buttord （ 2）格式計(jì)算 N和Ω c。系數(shù) B、A 按 s 的正降冪排列。 tfype 為濾波器的類型： ◇ ftype=high 時(shí)，高通； Ωc 只有 1 個(gè)值。 ◇ftype=stop 時(shí)，帶阻； Ωc=[ Ωcl, Ω cu] ，分別為帶阻濾波器的通帶 3dB 下截止頻率和上

16、截止頻率。 ◇ ftype 缺省時(shí)：若 Ω c 只有 1 個(gè)值，則默認(rèn)為低通；若 Ωc 有 2 個(gè)值，則默認(rèn)為帶通；其通帶頻率區(qū)間 Ω cl< Ω < Ω cu。 (6)[H,w]=freqz(b,a,N) 第 5 頁 b 和 a 分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，返回量 H 則包含了離散系統(tǒng)頻響在 0 ～pi 范圍內(nèi) N個(gè)頻率等分點(diǎn)的值（其中 N為正整數(shù)），w則包含了范圍內(nèi) N 個(gè)頻率等分點(diǎn)。調(diào)用默認(rèn)的 N 時(shí)，其值是 512?？梢韵日{(diào)用 freqz() 函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，然后利用 abs() 和 a

17、ngle() 函數(shù)及 plot() 函 數(shù)，繪制出系統(tǒng)的頻響曲線。 (7)lp2lp 函數(shù) [bt,at]=lp2lp(b,a,w0) 該函數(shù)用于實(shí)現(xiàn)由低通模擬原型濾波器至低通濾波器的頻率變換，可以用 傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間 進(jìn)行轉(zhuǎn)換，但無論哪種形式，其輸入必須是模擬濾波器原 型。 （ 8） [bz,az]=impinvar （b,a,fs) 把具有 [b,a] 模擬濾波器傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為采樣頻率為 fs 的數(shù)字濾波器 的傳遞函數(shù)模型 [bz,az] ，如果在函數(shù)中沒有確定頻率 fs 時(shí)，函數(shù)默認(rèn)為 1Hz. 四、設(shè)計(jì)思路

18、 設(shè)定信號(hào) ↓ 模擬低通濾波器原型 →頻率變換 →模擬離散化 →IIR 數(shù)字濾波器 → 輸出信號(hào) 五、設(shè)計(jì)內(nèi)容 1.MATLAB 程序設(shè)計(jì) Wp=2*pi*100; Ws=2*pi*150; %濾波器截止頻率 Rp=0.5; Rs=10; %通帶最大衰減和阻帶最小衰減 Fs=1000; %采樣頻率 Nn=128; %調(diào)用 freqz 所用的頻率點(diǎn)數(shù) [N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s); %模擬濾波器的最小階數(shù) [z,p,k]=buttap(N); % 設(shè)計(jì)模擬低通原型

19、 Butterworth 濾波器 第 6 頁 [Bap,Aap]=zp2tf(z,p,k); %將零點(diǎn)極點(diǎn)增益形式轉(zhuǎn)換 為傳遞函數(shù)形式 [b,a]=lp2lp(Bap,Aap,Wc) %進(jìn)行頻率轉(zhuǎn)換 [bz,az]=impinvar(b,a,Fs); %運(yùn)用脈沖響應(yīng)不變法得到 數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) figure(1) [H,W]=freqz(bz,az,Nn,Fs); % 繪制數(shù)字濾波器的幅值 特性和相頻特性 subplot(2,1,1)

20、plot(W,20*log10(abs(H))); xlabel(頻率 ); ylabel(幅度 ); grid on; subplot(2,1,2); plot(W,180\pi*unwrap(angle(H))); xlabel(頻率 ); ylabel(幅度 ); grid on; figure(2) f1=50; f2=200; %輸入信號(hào)的頻率 N=100; %數(shù)據(jù)長(zhǎng)度 dt=1\Fs; n=0:N-1; t=n*dt; %采樣間隔和時(shí)間序列

21、 第 7 頁 x=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t); %濾波器輸入信號(hào) subplot(2,1,1); %繪制輸入信號(hào) plot(t,x); title( 輸入信號(hào) ); %用 filter 函數(shù)對(duì)輸入信號(hào)濾波 y1=filter(bz,az,x); subplot(2,1,2); %繪出輸出波形 xlabel(時(shí)間 ) title( 輸出信號(hào) );

22、 第 8 頁

23、 第 9 頁 2.實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析 實(shí)驗(yàn)得到的兩幅圖如上所示，在第一幅圖中，小于 100 處衰減小 于 3Hz，而在大于 120Hz 處衰減大于 15d

24、B，滿足濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)。由第二幅圖中看出對(duì) 50Hz 和 200Hz 頻率成分的信號(hào)進(jìn)行了濾波， 濾除了 200dB 的信號(hào)，達(dá)到濾波的效果。 六 .心得 體會(huì) 第 10 頁 程序 仿真 過程 中，我 找到 了我 要設(shè) 計(jì) 的低 通濾 波器 的函數(shù)及 依據(jù) 。依據(jù)設(shè) 計(jì)的 濾波 器 的 wp,ws,Rp,Rs 四個(gè) 參數(shù) 來確 定輸 入信 號(hào)的 頻 率以實(shí)現(xiàn)過 濾的 目的 。實(shí) 驗(yàn)過 程中 我也 遇到 很 多問 題，但 是通 過 查找資料都得到 了解 決 。 通過 這 次課 程設(shè) 計(jì)學(xué) 習(xí)， 我們 掌握 了 matlab 的 仿真和設(shè)計(jì) ，對(duì) 低通

25、 濾波 器設(shè) 計(jì)原 理的 加深 了 解及 技術(shù) 指標(biāo) 的設(shè) 置。這 次課程設(shè) 計(jì)不 僅讓 我對(duì) 數(shù) 字信 號(hào)處 理這 門學(xué) 科的 理論 知識(shí) 加深 理 解，而且還讓 我對(duì) MATLAB 中 的 許多函 數(shù)的 運(yùn)用 更加 靈活 ，而 且還 增 強(qiáng)了我的解 決問 題的 能力 。 七、參考文獻(xiàn) [1] 《數(shù)字信號(hào)處理》（第三版）高西全 丁美玉 編著 西安電子科技大學(xué)出版社 [2] 《MATLAB 工具箱應(yīng)用》 蘇金明 張蓮花 劉波 編著 電子工業(yè)出版社 [3] 《數(shù)字信號(hào)處理的 MATLAB 實(shí)現(xiàn)》 萬永革 編著 科學(xué)出版社

26、 第 11 頁 第 12 頁