2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.1.2《橢圓的幾何性質(zhì)》教案(1)湘教版選修1-1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.1.2《橢圓的幾何性質(zhì)》教案(1)湘教版選修1-1 一、知識(shí)點(diǎn) 通過(guò)對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論,掌握橢圓的性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率),并能正確畫(huà)出橢圓的圖形。 二、能力訓(xùn)練點(diǎn) 結(jié)合對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的討論,掌握利用方程研究曲線的基本方法,加深對(duì)曲線與方程關(guān)系的理解,同時(shí)提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。 三、德育滲透點(diǎn) 由于通過(guò)方程研究曲線,以初中代數(shù)中數(shù)與式的知識(shí)為基礎(chǔ)研究幾何問(wèn)題,綜合運(yùn)用方程(組)理論,提高代數(shù)運(yùn)算能力,提高綜合分析能力,揭示透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的辯證唯物主義觀念。 四、美育滲透點(diǎn) 用美學(xué)的眼光審視數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)中處處閃耀著美的光彩,橢圓代數(shù)方程閃耀著數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約美、方程形式的對(duì)稱性顯現(xiàn)數(shù)學(xué)的對(duì)稱、均衡美.用數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約美去研究曲線幾何性質(zhì)的形象美,是學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的重要目標(biāo)。 五、學(xué)法指導(dǎo) 根據(jù)曲線的方程,研究曲線的幾何性質(zhì),并能正確畫(huà)出它的圖形,是解析幾何的基本問(wèn)題之一.根據(jù)曲線的條件列出方程,如果說(shuō)是解析幾何的手段,那么根據(jù)曲線的方程研究它的性質(zhì),畫(huà)圖就可以說(shuō)是解析幾何的目的,通過(guò)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的性質(zhì)這是第一次系統(tǒng)地用代數(shù)方法研究曲線。 研究橢圓的范圍,意在考察方程中x、y的取值范圍;討論橢圓的對(duì)稱性,應(yīng)明確初中學(xué)過(guò)的對(duì)稱概念和關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,然后說(shuō)明以-x代x,或以-y代y方程不變,則圖形關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱的道理;關(guān)于曲線的截距,相當(dāng)于求曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn);離心率的概念比較抽象,它是焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比值,它反映了橢圓的圓扁程度,這是圓錐曲線的重要性質(zhì)。 六、重點(diǎn)與難點(diǎn) 1、重點(diǎn):橢圓的幾何性質(zhì)及其運(yùn)用 2、難點(diǎn):通過(guò)方程研究曲線比較抽象,需要綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。 七、課時(shí)安排 五課時(shí) 第一課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 1、掌握橢圓的范圍、頂點(diǎn)、對(duì)稱性、離心率這四個(gè)幾何性質(zhì); 2、掌握標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c、e的幾何意義及其相互關(guān)系; 3、明確怎樣用代數(shù)的方法研究曲線的幾何性質(zhì)。 教學(xué)過(guò)程 1、情境設(shè)置 上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了求軌跡方程的一種方法――代入法(利用中間變量求點(diǎn)的軌跡),同學(xué)們回憶一下,求點(diǎn)的軌跡方程何時(shí)用代入法? 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)隨著另一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),而主動(dòng)點(diǎn)又在某一固定曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡方程用代入法。 代入法的關(guān)鍵是什么? 建立主動(dòng)點(diǎn)與被動(dòng)點(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系。 代入法的實(shí)質(zhì)是什么? 代入法的實(shí)質(zhì)就是將動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移到有規(guī)律的曲線上,進(jìn)而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。 研究橢圓方程就是想進(jìn)一步認(rèn)識(shí)橢圓的幾何性質(zhì)。 2、探索研究 ⑴研究曲線幾何特征有何幾何意義? 研究曲線的幾何性質(zhì)可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置。 怎樣來(lái)研究曲線的幾何特征呢? 通過(guò)對(duì)曲線方程的討論來(lái)研究曲線的幾何特征。 ⑵下面利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)來(lái)研究橢圓的性質(zhì)。 ①范圍: 由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2+y2/b2=1,兩個(gè)變量x、y互相依賴,由于兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于1,所以橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)適合不等式:x2/a2≤1, y2/b2≤1,即-a≤x≤a,-b≤y≤b,這說(shuō)明橢圓位于直線x=a,y=b所圍成的矩形內(nèi)。 換個(gè)角度看:如果將橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程變形為,則這個(gè)橢圓方程可以分成與兩個(gè)函數(shù)式,討論橢圓的范圍,就是討論這兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域。 ②對(duì)稱性 回憶點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸、y軸、坐標(biāo)原點(diǎn)、直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo);奇函數(shù)與偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性。 點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(a,-b);點(diǎn)P(a,b)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(-a,b);點(diǎn)P(a,b)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(-a,-b);點(diǎn)P(a,b)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(b, a);奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,即點(diǎn)(a,b)在函數(shù)的圖象上,那么點(diǎn)(―a,―b)也在函數(shù)的圖象上;偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,即點(diǎn)(a,b)在函數(shù)的圖象上,那么點(diǎn)(―a, b)也在函數(shù)的圖象上。 如果以-y代y方程不變,那么當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在曲線上,它關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q(x,-y)也在曲線上,所以曲線關(guān)于x軸對(duì)稱;同理,如果以-x代x方程不變,那么當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在曲線上,它關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q(-x,y)也在曲線上,所以曲線關(guān)于y軸對(duì)稱;如果同時(shí)以-y代y,以-x代x方程不變,那么當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在曲線上,它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q(-x,-y)也在曲線上,所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 我們來(lái)看橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,以-x代x,或以-y代y,或同時(shí)以-y代y,以-x代x方程是否改變? 沒(méi)有改變。 所以橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)都是對(duì)稱的,這時(shí)坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸;坐標(biāo)原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心。 注意:標(biāo)準(zhǔn)方程表示的橢圓,它的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸,對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn),那么能不能說(shuō)橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸,對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)呢?不能。 ③頂點(diǎn) 研究曲線上某些特殊點(diǎn)的位置,可以確定曲線的位置,要確定曲線在坐標(biāo)系中的位置,常常需要求出曲線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。同學(xué)們看一看,標(biāo)準(zhǔn)方程表示的橢圓與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是怎樣的? 在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2+y2/b2=1里,令x=0得y=b,所以橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)是(0,b)或(0,-b),同理令y=0得x=a,所以橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是(a,0)或(-a,0). ∵x軸、y軸是橢圓的對(duì)稱軸,∴橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn),即橢圓與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。 線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸與短軸。它們的長(zhǎng)分別是2a、2b,其中a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)。 觀察橢圓圖形,找出與a、b、c相等的線段? |OB1|=|OB2|=b,|B1F1|=|B1F2|=|B2F2|=|B2F1|=|OA1|=|OA2|=a,|OF1|=|OF2|=c。 a、b、c的幾何意義是什么?它們分別是長(zhǎng)半長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、半焦距。 ④離心率 橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比2c/2a=c/a=e。 橢圓離心率e的范圍是怎樣的? ∵a>c>0,∴0<e<1 觀察動(dòng)畫(huà),考察e的變化,對(duì)橢圓的影響? e越接近1,則c就越接近a,從而就越小,橢圓就越扁,反之,e越接近0,則c就越接近于0,從而b就越接近于a,橢圓就越接近于圓。 當(dāng)且僅當(dāng)c=0時(shí),a=b,此時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合,這時(shí)橢圓變成圓,方程為x2+y2=a2,因此圓可以看成橢圓的特例;橢圓可以看成是圓向同一方向均勻壓縮(拉長(zhǎng))得到的。 練習(xí):說(shuō)出橢圓y2/a2+x2/b2=1的范圍、頂點(diǎn)、對(duì)稱性、離心率。 3、反思應(yīng)用 例1 求橢圓16x2+25y2=400的長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo),并用描點(diǎn)法畫(huà)出它的圖形。 分析:將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解,列表只要在0≤x≤5的范圍內(nèi)算出幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),畫(huà)出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形然后利用對(duì)稱性作出整個(gè)圖形。 解:把已知方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2/52+y2/42=1,這里a=5,b=4,所以c=3。 因此長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=10,短軸長(zhǎng)2b=8,離心率e=c/a=3/5,焦點(diǎn)F1(-3,0)和F2(3,0),橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)是A1(-5,0)、A2(5,0)、B1(0,-4)、B2(0,4) x 0 1 2 3 4 5 y 4 3.9 3.7 3.2 2.4 0 將已知方程變形為,根據(jù)在0≤x≤5的范圍內(nèi)算出幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y): 先描點(diǎn)畫(huà)出橢圓的一部分,再利用橢圓的對(duì)稱性畫(huà)出整個(gè)橢圓。 例2 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ⑴經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-3,0)、Q(0,-2); ⑵長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于20,離心率3/5。 ⑴分析一:設(shè)方程為mx2+ny2=1,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程,求出m=1/9,n=1/4。 二:利用橢圓的幾何性質(zhì),以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn),于是焦點(diǎn)在x軸上,且點(diǎn)P、Q分別是橢圓長(zhǎng)軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn),故a=3,b=2,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/,9+y2/4=1。 ⑵由已知2a=20,e=3/5,∴a=10,c=6,b=8,由于焦點(diǎn)可能在x軸上,也可能在y軸上,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/100+y2/64=1或x2/64+y2/100=1 隨堂練習(xí) ⑴在下列方程所表示的曲線中,關(guān)于x軸、y軸都對(duì)稱的是( )D A、x2=y(tǒng) B、x2+2xy+y=0 C、x2-4y2=5x D、9x2+y2=4 ⑵求下列橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo) ①x2+4y2=16; 2a=8,2b=4,,A1(-4,0),A2(4,0),B1(0,-2),B2(0,2) ②9x2+y2=81 2a=18,2b=6,,A1(0,-9),A2(0,9),B1(-3,0),B2(3,0) ⑶在下列每組橢圓中,哪一個(gè)更接近于圓? ①9x2+y2=36與x2/16+y2/12=1; ②x2+9y2=36與x2/6+y2/10=1 ①x2/16+y2/12=1;②x2/6+y2/10=1 ⑷已知橢圓mx2+5y2=5m的離心率,求m的值。 分析:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2/5+y2/m=1(m>0,m≠5) 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上,即0<m<5時(shí),,解得m=3當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上,即m>5時(shí),,解得m=25/3 ⑸若橢圓的離心率是1/2,求m的值。m=-5/4,m=5/3 4、歸納總結(jié) 數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比的思想、特殊到一般 數(shù)學(xué)方法:圖象法、公式法、待定系數(shù)法、 知識(shí)點(diǎn):范圍、頂點(diǎn)、對(duì)稱性、離心率 5、作業(yè) 預(yù)習(xí): ⑴橢圓的第二定義是什么? ⑵什么叫做橢圓的準(zhǔn)線? ⑶對(duì)于一個(gè)確定的橢圓,它有幾條準(zhǔn)線? ⑷中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸的準(zhǔn)線方程是什么?中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸的準(zhǔn)線方程是什么?- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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