2019-2020年高中數(shù)學2.1.2《橢圓的幾何性質》教案(1)湘教版選修1-1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學2.1.2《橢圓的幾何性質》教案(1)湘教版選修1-1 一、知識點 通過對橢圓標準方程的討論,掌握橢圓的性質(范圍、對稱性、頂點、離心率),并能正確畫出橢圓的圖形。 二、能力訓練點 結合對橢圓幾何性質的討論,掌握利用方程研究曲線的基本方法,加深對曲線與方程關系的理解,同時提高分析問題、解決問題的能力。 三、德育滲透點 由于通過方程研究曲線,以初中代數(shù)中數(shù)與式的知識為基礎研究幾何問題,綜合運用方程(組)理論,提高代數(shù)運算能力,提高綜合分析能力,揭示透過現(xiàn)象看本質的辯證唯物主義觀念。 四、美育滲透點 用美學的眼光審視數(shù)學,數(shù)學中處處閃耀著美的光彩,橢圓代數(shù)方程閃耀著數(shù)學的簡約美、方程形式的對稱性顯現(xiàn)數(shù)學的對稱、均衡美.用數(shù)學的簡約美去研究曲線幾何性質的形象美,是學數(shù)學、用數(shù)學的重要目標。 五、學法指導 根據(jù)曲線的方程,研究曲線的幾何性質,并能正確畫出它的圖形,是解析幾何的基本問題之一.根據(jù)曲線的條件列出方程,如果說是解析幾何的手段,那么根據(jù)曲線的方程研究它的性質,畫圖就可以說是解析幾何的目的,通過橢圓的標準方程研究橢圓的性質這是第一次系統(tǒng)地用代數(shù)方法研究曲線。 研究橢圓的范圍,意在考察方程中x、y的取值范圍;討論橢圓的對稱性,應明確初中學過的對稱概念和關于x軸、y軸、原點對稱點坐標之間的關系,然后說明以-x代x,或以-y代y方程不變,則圖形關于x軸、y軸、原點對稱的道理;關于曲線的截距,相當于求曲線與坐標軸的交點;離心率的概念比較抽象,它是焦距與長軸長的比值,它反映了橢圓的圓扁程度,這是圓錐曲線的重要性質。 六、重點與難點 1、重點:橢圓的幾何性質及其運用 2、難點:通過方程研究曲線比較抽象,需要綜合運用數(shù)學知識。 七、課時安排 五課時 第一課時 教學目標 1、掌握橢圓的范圍、頂點、對稱性、離心率這四個幾何性質; 2、掌握標準方程中a、b、c、e的幾何意義及其相互關系; 3、明確怎樣用代數(shù)的方法研究曲線的幾何性質。 教學過程 1、情境設置 上節(jié)課我們學習了求軌跡方程的一種方法――代入法(利用中間變量求點的軌跡),同學們回憶一下,求點的軌跡方程何時用代入法? 當動點的運動隨著另一個點的運動而運動,而主動點又在某一固定曲線上運動時,求點的軌跡方程用代入法。 代入法的關鍵是什么? 建立主動點與被動點之間的坐標關系。 代入法的實質是什么? 代入法的實質就是將動點轉移到有規(guī)律的曲線上,進而求出動點的軌跡方程。 研究橢圓方程就是想進一步認識橢圓的幾何性質。 2、探索研究 ⑴研究曲線幾何特征有何幾何意義? 研究曲線的幾何性質可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置。 怎樣來研究曲線的幾何特征呢? 通過對曲線方程的討論來研究曲線的幾何特征。 ⑵下面利用橢圓的標準方程x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)來研究橢圓的性質。 ①范圍: 由橢圓的標準方程x2/a2+y2/b2=1,兩個變量x、y互相依賴,由于兩個非負數(shù)的和等于1,所以橢圓上的點的坐標(x,y)適合不等式:x2/a2≤1, y2/b2≤1,即-a≤x≤a,-b≤y≤b,這說明橢圓位于直線x=a,y=b所圍成的矩形內。 換個角度看:如果將橢圓的標準方程變形為,則這個橢圓方程可以分成與兩個函數(shù)式,討論橢圓的范圍,就是討論這兩個函數(shù)的定義域和值域。 ②對稱性 回憶點P(a,b)關于x軸、y軸、坐標原點、直線y=x的對稱點坐標;奇函數(shù)與偶函數(shù)圖象的對稱性。 點P(a,b)關于x軸的對稱點坐標是(a,-b);點P(a,b)關于y軸的對稱點坐標是(-a,b);點P(a,b)關于原點的對稱點坐標是(-a,-b);點P(a,b)關于直線y=x的對稱點坐標是(b, a);奇函數(shù)的圖象關于原點對稱,即點(a,b)在函數(shù)的圖象上,那么點(―a,―b)也在函數(shù)的圖象上;偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱,即點(a,b)在函數(shù)的圖象上,那么點(―a, b)也在函數(shù)的圖象上。 如果以-y代y方程不變,那么當點P(x,y)在曲線上,它關于y軸的對稱點Q(x,-y)也在曲線上,所以曲線關于x軸對稱;同理,如果以-x代x方程不變,那么當點P(x,y)在曲線上,它關于x軸的對稱點Q(-x,y)也在曲線上,所以曲線關于y軸對稱;如果同時以-y代y,以-x代x方程不變,那么當點P(x,y)在曲線上,它關于原點的對稱點Q(-x,-y)也在曲線上,所以曲線關于原點對稱。 我們來看橢圓的標準方程,以-x代x,或以-y代y,或同時以-y代y,以-x代x方程是否改變? 沒有改變。 所以橢圓關于x軸、y軸、原點都是對稱的,這時坐標軸是橢圓的對稱軸;坐標原點是橢圓的對稱中心。 注意:標準方程表示的橢圓,它的對稱軸是坐標軸,對稱中心是坐標原點,那么能不能說橢圓的對稱軸是坐標軸,對稱中心是坐標原點呢?不能。 ③頂點 研究曲線上某些特殊點的位置,可以確定曲線的位置,要確定曲線在坐標系中的位置,常常需要求出曲線與x軸、y軸的交點坐標。同學們看一看,標準方程表示的橢圓與x軸、y軸的交點坐標是怎樣的? 在橢圓的標準方程x2/a2+y2/b2=1里,令x=0得y=b,所以橢圓與y軸的兩個交點是(0,b)或(0,-b),同理令y=0得x=a,所以橢圓與x軸的兩個交點是(a,0)或(-a,0). ∵x軸、y軸是橢圓的對稱軸,∴橢圓與它的對稱軸的四個交點叫做橢圓的頂點,即橢圓與它的對稱軸的交點叫做橢圓的頂點。 線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸與短軸。它們的長分別是2a、2b,其中a和b分別叫做橢圓的長半長軸長與短半軸長。 觀察橢圓圖形,找出與a、b、c相等的線段? |OB1|=|OB2|=b,|B1F1|=|B1F2|=|B2F2|=|B2F1|=|OA1|=|OA2|=a,|OF1|=|OF2|=c。 a、b、c的幾何意義是什么?它們分別是長半長軸長、短半軸長、半焦距。 ④離心率 橢圓的焦距與長軸長的比2c/2a=c/a=e。 橢圓離心率e的范圍是怎樣的? ∵a>c>0,∴0<e<1 觀察動畫,考察e的變化,對橢圓的影響? e越接近1,則c就越接近a,從而就越小,橢圓就越扁,反之,e越接近0,則c就越接近于0,從而b就越接近于a,橢圓就越接近于圓。 當且僅當c=0時,a=b,此時兩個焦點重合,這時橢圓變成圓,方程為x2+y2=a2,因此圓可以看成橢圓的特例;橢圓可以看成是圓向同一方向均勻壓縮(拉長)得到的。 練習:說出橢圓y2/a2+x2/b2=1的范圍、頂點、對稱性、離心率。 3、反思應用 例1 求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸長、離心率、焦點和頂點坐標,并用描點法畫出它的圖形。 分析:將方程化為標準方程即可求解,列表只要在0≤x≤5的范圍內算出幾個點的坐標,畫出橢圓在第一象限內的圖形然后利用對稱性作出整個圖形。 解:把已知方程化為標準方程x2/52+y2/42=1,這里a=5,b=4,所以c=3。 因此長軸長2a=10,短軸長2b=8,離心率e=c/a=3/5,焦點F1(-3,0)和F2(3,0),橢圓的四個頂點是A1(-5,0)、A2(5,0)、B1(0,-4)、B2(0,4) x 0 1 2 3 4 5 y 4 3.9 3.7 3.2 2.4 0 將已知方程變形為,根據(jù)在0≤x≤5的范圍內算出幾個點的坐標(x,y): 先描點畫出橢圓的一部分,再利用橢圓的對稱性畫出整個橢圓。 例2 求適合下列條件的橢圓的標準方程 ⑴經(jīng)過點P(-3,0)、Q(0,-2); ⑵長軸長等于20,離心率3/5。 ⑴分析一:設方程為mx2+ny2=1,將點的坐標代入方程,求出m=1/9,n=1/4。 二:利用橢圓的幾何性質,以坐標軸為對稱軸的橢圓與坐標軸的交點就是橢圓的頂點,于是焦點在x軸上,且點P、Q分別是橢圓長軸與短軸的一個端點,故a=3,b=2,所以橢圓的標準方程為x2/,9+y2/4=1。 ⑵由已知2a=20,e=3/5,∴a=10,c=6,b=8,由于焦點可能在x軸上,也可能在y軸上,所以橢圓的標準方程為x2/100+y2/64=1或x2/64+y2/100=1 隨堂練習 ⑴在下列方程所表示的曲線中,關于x軸、y軸都對稱的是(?。〥 A、x2=y(tǒng) B、x2+2xy+y=0 C、x2-4y2=5x D、9x2+y2=4 ⑵求下列橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點坐標 ①x2+4y2=16; 2a=8,2b=4,,A1(-4,0),A2(4,0),B1(0,-2),B2(0,2) ②9x2+y2=81 2a=18,2b=6,,A1(0,-9),A2(0,9),B1(-3,0),B2(3,0) ⑶在下列每組橢圓中,哪一個更接近于圓? ①9x2+y2=36與x2/16+y2/12=1; ②x2+9y2=36與x2/6+y2/10=1 ①x2/16+y2/12=1;②x2/6+y2/10=1 ⑷已知橢圓mx2+5y2=5m的離心率,求m的值。 分析:橢圓的標準方程是x2/5+y2/m=1(m>0,m≠5) 當焦點在x軸上,即0<m<5時,,解得m=3當焦點在x軸上,即m>5時,,解得m=25/3 ⑸若橢圓的離心率是1/2,求m的值。m=-5/4,m=5/3 4、歸納總結 數(shù)學思想:數(shù)形結合、分類討論、類比的思想、特殊到一般 數(shù)學方法:圖象法、公式法、待定系數(shù)法、 知識點:范圍、頂點、對稱性、離心率 5、作業(yè) 預習: ⑴橢圓的第二定義是什么? ⑵什么叫做橢圓的準線? ⑶對于一個確定的橢圓,它有幾條準線? ⑷中心在原點,焦點在x軸的準線方程是什么?中心在原點,焦點在y軸的準線方程是什么?- 配套講稿:
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- 橢圓的幾何性質 2019 2020 年高 數(shù)學 2.1 橢圓 幾何 性質 教案 湘教版 選修
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