2021年 中考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專題突破訓(xùn)練：《圓綜合性壓軸題》（一）

2021年 中考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專題突破訓(xùn)練：圓綜合性壓軸題（一）1如圖1，ABC內(nèi)接于O，ACB60，D，E分別是，的中點(diǎn)，連結(jié)DE分別交AC，BC于點(diǎn)F，G（1）求證：DFCCGE；（2）若DF3，tanGCE，求FG的長(zhǎng)；（3）如圖2，連結(jié)AD，BE，若x，y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式2如圖，已知ABC，以BC為直徑的O交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連結(jié)CE交AB于點(diǎn)F，且AFAC（1）判斷直線AC與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若O的半徑為2，sinA，求CE的長(zhǎng)3如圖，在RtABC中，C90，點(diǎn)O在斜邊AB上，以O(shè)為圓心，OB為半徑作O，分別與BC、AB相交于點(diǎn)D、E，連接AD，已知CADB（1）求證：AD是O的切線；（2）若B30，AO，求的長(zhǎng)；（3）若AC2，BD3，求AE的長(zhǎng)4如圖1，CD是O的直徑，弦ABCD，垂足為點(diǎn)E，連結(jié)CA（1）若ACD30，求劣弧AB的度數(shù)；（2）如圖2，連結(jié)BO并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)G，BG交AC于點(diǎn)F，連結(jié)AG若tanCAE2，AE1，求AG的長(zhǎng)；設(shè)tanCAEx，y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式5如圖，O的半徑為5，弦BC6，A為BC所對(duì)優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)，ABC的外角平分線AP交O于點(diǎn)P，直線AP與直線BC交于點(diǎn)E（1）如圖1求證：點(diǎn)P為的中點(diǎn)；求sinBAC的值；（2）如圖2，若點(diǎn)A為的中點(diǎn)，求CE的長(zhǎng)；（3）若ABC為非銳角三角形，求PAAE的最大值6已知AB為O的直徑，C為O上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，BC，在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，連接CD，使CDCB（1）如圖1，若ACAD，求證：CD是O的切線；（2）如圖2，延長(zhǎng)DC交O于點(diǎn)E，連接AEi）若O的直徑為，sinB，求AD的長(zhǎng)；ii）若CD2CE，求cosB的值7已知ABC內(nèi)接于O，ABAC，ABC的平分線與O交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，連接CD并延長(zhǎng)與O過(guò)點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)F，記BAC（1）如圖1，若60；直接寫(xiě)出的值為 ；當(dāng)O的半徑為4時(shí)，直接寫(xiě)出圖中陰影部分的面積為 ；（2）如圖2若60，DE6，求DC的長(zhǎng)8定義：有一個(gè)內(nèi)角等于與其相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之差的四邊形稱為幸福四邊形（1）已知A120，B50，C，請(qǐng)直接寫(xiě)出一個(gè)的值 ，使四邊形ABCD為幸福四邊形；（2）如圖1，ABC中，D、E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，AEDE求證：四邊形DBCE為幸福四邊形；（3）在（2）的條件下，如圖2，過(guò)D，E，C三點(diǎn)作O，與邊AB交于另一點(diǎn)F，與邊BC交于點(diǎn)G，且BFFC求證：EG是O的直徑；連結(jié)FG，若AE1，BG7，BGFB45，求EG的長(zhǎng)和幸福四邊形DBCE的周長(zhǎng)9如圖，AB和CD為O的直徑，ABCD，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，CECA，延長(zhǎng)AE交O于點(diǎn)F，連接CF交AB于點(diǎn)G（1）求證：CE2AEAF；（2）求證：ACF3BAF；（3）若FG2，求AE的長(zhǎng)10如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)C為O上一點(diǎn)，點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD，作CEAB于點(diǎn)E，OCED（1）求證：CD是O的切線；（2）點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，連接OF交CE于點(diǎn)G，G為OF中點(diǎn)，求證：OC2CDCF；（3）在（2）的條件下，CFDF，若OC2，求CG參考答案1解：（1）點(diǎn)D是的中點(diǎn)，ACDCED，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，CDEBCG，DFCCGE；（2）由（1）知，ACDCED，CDEBCG，ACD+CDECED+BCG，CFGCGF，CFCG，ACB60，CFG是等邊三角形，如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CHFG于H，DHC90，設(shè)FHa，F(xiàn)CH30，F(xiàn)GCF2a，CHa，DF3，DHDF+FH3+a，GCECDE，tanGCE，tanCDE，在RtCHD中，tanCDE，a1，F(xiàn)G2a2；（3）如圖2，連接AE，則AEBACB60，DAECAD+CAEACD+CDFCFG60，AEBDAE，BEAD，設(shè)BE與AD的距離為h，SABESADE，D，E分別是，的中點(diǎn)，CDAD，BECE，SABESADE，過(guò)點(diǎn)D作DMAC于M，ADCD，AC2CM，由（2）知，CFG是等邊三角形，CFG60，DFM60，MDF30，設(shè)MFm，則DMm，DF2m，x，CFxDF2mx，CGCF2mx，由（1）知，DFCCGE，SABESADESADE，S四邊形ABEDSADE+SABESADE，MFm，CFxDF2mx，CMMF+CFm+2mx（2x+1）m，AC2CM2（2x+1）m，AFACCF2（2x+1）m2mx2（x+1）m，過(guò)點(diǎn)A作ANDF于N，SADFAFDMDFAN，AN（x+1）m，過(guò)點(diǎn)C作CPFG，由（2）知，PFCFmx，CPmx，y2（1）AC與O相切，證明：連接BE，BC是O的直徑，E90，EBD+BFE90，AFAC，ACEAFC，E為弧BD中點(diǎn)，EBDBCE，ACE+BCE90，ACBC，BC為直徑，AC是O的切線（2）解：O的半為2BC4，在RtABC中，sinA，AB5，AC3，AFAC，AF3，BF532，EBDBCE，EE，BEFCEB，EC2EB，設(shè)EBx，EC2x，由勾股定理得：x2+4x216，x（負(fù)數(shù)舍去），即CE3解：（1）如圖1，連接OD，ACB90，CAD+ADC90，OBOD，BODB，CADB，CADODB，ODB+ADC90，ADO90，又OD是半徑，AD是O的切線；（2）B30，ACB90，CAD30，CAB60，DAB30，ODAO，OD，ODOB，B30，BODB30，DOB120，劣弧BD的長(zhǎng)；（3）如圖2，連接DE，BE是直徑，BDE90，ACBEDB90，ACDE，BCAD，ACDEDB，ACDBDE，設(shè)CD2x，DE3x，ACDE，x，CD1，BCBD+CD4，AB2，DEAC，AE24解：（1）如圖1，連接OA，OB，CD是O的直徑，弦ABCD，AODBOD，ACD30，AOD60，AOB120，劣弧AB的度數(shù)是120；（2）CDAB，AEBE1，AEC90，在RtAEC中，tanCAE2，CE2，設(shè)OEx，則OC2xOB，在RtOEB中，由勾股定理得：OB2OE2+BE2，即（2x）2x2+1，解得：x，OE，OGOB，AEBE，OE是AGB的中位線，AG2OE；BG是O的直徑，BAG90，BAGBEO90，OCAG，CGAC，GFAOFC，GAFOCF，且GF+BF2OG，OGGF，OFOGGF，OF，如圖3，連接OA，OAOC，AG2OE，tanCAEx，CExAEOA+OE，AE，RtAOE中，OA2OE2+AE2，OA2OE2+（）2，即OA2OE2+（OA2+2OAOE+OE2），兩邊同時(shí)除以O(shè)A2，得：1（）2+（+1）2，設(shè)a，則原方程變形為：a2+（a2+2a+1）10，（1+）a2+10，（a+1）（1+）a+（1）0，a11（舍），a2，y5（1）證明：如圖1，連接PC，A、P、B、C四點(diǎn)內(nèi)接于O，PAFPBC，AP平分BAF，PAFBAP，BAPPCB，PCBPBC，PBPC，點(diǎn)P為的中點(diǎn)；解：如圖2，過(guò)P作PGBC于G，交BC于G，交O于H，連接OB，PH是直徑，BPCBAC，BOGBPGBPC，OGBC，BGBC3，RtBOG中，OB5，sinBACsinBOG；（2）解：如圖3，過(guò)P作PGBC于G，連接OC，由（1）知：PG過(guò)圓心O，且CG3，OCOP5，OG4，PG4+59，PC3，設(shè)APCx，A是的中點(diǎn)，ABCABPx，PBPC，PCBPBC2x，PCE中，PCBCPE+E，E2xxxCPE，CEPC3；（3）解：如圖4，過(guò)點(diǎn)C作CQAB于Q，ACEP，CAEPAFPAB，ACEAPB，PAAEACAB，sinBAC，CQACsinBACAC，SABCABCQ，PAAESABC，ABC為非銳角三角形，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到使ABC為直角三角形時(shí)，如圖5，ABC的面積最大，RtABC中，AB10，BC6，AC8，此時(shí)PAAE806（1）證明：連接OC，CDBC，BD，ACAD，DACD，BACD，OAOC，BACOCA，AB為O的直徑，ACB90，B+BAC90，ACD+OCA90，DCO90，OCCD，CD是O的切線；解：（2）i）連接OC，ACB90，AB，sinB，在RtACB中，ACABsinB，AC1，在RtACB中，BC3，OBCO，OCBB，BD，OCBD，CBODBC，COBDCB，CB2OBBD，AB，OAOB，BD32，ADBDAB；ii）連接CO，CD2CE，設(shè)CEk，CDBC2k，DE3k，EB，OCBBD，DAECOB，設(shè)O的半徑為r，ADr，BDAD+ABr+2rr，COBDCB，BC2OBBD，（2k）2rr，kr，BC2kr，cosB7解：（1）如圖1，連接OA，AD，AF是O的切線，OAF90，ABAC，BAC60，ABC是等邊三角形，ABCACBBAC60，BD平分ABC，ABDCBD30，ADBACB60，BAD90，BD是O的直徑，OAOBOD，ABOOAB30，OADADO60，BDCBAC60，ADF180606060OAD，OADF，F(xiàn)180OAF90，DAF30，tan30，故答案為：；O的半徑為4，ADOA4，DFAD2，AOD60，陰影部分的面積為：S梯形AODFS扇形OADAF（DF+OA）（2+4）6；故答案為：6；（2）如圖2，連接AD，連接AO并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)H，連接DH，則ADH90，DAH+DHA90，AF與O相切，DAH+DAFFAO90，DAFDHA，BD平分ABC，ABDCBD，CADDHADAF，ABAC，ABCACB，四邊形ABCD內(nèi)接于O，ABC+ADC180，ADF+ADC180，ADFABC，ADBACBABC，ADFADB，在ADF和ADE中，ADFADE（ASA），DFDE6，DC98（1）解：A120，B50，C，D36012050190，若ABD，則12050（190），解得：260（舍），若ADB，則120（190）50，解得：a20，若BAC，則50120，解得：70，若BCA，則50120，解得：170，若CBD，則50（190），無(wú)解，若CDB，則（190）50，解得：70，若DAC，則190120，無(wú)解，若DCA，則190120，解得：155，綜上，的值是20或70或170或155（寫(xiě)一個(gè)即可），故答案為：20或70或170或155（寫(xiě)一個(gè)即可）；（2）證明：如圖1，設(shè)Ax，Cy，則B180xy，AEDE，ADEAx，BDE180x，在四邊形DBCE中，B180xyBDEC，四邊形DBCE為幸福四邊形；（3）證明：如圖2，D、F、G、E四點(diǎn)都在O上，ADEFGE，ADEA，F(xiàn)GEA，F(xiàn)GEACF，AACF，BFCF，BBCF，A+B+BCA180，ACF+BCF90，即ACB90，EG是O的直徑；如圖3，過(guò)E作EHAB于H，連接DG，BFCF，BBCFBDG，BGDG7，EG是O的直徑，GDE90，DEAE1，EG5，BGFB45，BGFBCFCFG，CFGCEG45，ECG是等腰直角三角形，CECG5，BC7+512，AC5+16，AB6，AHEACB90，AA，AHEACB，即，AH，AEDE，EHAD，AD2AH，幸福四邊形DBCE的周長(zhǎng)BD+ED+CE+BC6+1+5+1218+9解：（1）AB和CD為O的直徑，ABCD，ACEAFC，CAEFAC，ACEAFC，AC2AEAF，ACCE，CE2AEAF；（2）ABCD，AOC90，OAOC，ACEOAC45，AFCAOC45，ACCE，CAEAEC（180ACO）67.5，BAFCAFOAC22.5，AECAFC+DAF45+DCF67.5，DCF22.5，ACFOCA+DAF67.5322.53BAF；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)G作GHCF交AF于H，F(xiàn)GH90，AFC45，F(xiàn)HG45，HGFG2，F(xiàn)H2，BAF22.5，F(xiàn)HG45，AGHFHGBAF22.5BAF，AHHG2，AFAH+FH2+2，由（2）知，OAEOCG，AOECOG90，OAOC，AOECOG（SAS），OEOG，AEOCGO，OEFOGF，連接EG，OEOG，OEGOGE45，F(xiàn)EGFGE，EFFG2，AEAFEF2+22210證明：（1）CEAB，D+DCE90，OCED，OCE+DCE90，OCD90，又OC是半徑，CD是O的切線；（2）OCF90，G為OF中點(diǎn)，CGGFOF，GCFGFC，D+COD90D+DCE，DCECOECFG，又OCFOCD90，OCFDCO，OC2CFCD；（3）CFDF，CD2CF，OC2CFCD，4CF2CF，CF，OF，CG32 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