2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形第七節(jié) 解三角形的應(yīng)用舉例練習(xí).doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形第七節(jié) 解三角形的應(yīng)用舉例練習(xí) 一、選擇題(65分＝30分) 1．在200米高的山頂上，測得山下一塔頂和塔底俯角分別為30，60，則塔高為(　　) A.米 B.米 C.米 D.米 解析：如圖，BE＝AC＝DCtan(90－60)＝， ∴DE＝ ＝＝. ∴塔高AB＝200－＝(米)． 答案：A 2．如圖，為了測量隧道AB的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)無法求出AB長度的是(　　) A．α，a，b B．α，β，a C．a(chǎn)，b，γ D．α，β，γ 解析：利用余弦定理，可由a，b，γ或α，a，b求出AB； 利用正弦定理，可由a，α，β求出AB. 當(dāng)只知α、β、γ時，無法計算AB. 答案：D 3．(xx天星教育)一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿東偏南50方向直線航行，30分鐘后到達B處．在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南20，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B、C兩點間的距離是(　　) A．10 海里 B．10 海里 C．20 海里 D．20 海里 解析：如圖，由已知可得， ∠BAC＝30，∠ABC＝105， AB＝20，從而∠ACB＝45. 在△ABC中，由正弦定理， 得BC＝sin30＝10.故選A. 答案：A 4．如圖，一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15，與燈塔相距20海里，隨后貨輪按北偏西30的方向航行30分鐘后，又測得它在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為(　　) A．20(＋)海里/小時 B．20(－)海里/小時 C．20(＋)海里/小時 D．20(－)海里/小時 解析：由題意知 ∠NMS＝15＋30＝45， ∠MNS＝60＋45＝105， 由正弦定理得 ＝， ∴MN＝＝＝10(－)， ∴貨輪的速度為＝20(－)(海里/小時)． 答案：B 5．(xx泰州模擬)如圖，在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為θ，沿BE方向前進30米至C處測得頂端A的仰角為2θ，再繼續(xù)前進10米至D處，測得頂端A的仰角為4θ，則θ的值為(　　) A．15 B．10 C．5 D．20 解析：由條件知△ADC中， ∠ACD＝2θ，∠ADC＝180－4θ， AC＝BC＝30，AD＝CD＝10， 則由正弦定理得 ＝，∴＝， ∴cos2θ＝.∵2θ為銳角，∴2θ＝30，∴θ＝15. 答案：A 6．甲船在島B的正南A處，AB＝10 km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，乙船自B島出發(fā)以6 km/h的速度向北偏東60的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時，它們航行的時間是(　　) A. min B. h C．21.5 min D．2.15 h 解析：如圖，設(shè)航行t小時后，兩船相距y km.則 y2＝ ＝ ＝28t2－20t＋100(t>0)， ∴當(dāng)t＝－小時＝小時＝分鐘時兩船相距最近． 答案：A 二、填空題(35分＝15分) 7．(xx濟寧模擬)如圖，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30，與O相距10海里的C處，現(xiàn)甲船以30海里/小時的速度沿直線CB去營救位于中心O正東方向20海里的B處的乙船，甲船需要____小時到達B處． 解析：由題意，對于CB的長度， 由余弦定理，得 CB2＝CO2＋OB2－2COOBcos120 ＝100＋400＋200＝700. ∴CB＝10，∴甲船所需時間為＝(小時)． 答案： 8．(xx吉林模擬)地上畫了一個角∠BDA＝60，某人從角的頂點D出發(fā)，沿角的一邊DA行走10米后，拐彎往另一方向行走14米正好到達∠BDA的另一邊BD上的一點，我們將該點記為點B，則B與D之間的距離為________米． 解析：如圖，設(shè)BD＝x cm， 則142＝102＋x2－210xcos60， ∴x2－10x－96＝0， ∴(x－16)(x＋6)＝0， ∴x＝16或x＝－6(舍)． 答案：16 9．(xx遼源模擬)在△ABC中，BC＝1，∠B＝，當(dāng)△ABC的面積等于時，tanC＝________. 解析：S△ABC＝acsinB＝，∴c＝4. 由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accosB＝13， ∴cosC＝＝－，sinC＝， ∴tanC＝－＝－2. 答案：－2 三、解答題(共37分) 10．(12分)(xx海南，寧夏高考)為了測量兩山頂M、N間的距離，飛機沿水平方向在A、B兩點進行測量，A、B、M、N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如示意圖)．飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B間的距離，請設(shè)計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；②用文字和公式寫出計算M、N間的距離的步驟． 解析：方案一：①需要測量的數(shù)據(jù)有：A點到M、N點的俯角α1、β1；B點到M、N點的俯角α2、β2；A、B的距離d(如圖所示)． ②第一步：計算AM.由正弦定理AM＝； 第二步：計算AN.由正弦定理AN＝； 第三步：計算MN.由余弦定理 MN＝ 方案二：①需要測量的數(shù)據(jù)有：A點到M、N點的俯角α1、β1；B點到M、N點的俯角α2、β2；A、B的距離d(如圖所示)． ②第一步：計算BM.由正弦定理BM＝； 第二步：計算BN.由正弦定理BN＝； 第三步：計算MN.由余弦定理 MN＝. 11．(12分)(xx福州模擬)如圖所示，扇形AOB，圓心角AOB等于60，半徑為2，在弧AB上有一動點P，過P引平行于OB的直線和OA交于點C，設(shè)∠AOP＝θ，求△POC面積的最大值及此時θ的值． 解析：∵CP∥OB， ∴∠CPO＝∠POB＝60－θ，∠OCP＝120. 在△POC中，由正弦定理得＝， ∴＝，∴CP＝sinθ. 又＝， ∴OC＝sin(60－θ)． 因此△POC的面積為 S(θ)＝CPOCsin120 ＝sinθsin(60－θ) ＝sinθsin(60－θ)＝sinθ(cosθ－sinθ) ＝2sinθcosθ－sin2θ＝sin2θ＋cos2θ－ ＝sin(2θ＋)－ ∴θ＝時，S(θ)取得最大值為. 12．(13分)(xx大連模擬)如圖，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路a經(jīng)過三個景點A、B、C.景區(qū)管委會又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點D.經(jīng)測量景點D位于景點A的北偏東30方向上8 km處，位于景點B的正北方向，還位于景點C的北偏西75方向上，已知AB＝5 km. (1)景區(qū)管委會準(zhǔn)備由景點D向景點B修建一條筆直的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長； (2)求景點C和景點D之間的距離． 解析：(1)在△ABD中，∠ADB＝30， AD＝8 km，AB＝5 km，設(shè)DB＝x km， 則由余弦定理得52＝82＋x2－28xcos30， 即x2－8x＋39＝0，解得x＝43. ∵4＋3>8，舍去，∴x＝4－3， ∴這條公路長為(4－3)km. (2)在△ADB中，＝， ∴sin∠DAB＝ ＝＝，∴cos∠DAB＝. 在△ACD中，∠ADC＝30＋75＝105， ∴sin∠ACD＝sin[180－(∠DAC＋105)] ＝sin(∠DAC＋105) ＝sin∠DACcos105＋cos∠DACsin105 ＝＋＝. ∴在△ACD中，＝， ∴＝，∴CD＝(km)．