2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 課時分層作業(yè) 四十八 8.4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 文.doc

2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 課時分層作業(yè) 四十八 8.4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 文一、選擇題(每小題5分,共25分)1.若過點(diǎn)A(4,0)的直線l與曲線(x-2)2+y2=1有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍為()A.(-,)B.-,C.D.【解析】選D.設(shè)直線l方程為y=k(x-4),則由題意知,1,所以-k.2.設(shè)圓M的方程為(x-3)2+(y-2)2=2,直線L的方程為x+y-3=0,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1),那么 ()A.點(diǎn)P在直線L上,但不在圓M上B.點(diǎn)P在圓M上,但不在直線L上C.點(diǎn)P既在圓M上,又在直線L上D.點(diǎn)P既不在圓M上,也不在直線L上【解析】選C.因?yàn)榘腰c(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線L方程,得2+1-3=0,所以點(diǎn)P在直線上,把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓M的方程,得(2-3)2+(1-2)2=2,所以點(diǎn)P在圓M上.所以點(diǎn)P既在圓M上,又在直線L上.【變式備選】直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為()A.相切B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心D.相離【解析】選B.圓心為(0,0),到直線y=x+1即x-y+1=0的距離d=,而0<<1,但是圓心不在直線y=x+1上,所以直線與圓相交,但直線不過圓心.3.已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4,則實(shí)數(shù)a的值是()A.-2B.-4C.-6D.-8【解析】選B.因?yàn)閳A心(-1,1)到直線x+y+2=0的距離為=,又截得的弦長為4,所以圓的半徑為r=,所以2-a=6,所以a=-4.【變式備選】設(shè)A,B為直線y=x與圓x2+y2=1的兩個交點(diǎn),則|AB|=()A.1B.C.D.2【解析】選D.直線y=x過圓x2+y2=1的圓心C(0,0),則|AB|=2.4.已知圓C的半徑為2,圓心在x軸的正半軸上,直線3x+4y+4=0與圓C相切,則圓C的方程為()A.x2+y2-2x-3=0B.x2+y2+4x=0 C.x2+y2+2x-3=0D.x2+y2-4x=0 【解析】選D.由已知可設(shè)圓心為(a,0)(a>0),因?yàn)橹本€3x+4y+4=0與圓C相切,所以=2,解得a=2,所以圓的方程為(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.【變式備選】直線l:y=kx+1與圓O:x2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),則“k=1”是“OAB的面積為”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.如圖,當(dāng)k=1時,OAB的面積為,但是當(dāng)k=-1時,OAB的面積也為,所以“k=1”是“OAB的面積為”的充分不必要條件.5.直線l與圓x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B兩點(diǎn),若弦AB的中點(diǎn)為(-2,3),則直線l的方程為()A.x+y-3=0B.x+y-1=0C.x-y+5=0D.x-y-5=0【解析】選C.設(shè)直線的斜率為k,又弦AB的中點(diǎn)為(-2,3),所以直線l的方程為kx-y+2k+3=0,由x2+y2+2x-4y+a=0得圓的圓心坐標(biāo)為(-1,2),所以圓心到直線的距離為,所以=,解得k=1,所以直線l的方程為x-y+5=0.【變式備選】過點(diǎn)(-4,0)作直線l與圓x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=8,則直線l的方程為()A.5x+12y+20=0B.5x+12y+20=0或x+4=0C.5x-12y+20=0D.5x-12y+20=0或x+4=0【解析】選B.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2=25,由|AB|=8知,圓心(-1,2)到直線l的距離d=3.當(dāng)直線l的斜率不存在,即直線l的方程為x=-4時,符合題意.當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=k(x+4),即kx-y+4k=0,則有=3,所以k=-.此時直線l的方程為5x+12y+20=0.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知AC,BD為圓O:x2+y2=4的兩條相互垂直的弦,垂足為M(1,),則四邊形ABCD的面積的最大值為_.【解析】設(shè)圓心O到AC,BD的距離分別為d1,d2,則+=OM2=3.四邊形ABCD的面積是S = |AC|BD| = 28-(+)=5.答案:57.直線l1:y=x+a和l2:y=x+b將單位圓C:x2+y2=1分成長度相等的四段弧,則a2+b2=_.【解析】由題設(shè)可知圓心到直線的距離為=,所以a2+b2=2.答案:28.過原點(diǎn)O作圓x2+y2-6x-8y+20=0的兩條切線,設(shè)切點(diǎn)分別為P,Q,則線段PQ的長為_.【解析】由已知得圓的方程是(x-3)2+(y-4)2=5,如圖,又由圓的切線性質(zhì)得|CP|=,|CO|=5,得|PO|=2,因?yàn)镻QCO,所以|PA|OC|=|CP|OP|,所以|PA|=2,所以|PQ|=4.答案:4【變式備選】直線l1和l2是圓x2+y2=2的兩條切線.若l1與l2的交點(diǎn)為(1,3),則l1與l2的夾角的正切值等于_.【解析】如圖,設(shè)A,B是切點(diǎn),所以l1與l2的夾角的正切值為tan 2APO=.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知點(diǎn)A(1,a),圓x2+y2=4.(1)若過點(diǎn)A的圓的切線只有一條,求a的值及切線方程.(2)若過點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線被圓截得的弦長為2,求a的值.【解析】(1)由于過點(diǎn)A的圓的切線只有一條,則點(diǎn)A在圓上,故12+a2=4,所以a=.當(dāng)a=時,A(1,),易知所求切線方程為x+y-4=0;當(dāng)a=-時,A(1,-),易知所求切線方程為x-y-4=0.(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線方程為x+y=b,則1+a=b,即a=b-1,又圓心(0,0)到直線x+y=b的距離d=,所以+=4,則b=,因此a=b-1=-1.10.已知定點(diǎn)M(0,2),N(-2,0),直線l:kx-y-2k+2=0(k為常數(shù)).(1)若點(diǎn)M,N到直線l的距離相等,求實(shí)數(shù)k的值.(2)對于l上任意一點(diǎn)P,MPN恒為銳角或零角,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)M,N到直線l的距離相等,所以lMN或l過MN的中點(diǎn).因?yàn)镸(0,2),N(-2,0),所以直線MN的斜率kMN=1,MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為C(-1,1).又因?yàn)橹本€l:kx-y-2k+2=0過定點(diǎn)D(2,2),所以當(dāng)lMN時,k=kMN=1;l過MN的中點(diǎn)時,k=.綜上可知,k的值為1或.(2)因?yàn)閷τ趌上任意一點(diǎn)P,MPN恒為銳角,所以l與以MN為直徑的圓相離,即圓心(-1,1)到直線l的距離大于半徑,所以d=>,解得k<-或k>1.1.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線3x+4y-5=0與圓x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn),則弦AB的長等于()A.3B.2C.D.1【解析】選B.圓心(0,0)到直線3x+4y-5=0的距離為d=1,所以弦AB的長等于2=2.【變式備選】過原點(diǎn)且傾斜角為60的直線被圓x2+y2-4y=0所截得的弦長為()A.B.2C.D.2【解析】選D.x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4,所以A(0,2),OA=2,A到直線ON的距離是1,所以O(shè)N=,所以弦長為2.2.(5分)若圓(x-3)2+(y+5)2=r2(r>0)上有且僅有兩個點(diǎn)到直線4x-3y-2=0的距離為1,則半徑長r的取值范圍是()A.(4,6)B.4,6)C.(4,6D.4,6【解析】選A.因?yàn)閳A心(3,-5)到直線的距離為d=5,所以滿足題意的半徑r的取值范圍是(4,6).3.(5分)在圓x2+y2-2x-6y=0內(nèi),過點(diǎn)E(0,1)的最長弦和最短弦分別是AC和BD,則四邊形ABCD的面積為()A.5B.10C.15D.20【解析】選B.圓x2+y2-2x-6y=0的圓心為M(1,3),半徑為,因?yàn)檫^點(diǎn)E(0,1)的最長弦AC為圓的直徑,所以|AC|=2,最短的弦BD垂直于AC,且E為BD的中點(diǎn),如圖,|ME|=,|MB|=,所以|BE|=,所以弦長|BD|=2,所以四邊形ABCD的面積為|AC|BD|=22=10.【變式備選】已知圓M:(x+cos )2+(y-sin )2=1,直線l:y=kx,下面四個命題:對任意實(shí)數(shù)k與,直線l和圓M相切;對任意實(shí)數(shù)k與,直線l和圓M有公共點(diǎn);對任意實(shí)數(shù),必存在實(shí)數(shù)k,使得直線l與圓M相切;對任意實(shí)數(shù)k,必存在實(shí)數(shù),使得直線l與圓M相切.其中真命題的序號是_.【解析】圓心坐標(biāo)為(-cos ,sin ),d=|sin(+)|1.正確.答案:4.(12分)已知半徑為5的動圓C的圓心在直線l:x-y+10=0上.(1)若動圓C過點(diǎn)(-5,0),求圓C的方程.(2)是否存在正實(shí)數(shù)r,使得動圓C滿足與圓O:x2+y2=r2相外切的圓有且僅有一個?若存在,請求出r;若不存在,請說明理由.【解析】(1)依題意可設(shè)動圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=25,其中(a,b)滿足a-b+10=0.又因?yàn)閯訄AC過點(diǎn)(-5,0),故(-5-a)2+(0-b)2=25.解方程組得或故所求圓C的方程為(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.(2)圓O的圓心(0,0)到直線l的距離d=5.當(dāng)r滿足r+5<d時,動圓C中不存在與圓O:x2+y2=r2相切的圓;當(dāng)r滿足r+5=d,即r=5-5時,動圓C中有且僅有1個圓與圓O:x2+y2=r2相外切;當(dāng)r滿足r+5>d,即r>5-5時,與圓O:x2+y2=r2相外切的圓有兩個.綜上,當(dāng)r=5-5時,動圓C中滿足與圓O:x2+y2=r2相外切的圓有且僅有一個.5.(13分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線l:y=2x-4,設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.(1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點(diǎn)A作圓C的切線,求切線的方程.(2)若圓C上存在點(diǎn)M,使|MA|=2|MO|,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.【解析】(1)由 得圓心C為(3,2),因?yàn)閳AC的半徑為 1,所以圓C的方程為:(x-3)2+(y-2)2=1,顯然切線的斜率一定存在,設(shè)所求圓C的切線方程為y=kx+3,即kx-y+3=0,所以=1,所以|3k+1|=,所以2k(4k+3)=0,所以k=0或k=-,所以所求圓C的切線方程為:y=3或y=-x+3,即y=3或3x+4y-12=0.(2)因?yàn)閳AC的圓心在直線l:y=2x-4上,所以,設(shè)圓心C為(a,2a-4) ,則圓C的方程為:(x-a)2+y-(2a-4)2=1,又因?yàn)閨MA|=2|MO|,所以設(shè)M為(x,y),則=2,整理得:x2+(y+1)2=4,設(shè)為圓D,所以點(diǎn)M應(yīng)該既在圓C上又在圓D上,即:圓C和圓D有交點(diǎn), 所以|2-1|2+1|,由5a2-12a+80得aR,由5a2-12a0得0a, 綜上所述,a的取值范圍為.