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2019-2020年高中數(shù)學《1.1.1 正弦定理》評估訓練 新人教A版必修5
1．在△ABC中，若a＝5，b＝3，C＝120，則sin A∶sin B的值是 ( )．
A. B. C. D.
解析 在△ABC中，C＝120，故A，B都是銳角．據(jù)正弦定理＝＝.
答案 A
2．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝c＝＋，且角A＝75，則
b＝ ( )．
A．2 B．4＋2
C．4－2 D.－
解析 如圖所示．
在△ABC中，由正弦定理得
＝＝＝4.∴b＝2.
3．在△ABC中，若sin A>sin B，則角A與角B的大小關系為 ( )．
A．A>B B．A
sin B?2Rsin A>2Rsin B(R為△ABC外接圓的半徑)?a>b?A>B.
答案 A
4．在△ABC中，若AC＝，BC＝2，B＝60，則C＝________.
解析 由正弦定理得＝，
∴sin A＝.
∵BC＝2b，有一解．
答案 ④
6．在△ABC中，若＝＝，試判斷三角形的形狀．
解 由正弦定理知＝＝，
∴sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝.
又∵>1，∴B>A，∴△ABC為直角三角形．
綜合提高 (限時25分鐘
7．在△ABC中，若＝＝，則△ABC中最長的邊是 ( )．
A．a(chǎn) B．b C．c D．b或c
解析 由正弦定理知sin B＝cos B，sin C＝cos C，∴B＝C＝45，∴A＝90，故選A.
答案 A
8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)，若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，則角A，B的大小為 ( )．
A.， B.，
C.， D.，
解析 ∵m⊥n，∴cos A－sin A＝0，
∴tan A＝，∴A＝，
由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝sin2C，
∴sin(A＋B)＝sin2C，即sin C＝1，∴C＝，B＝.
答案 C
9．在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，則
＝________.
解析 由已知A＝30，B＝60，C＝90，＝2.
∴＝＝＝＝2.
答案 2
10．在△ABC中，已知a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，若b＝2a，B＝A＋60，則A＝________.
解析 ∵b＝2a，∴sin B＝2sin A，又∵B＝A＋60，
∴sin(A＋60)＝2sin A
即sin Acos 60＋cos Asin 60＝2sin A，
化簡得：sin A＝cos A，∴tan A＝，∴A＝30.
答案 30
11．已知方程x2－(bcos A)x＋acos B＝0的兩根之積等于兩根之和，且a、b為△ABC的兩邊，A、B為兩內角，試判定這個三角形的形狀．
解：設方程的兩根為x1、x2，
由根與系數(shù)的關系，得
∴bcos A＝acos B.
由正弦定理得：sin Bcos A＝sin Acos B
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，
sin(A－B)＝0.
∵A、B為△ABC的內角，
∴0＜A＜π，0＜B＜π，－π＜A－B＜π.
∴A－B＝0，即A＝B.
故△ABC為等腰三角形．
12．(創(chuàng)新拓展)在△ABC中，已知＝，且cos(A－B)＋cos C＝1－cos 2C.
(1)試確定△ABC的形狀；
(2)求的取值范圍．
解 (1)在△ABC中，設其外接圓半徑為R，根據(jù)正弦定理得
sin A＝，sin B＝，
代入＝，得：＝，
∴b2－a2＝ab.①
∵cos(A－B)＋cos C＝1－cos 2C，
∴cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C，
∴sin Asin B＝sin2C.
由正弦定理，得＝2，
∴ab＝c2.②
把②代入①得，b2－a2＝c2，
即a2＋c2＝b2.
∴△ABC是直角三角形．
(2)由(1)知B＝，∴A＋C＝，
∴C＝－A.
∴sin C＝sin＝cos A.
根據(jù)正弦定理，＝
＝sin A＋cos A＝sin.
∵0
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