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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《1.1.1 正弦定理》評估訓(xùn)練 新人教A版必修5
1.在△ABC中,若a=5,b=3,C=120,則sin A∶sin B的值是 ( ).
A. B. C. D.
解析 在△ABC中,C=120,故A,B都是銳角.據(jù)正弦定理==.
答案 A
2.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=c=+,且角A=75,則
b= ( ).
A.2 B.4+2
C.4-2 D.-
解析 如圖所示.
在△ABC中,由正弦定理得
===4.∴b=2.
3.在△ABC中,若sin A>sin B,則角A與角B的大小關(guān)系為 ( ).
A.A>B B.A
sin B?2Rsin A>2Rsin B(R為△ABC外接圓的半徑)?a>b?A>B.
答案 A
4.在△ABC中,若AC=,BC=2,B=60,則C=________.
解析 由正弦定理得=,
∴sin A=.
∵BC=2b,有一解.
答案?、?
6.在△ABC中,若==,試判斷三角形的形狀.
解 由正弦定理知==,
∴sin Acos A=sin Bcos B,∴sin 2A=sin 2B,
∴2A=2B或2A+2B=π,∴A=B或A+B=.
又∵>1,∴B>A,∴△ABC為直角三角形.
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7.在△ABC中,若==,則△ABC中最長的邊是 ( ).
A.a(chǎn) B.b C.c D.b或c
解析 由正弦定理知sin B=cos B,sin C=cos C,∴B=C=45,∴A=90,故選A.
答案 A
8.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,向量m=(,-1),n=(cos A,sin A),若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,則角A,B的大小為 ( ).
A., B.,
C., D.,
解析 ∵m⊥n,∴cos A-sin A=0,
∴tan A=,∴A=,
由正弦定理得sin Acos B+sin Bcos A=sin2C,
∴sin(A+B)=sin2C,即sin C=1,∴C=,B=.
答案 C
9.在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,a=1,則
=________.
解析 由已知A=30,B=60,C=90,=2.
∴====2.
答案 2
10.在△ABC中,已知a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,若b=2a,B=A+60,則A=________.
解析 ∵b=2a,∴sin B=2sin A,又∵B=A+60,
∴sin(A+60)=2sin A
即sin Acos 60+cos Asin 60=2sin A,
化簡得:sin A=cos A,∴tan A=,∴A=30.
答案 30
11.已知方程x2-(bcos A)x+acos B=0的兩根之積等于兩根之和,且a、b為△ABC的兩邊,A、B為兩內(nèi)角,試判定這個三角形的形狀.
解:設(shè)方程的兩根為x1、x2,
由根與系數(shù)的關(guān)系,得
∴bcos A=acos B.
由正弦定理得:sin Bcos A=sin Acos B
∴sin Acos B-cos Asin B=0,
sin(A-B)=0.
∵A、B為△ABC的內(nèi)角,
∴0<A<π,0<B<π,-π<A-B<π.
∴A-B=0,即A=B.
故△ABC為等腰三角形.
12.(創(chuàng)新拓展)在△ABC中,已知=,且cos(A-B)+cos C=1-cos 2C.
(1)試確定△ABC的形狀;
(2)求的取值范圍.
解 (1)在△ABC中,設(shè)其外接圓半徑為R,根據(jù)正弦定理得
sin A=,sin B=,
代入=,得:=,
∴b2-a2=ab.①
∵cos(A-B)+cos C=1-cos 2C,
∴cos(A-B)-cos(A+B)=2sin2C,
∴sin Asin B=sin2C.
由正弦定理,得=2,
∴ab=c2.②
把②代入①得,b2-a2=c2,
即a2+c2=b2.
∴△ABC是直角三角形.
(2)由(1)知B=,∴A+C=,
∴C=-A.
∴sin C=sin=cos A.
根據(jù)正弦定理,=
=sin A+cos A=sin.
∵0
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