2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用教案 新人教A版 自主梳理 1.向量數(shù)量積的定義 (1)向量數(shù)量積的定義: 已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為θ,則數(shù)量___.|a||b|cos θ_____叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作__ ab=|a||b|cos θ_____,其中向量的投影:︱︱cos=∈R,稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影; 注意 在兩向量的夾角定義,兩向量必須是同起點的,范圍0≤q≤180。 C 規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為___ 0_____. 即 (2)平面向量數(shù)量積的幾何意義 數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影____|b|cos θ_____的乘積. (3) 平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì): ①如果e是單位向量,則ae=ea=__ |a|cos θ________; ②非零向量a,b,a⊥b?____ab=0____________; ③當(dāng)a與b同向時,ab=__|a||b|___;(兩個非零向量a與b垂直的充要條件是__ ab=0__) 當(dāng)a與b反向時,ab=__-|a||b|______,aa=__ a2___=_|a|2___,|a|=_______; (兩個非零向量a與b平行的充要條件是__ ab=|a||b|___) ④cos θ=__________; ⑤|ab|_≤___|a||b|. 2.向量數(shù)量積的運算律 (1)交換律:ab=__ ba ______; (2)分配律:(a+b)c=___________ ac+bc _____; (3)數(shù)乘向量結(jié)合律:(λa)b=__λ(ab)______________. 3.向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算與度量公式 (1)兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積的和,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 則ab= x1x2+y1y (2) 設(shè)兩個非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b? x1x2+y1y2=0 . (3) 設(shè)兩個非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),則 cos θ=__________. (4)若a=(x,y),則|a|2= 或|a|= . (5)若A(x1,y1),B(x2,y2),則 =______(x2-x1,y2-y1) ___, 所以||=___________. 點評: 1.向量的數(shù)量積是一個實數(shù) 兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量,這個數(shù)量的大小與兩個向量的長度及其夾角的余弦值有關(guān),在運用向量的數(shù)量積解題時,一定要注意兩向量夾角的范圍. 2.ab=0不能推出a=0或b=0,因為ab=0時,有可能a⊥b. 3.一般地,(ab)c≠(bc)a即乘法的結(jié)合律不成立.因ab是一個數(shù)量,所以(ab)c表示一個與c共線的向量,同理右邊(bc)a表示一個與a共線的向量,而a與c不一定共線,故一般情況下(ab)c≠(bc)a. 4.ab=ac(a≠0)不能推出b=c,即消去律不成立. 5.向量夾角的概念要領(lǐng)會,比如正三角形ABC中,〈,〉應(yīng)為120,而不是60. 自我檢測 1.已知向量a和向量b的夾角為135,|a|=2, |b|=3,則向量a和向量b的數(shù)量積ab=___-3 _____. 2.在Rt△ABC中,∠C=90,AC=4,則等于 ( ) A.-16 B.-8 C.8 D.16 3.已知向量a,b滿足ab=0,|a|=1,|b|=2,則|2a-b|= ( ) A.0 B.2 C.4 D.8 B ===2. 4.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b與λa-b垂直,則實數(shù)λ的值為________. 5.已知a=(2,3),b=(-4,7),則a在b方向上的投影為______. 6.設(shè)a,b,c是任意的非零向量,且相互不共線,則下列命題正確的有____②④____ ①(ab)c-(ca)b=0;②|a|-|b|<|a-b|; ③(bc)a-(ac)b不與c垂直;④(3a+4b)(3a-4b)=9|a|2-16|b|2. 7.平面上有三個點A(-2,y),B(0,),C(x,y),若⊥,則動點C的軌跡方程為________________. 解析 由題意得=, =,又⊥,∴=0, 即=0,化簡得y2=8x(x≠0). 8.若等邊△ABC的邊長為2,平面內(nèi)一點M滿足=+,則=________. 解析 合理建立直角坐標(biāo)系,因為三角形是正三角形,故設(shè)C(0,0),A(2,0),B(,3),這樣利用向量關(guān)系式,求得=,=,=,所以=-2. 題型一 平面向量的數(shù)量積的運算 例1?。?)已知a,b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量,若向量c滿足(a-c)(b-c)=0,則|c|的最大值是________. (2)如圖,在△ABC中,AD⊥AB,= , ||=1,則等于 ( ) A.2 B. C. D. 解法1基底法: ∵=,∴=-=-=(-)+ =+(1-). 又AD⊥AB,||=1. ∴=+(1-)=. 法2定義法設(shè)BD=a,則BC=a,作CE⊥BA交的延長線于E,可知∠DAC=∠ACE, 在Rt△ABD與Rt△BEC中, Rt△ABD∽Rt△BEC中,,CE=, ∴cos∠DAC=cos∠ACE=. ∴=||||cos∠DAC =|||| cos∠ACE=. 法3坐標(biāo)法 變式訓(xùn)練1 (1)若向量a的方向是正南方向,向量b的方向是正東方向,且|a|=|b|=1,則 (-3a)(a+b)=___-3___. (2)如下圖,在中,,,是邊上的高,則的值等于 ( ) A.0 B. C.4 D. 【思路點撥】充分利用已知條件的,,借助數(shù)量積的定義求出. 【答案】B【解析】因為,,是邊上的高,. (3)設(shè)向量a,b,c滿足|a|=|b|=1,ab=-,〈a-c,b-c〉=60,則|c|的最大值等于( ) A.2 B. C. D.1 【解析】 ∵ab=-,且|a|=|b|=1, ∴cos〈a,b〉==-. ∴〈a,b〉=120. 如圖所示,將a,b,c的起點平移至同一點O, 則a-c=,b-c=,∠ACB=60,于是四 點A,O,B,C共圓,即點C在△AOB的外接圓上,故當(dāng)OC為直徑時,|c|取最大值.由余弦定理,得AB==,由正弦定理,得2R==2,即|c|的最大值為2. 題型二 向量的夾角與向量的模 例2 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61, (1)求a與b的夾角θ; (2)求|a+b|; (3)若=a,=b,求△ABC的面積. 例2 解 (1)∵(2a-3b)(2a+b)=61,∴4|a|2-4ab-3|b|2=61. 又|a|=4,|b|=3,∴64-4ab-27=61,∴ab=-6. ∴cos θ===-.又0≤θ≤π,∴θ=. (2)可先平方轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積. |a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13, ∴|a+b|=. (3)∵與的夾角θ=,∴∠ABC=π-=. 又||=|a|=4,||=|b|=3, ∴S△ABC=||||sin∠ABC=43=3. 變式訓(xùn)練2 (1)已知平面向量α,β,|α|=1,β=(2,0),α⊥(α-2β),求|2α+β|的值; (2)已知三個向量a、b、c兩兩所夾的角都為120,|a|=1,|b|=2,|c|=3,求向量a+b+c與向量a的夾角. 解 (1)∵β=(2,0),∴|β|=2,又α⊥(α-2β), ∴α(α-2β)=α2-2αβ=1-2αβ=0.∴αβ=. ∴(2α+β)2=4α2+β2+4αβ=4+4+2=10. ∴|2α+β|=. (2)由已知得(a+b+c)a=a2+ab+ac =1+2cos 120+3cos 120=-, |a+b+c|== ==. 設(shè)向量a+b+c與向量a的夾角為θ, 則cos θ===-,即θ=150, 故向量a+b+c與向量a的夾角為150. (3)已知i,j為互相垂直的單位向量,a=i-2j,b=i+λj,且a與b的夾角為銳角,實數(shù)λ的取值范圍為________. 解析 ∵〈a,b〉∈(0,),∴ab>0且ab不同向. 即|i|2-2λ|j|2>0,∴λ<. 當(dāng)ab同向時,由a=kb(k>0)得λ=-2.∴λ<且λ≠-2. (4)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點,則|+3|的最小值為________ 解 以D為原點,分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)DC=a,DP=y(tǒng). ∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,y), =(2,-y),=(1,a-y), ∴+3=(5,3a-4y), |+3|2=25+(3a-4y)2, ∵點P是腰DC上的動點,∴0≤y≤a, 因此當(dāng)y=a時,|+3|2的最小值為25, ∴|+3|的最小值為5. 題型三 平面向量的垂直問題 例3 已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0<α<β<π). (1)求證:a+b與a-b互相垂直; (2)若ka+b與a-kb的模相等,求β-α.(其中k為非零實數(shù)) (1)證明 ∵(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2 =(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0, ∴a+b與a-b互相垂直. (2)解 ka+b=(kcos α+cos β,ksin α+sin β), a-kb=(cos α-kcos β,sin α-ksin β), |ka+b|==, |a-kb|=. ∵|ka+b|=|a-kb|,∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α). 又k≠0,∴cos(β-α)=0. 而0<α<β<π,∴0<β-α<π,∴β-α=. 變式訓(xùn)練3 (1) 已知平面向量a=(,-1),b=. ①證明:a⊥b; ② 若存在不同時為零的實數(shù)k和t,使c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且c⊥d,試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t). ?、?證明 ∵ab=-1=0,∴a⊥b. ②解 ∵c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且c⊥d, ∴cd=[a+(t2-3)b](-ka+tb)=-ka2+t(t2-3)b2+[t-k(t2-3)]ab=0, 又a2=|a|2=4,b2=|b|2=1,ab=0, ∴cd=-4k+t3-3t=0,∴k=f(t)= (t≠0). (2) 已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且ka+b的長度是a-kb的長度的倍(k>0). ① 求證:a+b與a-b垂直; ②用k表示ab; ③ 求ab的最小值以及此時a與b的夾角θ. 點撥: 1.非零向量a⊥b?ab=0?x1x2+y1y2=0. 2.當(dāng)向量a與b是非坐標(biāo)形式時,要把a、b用已知的不共線的向量表示.但要注意運算技巧,有時把向量都用坐標(biāo)表示,并不一定都能夠簡化運算,要因題而異. 解 ①由題意得,|a|=|b|=1,∴(a+b)(a-b)=a2-b2=0, ∴a+b與a-b垂直. ②|ka+b|2=k2a2+2kab+b2=k2+2kab+1, (|a-kb|)2=3(1+k2)-6kab. 由條件知,k2+2kab+1=3(1+k2)-6kab, 從而有,ab=(k>0). ③由(2)知ab==(k+)≥, 當(dāng)k=時,等號成立,即k=1. ∵k>0,∴k=1. 此時cos θ==,而θ∈[0,π],∴θ=. 故ab的最小值為,此時θ=. (3)設(shè)向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β). ① 若a與b-2c垂直,求tan(α+β)的值; ②求|b+c|的最大值; ③ 若tan αtan β=16,求證:a∥b. ① 解 因為a與b-2c垂直, 所以a(b-2c)=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin β =4sin(α+β)-8cos(α+β)=0. 因此tan(α+β)=2. ②解 由b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β), 得|b+c|= =≤4. 又當(dāng)β=-時,等號成立,所以|b+c|的最大值為4. ③證明 由tan αtan β=16得即 所以a∥b. (4)如圖4-4-1所示,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90,CA=CB,D為BC的中點,E是AB上的一點,且AE=2EB.求證:AD⊥CE. 解?。?+)(+) =-||2+++ =-||2+||||cos 90+||2cos 45+||2cos 45 =-||2+||2=0, ∴⊥,即AD⊥CE., (5) 在△ABC中,=(2, 3),=(1, k),且△ABC的一個內(nèi)角為直角, 求k值 解:當(dāng)A = 90時,= 0,∴21 +3k = 0 ∴k = 當(dāng)B = 90時,= 0,=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3) ∴2(-1) +3(k-3) = 0 ∴k = 當(dāng)C= 90時,= 0,∴-1 + k(k-3) = 0 ∴k = 題型四 向量的數(shù)量積在三角函數(shù)中的應(yīng)用 例4 已知向量a=, b=,且x∈. (1)求ab及|a+b|; (2)若f(x)=ab-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值. 解 (1)ab=cos xcos -sin xsin =cos 2x, |a+b|= ==2|cos x|, ∵x∈,∴cos x>0, ∴|a+b|=2cos x. (2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1 =22-. ∵x∈,∴≤cos x≤1, ∴當(dāng)cos x=時,f(x)取得最小值-; 當(dāng)cos x=1時,f(x)取得最大值-1. 變式遷移4 (1)已知△ABC的面積S, =3S,且cos B=,求cos C. 解 由題意,設(shè)△ABC的角B、C的對邊分別為b、c, 則S=bcsin A =bccos A=3S=bcsin A >0, ∴A∈,cos A=3sin A. 又sin2A+cos2A=1, ∴sin A=,cos A=. 由題意cos B=,得sin B=. ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=. ∴cos C=cos[π-(A+B)]=-. (2).已知△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,G是△ABC的重 心,且56sin A+40sin B+35sin C=0. (1)求角B的大??; (2)設(shè)m=(sin A,cos 2A),n=(4k,1)(k>1),mn的最大值為5,求實數(shù)k的值. 解:(1)由G是△ABC的重心,得++=0, ∴,由正弦定理,可將已知等式轉(zhuǎn)化為 整理,得(56a-35c)+(40b-35c)=0. ∵,不共線,∴由此, 得a∶b∶c=5∶7∶8. 不妨設(shè)a=5,b=7,c=8,由余弦定理, 得cos B===. ∵01時,f(t)在(0,1]上為增函數(shù),所以,當(dāng) t=1時,mn取得最大值5.于是有:-2+4k+1=5,解得k=,符合題意,所以,k=. (3)已知等邊三角形ABC的邊長為2,⊙A的半徑為1,PQ為⊙A的任意一條直徑, ①判斷的值是否會隨點P的變化而變化,請說明理由; ②求的最大值。 1.一些常見的錯誤結(jié)論: (1)若|a|=|b|,則a=b;(2)若a2=b2,則a=b;(3)若a∥b,b∥c,則a∥c;(4)若ab=0,則a=0或b=0;(5)|ab|=|a||b|;(6)(ab)c=a(bc);(7)若ab=ac,則b=c.以上結(jié)論都是錯誤的,應(yīng)用時要注意. 2.平面向量的坐標(biāo)表示與向量表示的比較: 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是向量a與b的夾角. 向量表示 坐標(biāo)表示 向量a的模 |a|== |a|= a與b的數(shù)量積 ab=|a||b|cos θ ab=x1x2+y1y2 a與b共線的充要條件 A∥b(b≠0)?a=λb a∥b?x1y2-x2y1=0 非零向量a,b垂直的充要條件 a⊥b?ab=0 a⊥b?x1x2+y1y2=0 向量a與b的夾角 cos θ= cos θ= 3.證明直線平行、垂直、線段相等等問題的基本方法有: (1)要證AB=CD,可轉(zhuǎn)化證明2=2或||=||. (2)要證兩線段AB∥CD,只要證存在唯一實數(shù)≠0,使等式=λ成立即可. (3)要證兩線段AB⊥CD,只需證=0. 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用練習(xí)一 一、選擇題 1.若向量a=(3,m),b=(2,-1),ab=0,則實數(shù)m的值為 ( ) A.- B. C.2 D.6 1.D [因為ab=6-m=0,所以m=6.] 2.已知非零向量a,b,若|a|=|b|=1,且a⊥b,又知(2a+3b)⊥(ka-4b),則實數(shù)k的值為 ( ) A.-6 B.-3 C.3 D.6 2.D [由(2a+3b)(ka-4b)=0得2k-12=0,∴k=6.] 3.已知△ABC中,=a,=b,ab<0,S△ABC=,|a|=3,|b|=5,則∠BAC等于 ( ) A.30 B.-150 C.150 D.30或150 3.C [∵S△ABC=|a||b|sin∠BAC=, ∴sin∠BAC=.又ab<0, ∴∠BAC為鈍角.∴∠BAC=150.] 4.若非零向量a,b滿足|a|=|b|,(2a+b)b=0,則a與b的夾角為 ( ) A.30 B.60 C.120 D.150 4.C [由(2a+b)b=0,得2ab=-|b|2. cos〈a,b〉===-. ∵〈a,b〉∈[0,180],∴〈a,b〉=120.] 5.設(shè)向量a,b滿足|a|=|b|=1,ab=-,則|a+2b|等于 ( ) A. B. C. D. 6.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c滿足(c+a)∥b,c⊥(a+b),則c等于( ) A. B. C. D. 7.在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=,則等于 ( ) A.- B.- C. D. 8.若a,b,c均為單位向量,且ab=0,(a-c)(b-c)≤0,則|a+b-c|的最大值為( ) A.-1 B.1 C. D.2 9.已知|a|=6,|b|=3,ab=-12,則向量a在向量b方向上的投影是 ( ) A.-4 B.4 C.-2 D.2 10.已知a、b、c是同一平面內(nèi)的三個單位向量,它們兩兩之間的夾角均為120,且|ka+b+c|>1,則實數(shù)k的取值范圍是 ( ) A.(-∞,0) B.(2,+∞) C.(-∞,0)∪(2,+∞) D.(0,2) 二、填空題 11.設(shè)a=(cos 2α,sin α),b=(1,2sin α-1),α∈,若ab=,則sin α=________. 解析 ∵ab=cos 2α+2sin2α-sin α=, ∴1-2sin2α+2sin2α-sin α=,∴sin α= 12.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,則向量a與b的夾角為________. 解析 設(shè)a與b的夾角為θ,∵c=a+b,c⊥a, ∴ca=0,即(a+b)a=0.∴a2+ab=0. 又|a|=1,|b|=2,∴1+2cos θ=0. ∴cos θ=-,θ∈[0,180]即θ=120. 13.已知向量m=(1,1),向量n與向量m夾角為,且mn=-1,則向量n=__________________. 解析 設(shè)n=(x,y),由mn=-1,有x+y=-1.① 由m與n夾角為,有mn=|m||n|cos , ∴|n|=1,則x2+y2=1.②由①②解得或, ∴n=(-1,0)或n=(0,-1). 14.已知兩個單位向量e1,e2的夾角為,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,則b1b2=____-6____. 三、解答題 15.設(shè)兩向量e1、e2滿足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2的夾角為60,若向量2te1+7e2與向量e1+te2的夾角為鈍角,求實數(shù)t的取值范圍. 解 e=4,e=1, e1e2=21cos 60=1, ∴(2te1+7e2)(e1+te2)=2te+(2t2+7)e1e2+7te=2t2+15t+7. ∵向量2te1+7e2與向量e1+te2的夾角為鈍角,∴2t2+15t+7<0.∴-7- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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