2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用教案 新人教A版自主梳理1向量數(shù)量積的定義(1)向量數(shù)量積的定義:已知兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角為,則數(shù)量_.|a|b|cos _叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作_ ab|a|b|cos _,其中向量的投影:cos=R,稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影;注意 在兩向量的夾角定義,兩向量必須是同起點(diǎn)的,范圍0q180。C規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為_0_. 即(2)平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影_|b|cos _的乘積.(3) 平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì):如果e是單位向量,則aeea_ |a|cos _;非零向量a,b,ab_ab0_;當(dāng)a與b同向時(shí),ab_|a|b|_;(兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是_ ab0_)當(dāng)a與b反向時(shí),ab_|a|b|_,aa_ a2_|a|2_,|a|_;(兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是_ ab|a|b|_)cos _;|ab|_|a|b|.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律:ab_ ba _;(2)分配律:(ab)c_ acbc _;(3)數(shù)乘向量結(jié)合律:(a)b_(ab)_.3向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與度量公式(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積的和,即若a(x1,y1),b(x2,y2),則ab x1x2y1y (2) 設(shè)兩個(gè)非零向量a,b,a(x1,y1),b(x2,y2),則ab x1x2y1y20 .(3) 設(shè)兩個(gè)非零向量a,b,a(x1,y1),b(x2,y2),則cos _.(4)若a(x,y),則|a|2 或|a| . (5)若A(x1,y1),B(x2,y2),則 _(x2x1,y2y1)_,所以|_.點(diǎn)評:1.向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量,這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長度及其夾角的余弦值有關(guān),在運(yùn)用向量的數(shù)量積解題時(shí),一定要注意兩向量夾角的范圍.2.ab0不能推出a0或b0,因?yàn)閍b0時(shí),有可能ab.3.一般地,(ab)c(bc)a即乘法的結(jié)合律不成立.因ab是一個(gè)數(shù)量,所以(ab)c表示一個(gè)與c共線的向量,同理右邊(bc)a表示一個(gè)與a共線的向量,而a與c不一定共線,故一般情況下(ab)c(bc)a.4.abac(a0)不能推出bc,即消去律不成立.5.向量夾角的概念要領(lǐng)會,比如正三角形ABC中,應(yīng)為120,而不是60.自我檢測1.已知向量a和向量b的夾角為135,|a|2, |b|3,則向量a和向量b的數(shù)量積ab_3_.2.在RtABC中,C=90,AC=4,則等于 ()A16B8C8D163已知向量a,b滿足ab0,|a|1,|b|2,則|2ab| ()A0B2C4D8B2.4.已知ab,|a|2,|b|3,且3a2b與ab垂直,則實(shí)數(shù)的值為_.5.已知a(2,3),b(4,7),則a在b方向上的投影為_.6.設(shè)a,b,c是任意的非零向量,且相互不共線,則下列命題正確的有_(ab)c(ca)b0;|a|b|0且ab不同向即|i|22|j|20,0)得2.且2.(4)已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC90,AD2,BC1,P是腰DC上的動點(diǎn),則|3|的最小值為_解以D為原點(diǎn),分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)DCa,DPy.D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,y),(2,y),(1,ay),3(5,3a4y),|3|225(3a4y)2,點(diǎn)P是腰DC上的動點(diǎn),0ya,因此當(dāng)ya時(shí),|3|2的最小值為25,|3|的最小值為5.題型三平面向量的垂直問題例3已知a(cos ,sin ),b(cos ,sin )(0).(1)求證:ab與ab互相垂直;(2)若kab與akb的模相等,求.(其中k為非零實(shí)數(shù)) (1)證明(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0,ab與ab互相垂直.(2)解kab(kcos cos ,ksin sin ),akb(cos kcos ,sin ksin ),|kab|=,|akb|.|kab|akb|,2kcos()2kcos().又k0,cos()0.而0,00) 求證:ab與ab垂直;用k表示ab; 求ab的最小值以及此時(shí)a與b的夾角.點(diǎn)撥:1.非零向量abab0x1x2y1y20.2當(dāng)向量a與b是非坐標(biāo)形式時(shí),要把a(bǔ)、b用已知的不共線的向量表示但要注意運(yùn)算技巧,有時(shí)把向量都用坐標(biāo)表示,并不一定都能夠簡化運(yùn)算,要因題而異解 由題意得,|a|b|1,(ab)(ab)a2b20,ab與ab垂直 |kab|2k2a22kabb2k22kab1,(|akb|)23(1k2)6kab.由條件知,k22kab13(1k2)6kab,從而有,ab(k0) 由(2)知ab(k),當(dāng)k時(shí),等號成立,即k1.k0,k1.此時(shí)cos ,而0,.故ab的最小值為,此時(shí).(3)設(shè)向量a(4cos ,sin ),b(sin ,4cos ),c(cos ,4sin ) 若a與b2c垂直,求tan()的值;求|bc|的最大值; 若tan tan 16,求證:ab. 解因?yàn)閍與b2c垂直,所以a(b2c)4cos sin 8cos cos 4sin cos 8sin sin 4sin()8cos()0.因此tan()2.解由bc(sin cos ,4cos 4sin ),得|bc|4.又當(dāng)時(shí),等號成立,所以|bc|的最大值為4.證明由tan tan 16得即所以ab.(4)如圖441所示,在等腰直角三角形ABC中,ACB90,CACB,D為BC的中點(diǎn),E是AB上的一點(diǎn),且AE2EB.求證:ADCE.解()()|2|2|cos 90|2cos 45|2cos 45|2|20,即ADCE.,(5) 在ABC中,=(2, 3),=(1, k),且ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角, 求k值解:當(dāng)A = 90時(shí),= 0,21 +3k = 0 k = 當(dāng)B = 90時(shí),= 0,=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)2(-1) +3(k-3) = 0 k = 當(dāng)C= 90時(shí),= 0,-1 + k(k-3) = 0 k =題型四向量的數(shù)量積在三角函數(shù)中的應(yīng)用例4已知向量a,b,且x.(1)求ab及|ab|;(2)若f(x)ab|ab|,求f(x)的最大值和最小值解(1)abcos xcos sin xsin cos 2x,|ab|2|cos x|,x,cos x0,|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x122.x,cos x1,當(dāng)cos x時(shí),f(x)取得最小值;當(dāng)cos x1時(shí),f(x)取得最大值1.變式遷移4 (1)已知ABC的面積S, 3S,且cos B,求cos C.解由題意,設(shè)ABC的角B、C的對邊分別為b、c,則Sbcsin Abccos A3Sbcsin A 0,A,cos A3sin A.又sin2Acos2A1,sin A,cos A.由題意cos B,得sin B.cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.cos Ccos(AB).(2)已知ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,G是ABC的重心,且56sin A40sin B35sin C0.(1)求角B的大小;(2)設(shè)m(sin A,cos 2A),n(4k,1)(k1),mn的最大值為5,求實(shí)數(shù)k的值解:(1)由G是ABC的重心,得0,由正弦定理,可將已知等式轉(zhuǎn)化為整理,得(56a35c)(40b35c)0.,不共線,由此,得abc578.不妨設(shè)a5,b7,c8,由余弦定理,得cos B.0B1時(shí),f(t)在(0,1上為增函數(shù),所以,當(dāng)t1時(shí),mn取得最大值5.于是有:24k15,解得k,符合題意,所以,k.(3)已知等邊三角形ABC的邊長為2,A的半徑為1,PQ為A的任意一條直徑,判斷的值是否會隨點(diǎn)P的變化而變化,請說明理由;求的最大值。1一些常見的錯(cuò)誤結(jié)論:(1)若|a|b|,則ab;(2)若a2b2,則ab;(3)若ab,bc,則ac;(4)若ab0,則a0或b0;(5)|ab|a|b|;(6)(ab)ca(bc);(7)若abac,則bc.以上結(jié)論都是錯(cuò)誤的,應(yīng)用時(shí)要注意2平面向量的坐標(biāo)表示與向量表示的比較:已知a(x1,y1),b(x2,y2),是向量a與b的夾角.向量表示坐標(biāo)表示向量a的模|a|a|a與b的數(shù)量積ab|a|b|cos abx1x2y1y2a與b共線的充要條件Ab(b0)ababx1y2x2y10非零向量a,b垂直的充要條件abab0abx1x2y1y20向量a與b的夾角cos cos 3.證明直線平行、垂直、線段相等等問題的基本方法有:(1)要證AB=CD,可轉(zhuǎn)化證明22或|.(2)要證兩線段ABCD,只要證存在唯一實(shí)數(shù)0,使等式成立即可(3)要證兩線段ABCD,只需證0.平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用練習(xí)一一、選擇題1若向量a(3,m),b(2,1),ab0,則實(shí)數(shù)m的值為 ()AB. C2D61D因?yàn)閍b6m0,所以m6.2已知非零向量a,b,若|a|b|1,且ab,又知(2a3b)(ka4b),則實(shí)數(shù)k的值為 ()A6 B3C3D62D由(2a3b)(ka4b)0得2k120,k6.3.已知ABC中,a,b,ab0,SABC,|a|3,|b|5,則BAC等于 ()A30B150C150D30或1503CSABC|a|b|sinBAC,sinBAC.又ab1,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ()A.(,0) B.(2,)C.(,0)(2,) D.(0,2)二、填空題11設(shè)a(cos 2,sin ),b(1,2sin 1),若ab,則sin _.解析abcos 22sin2sin ,12sin22sin2sin ,sin 12若|a|1,|b|2,cab,且ca,則向量a與b的夾角為_解析設(shè)a與b的夾角為,cab,ca,ca0,即(ab)a0.a2ab0.又|a|1,|b|2,12cos 0.cos ,0,180即120.13已知向量m(1,1),向量n與向量m夾角為,且mn1,則向量n_.解析設(shè)n(x,y),由mn1,有xy1.由m與n夾角為,有mn|m|n|cos ,|n|1,則x2y21.由解得或,n(1,0)或n(0,1)14.已知兩個(gè)單位向量e1,e2的夾角為,若向量b1e12e2,b23e14e2,則b1b2_6_.三、解答題15.設(shè)兩向量e1、e2滿足|e1|2,|e2|1,e1、e2的夾角為60,若向量2te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解e4,e1,e1e221cos 601,(2te17e2)(e1te2)2te(2t27)e1e27te2t215t7.向量2te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角,2t215t70.7t.假設(shè)2te17e2(e1te2) (0) 2t27t,.當(dāng)t時(shí),2te17e2與e1te2的夾角為,不符合題意.t的取值范圍是.16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(1,2),B(2,3),C(2,1).(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長;(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(t)0,求t的值.解(1)由題設(shè)知(3,5),(1,1),則(2,6),(4,4).所以|2,|4.故所求的兩條對角線長分別為4,2.(2)由題設(shè)知(2,1), t(32t,5t).由(t)0,得(32t,5t)(2,1)0,從而5t11,所以t.17.已知(2,5),(3,1),(6,3),在線段OC上是否存在點(diǎn)M,使,若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由解 設(shè)存在點(diǎn)M,且(6,3) (01),(26,53),(36,13)(26)(36)(53)(13)0,即45248110,解得或M點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)或.故在線段OC上存在點(diǎn)M,使,且點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)或(,) 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用練習(xí)二一、選擇題1設(shè)R,向量,且,則()ABCD10【解析】由,由,故. 2、定義:,其中為向量與的夾角,若,則等于()A B C或 D【解析】由,得,所以=3若向量a與b不共線,ab0,且cab,則向量a與c的夾角為_解析:由于acaaaab,又ab0,ac|a|2|a|20,所以ac.答案:904如圖,非零向量( )ABCD5在中,是邊上的高,若,則實(shí)數(shù)等于( )A B C D6已知,且關(guān)于的方程有實(shí)根,則與的夾角的取值范圍是 A. 0, B. C. D. 解: 且關(guān)于的方程有實(shí)根,則,設(shè)向量的夾角為,cos=,選B.7.設(shè)非零向量、滿足,則( )A150 B.120 C.60 D.308、(xx湖南理)在ABC中,AB=2,AC=3,= 1則.()ABCD【解析】由下圖知. .又由余弦定理知,解得. 9在平面直角坐標(biāo)系中,將向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,得向量,則點(diǎn)的坐標(biāo)是()ABCD二、填空題10.若平面向量,滿足|1,|1,且以向量,為鄰邊的平行四邊形的面積為,則與的夾角的取值范圍是_.11.已知向量a,b,c滿足abc0,(ab)c,ab,若|a|1,則|a|2|b|2|c|2的值是_4_.12.已知在平面直角坐標(biāo)系中,O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,3),動點(diǎn)P(x,y)滿足不等式01,01,則z的最大值為_3_.三、解答題13.設(shè)平面上有兩個(gè)向量a(cos ,sin ) (0360),b.(1)求證:向量ab與ab垂直;(2)當(dāng)向量ab與ab的模相等時(shí),求的大小.證明(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)0,故ab與ab垂直.(2)解由|ab|ab|,兩邊平方得3|a|22ab|b|2|a|22ab3|b|2,所以2(|a|2|b|2)4ab0,而|a|b|,所以ab0,則cos sin 0,即cos(60)0,60k18090, 即k18030,kZ,又01),n6或n(舍),b(2,6).(2)由(1)知,ab10,|a|25.又c與b同向,故可設(shè)cb (0), (ca)a0,ba|a|20,cb(1,3).- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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