2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 9.4直線、圓的位置關(guān)系學案 理 蘇教版.doc

2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 9.4直線、圓的位置關(guān)系學案 理 蘇教版導學目標： 1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.3.在學習過程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想自主梳理1直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系有三種：_、_、_.判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法：代數(shù)法：利用判別式，即直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組消去x或y整理成一元二次方程后，計算判別式b24ac幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：d<r_，dr_，d>r_.2圓的切線方程若圓的方程為x2y2r2，點P(x0，y0)在圓上，則過P點且與圓x2y2r2相切的切線方程為_注：點P必須在圓x2y2r2上經(jīng)過圓(xa)2(yb)2r2上點P(x0，y0)的切線方程為_3計算直線被圓截得的弦長的常用方法(1)幾何方法運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計算(2)代數(shù)方法運用韋達定理及弦長公式AB|xAxB|.說明：圓的弦長、弦心距的計算常用幾何方法4圓與圓的位置關(guān)系(1)圓與圓的位置關(guān)系可分為五種：_、_、_、_、_.判斷圓與圓的位置關(guān)系常用方法：(幾何法)設(shè)兩圓圓心分別為O1、O2，半徑為r1、r2 (r1r2)，則O1O2>r1r2_；O1O2r1r2_；|r1r2|<O1O2<r1r2_；O1O2|r1r2|_；0|O1O2|<|r1r2|_(2)已知兩圓x2y2D1xE1yF10和x2y2D2xE2yF20相交，則與兩圓共交點的圓系方程為_，其中為1的任意常數(shù)，因此圓系不包括第二個圓當1時，為兩圓公共弦所在的直線，方程為(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.自我檢測1(xx江西)直線ykx3與圓(x3)2(y2)24相交于M，N兩點，若MN2，則k的取值范圍是_2圓x2y24x0在點P(1，)處的切線方程為_3圓C1：x2y22x2y20與圓C2：x2y24x2y10的公切線有_條4過點(0,1)的直線與x2y24相交于A、B兩點，則AB的最小值為_5若P(2，1)為圓C：(x1)2y225的弦AB的中點，則直線AB的方程是_. 探究點一直線與圓的位置關(guān)系例1已知圓C：x2y22x4y30.(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；(2)從圓C外一點P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有PMPO，求使得PM取得最小值時點P的坐標變式遷移1從圓C：(x1)2(y1)21外一點P(2,3)向該圓引切線，求切線的方程及過兩切點的直線方程探究點二圓的弦長、中點弦問題例2已知點P(0,5)及圓C：x2y24x12y240.(1)若直線l過點P且被圓C截得的線段長為4，求l的方程；(2)求過P點的圓C的弦的中點的軌跡方程變式遷移2已知圓C：x2y26x8y210和直線kxy4k30.(1)證明：不論k取何值，直線和圓總有兩個不同交點；(2)求當k取什么值時，直線被圓截得的弦最短，并求這條最短弦的長探究點三圓與圓的位置關(guān)系例3已知圓C1：x2y22mx4ym250，圓C2：x2y22x2mym230，m為何值時，(1)圓C1與圓C2相外切；(2)圓C1與圓C2內(nèi)含變式遷移3已知A：x2y22x2y20，B：x2y22ax2bya210.當a，b變化時，若B始終平分A的周長，求：(1)B的圓心B的軌跡方程；(2)B的半徑最小時圓的方程探究點四綜合應(yīng)用例4已知圓C：x2y22x4y40.問在圓C上是否存在兩點A、B關(guān)于直線ykx1對稱，且以AB為直徑的圓經(jīng)過原點？若存在，寫出直線AB的方程；若不存在，說明理由變式遷移4已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21相交于M、N兩點(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)若O為坐標原點，且12，求k的值1求切線方程時，若知道切點，可直接利用公式；若過圓外一點求切線，一般運用圓心到直線的距離等于半徑來求，但注意有兩條2解決與弦長有關(guān)的問題時，注意運用由半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成的直角三角形，也可以運用弦長公式這就是通常所說的“幾何法”和“代數(shù)法”3判斷兩圓的位置關(guān)系，從圓心距和兩圓半徑的關(guān)系入手(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1直線l：y1k(x1)和圓x2y22y0的位置關(guān)系是_2直線xym0與圓x2y22x20相切，則實數(shù)m_.3過原點且傾斜角為60的直線被圓x2y24y0所截得的弦長為_4若圓(x3)2(y5)2r2上有且僅有兩個點到直線4x3y20的距離為1，則半徑r的取值范圍是_5若圓x2y24與圓x2y22ay60(a>0)的公共弦的長為2，則a_.6已知點A是圓C：x2y2ax4y50上任意一點，A點關(guān)于直線x2y10的對稱點也在圓C上，則實數(shù)a_.7設(shè)直線3x4y50與圓C1：x2y24交于A，B兩點，若圓C2的圓心在線段AB上，且圓C2與圓C1相切，切點在圓C1的劣弧上，則圓C2的半徑的最大值是_8(xx全國改編)已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點，那么的最小值為_二、解答題(共42分)9(14分)圓x2y28內(nèi)一點P(1,2)，過點P的直線l的傾斜角為，直線l交圓于A、B兩點(1)當時，求AB的長；(2)當弦AB被點P平分時，求直線l的方程10(14分)自點A(3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2y24x4y70相切，求光線l所在直線的方程11(14分)已知兩圓x2y22x6y10和x2y210x12ym0.求：(1)m取何值時兩圓外切？(2)m取何值時兩圓內(nèi)切？(3)m45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長學案48直線、圓的位置關(guān)系答案自主梳理1相切相交相離相交相切相離相交相切相離2.x0xy0yr2(x0a)(xa)(y0b)(yb)r24.(1)外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含(2)(x2y2D1xE1yF1)(x2y2D2xE2yF2)0自我檢測1.2.xy203.24.25xy30課堂活動區(qū)例1解題導引(1)過點P作圓的切線有三種類型：當P在圓外時，有2條切線；當P在圓上時，有1條切線；當P在圓內(nèi)時，不存在(2)利用待定系數(shù)法設(shè)圓的切線方程時，一定要注意直線方程的存在性，有時要進行恰當分類(3)切線長的求法：過圓C外一點P作圓C的切線，切點為M，半徑為R，則PM.解(1)將圓C配方得(x1)2(y2)22.當直線在兩坐標軸上的截距為零時，設(shè)直線方程為ykx，由，解得k2，得y(2)x.當直線在兩坐標軸上的截距不為零時，設(shè)直線方程為xya0，由，得|a1|2，即a1，或a3.直線方程為xy10，或xy30.綜上，圓的切線方程為y(2)x，或y(2)x，或xy10，或xy30.(2)由POPM，得xy(x11)2(y12)22，整理得2x14y130.即點P在直線l：2x4y30上當PM取最小值時，即OP取得最小值，直線OPl，直線OP的方程為2xy0.解方程組得點P的坐標為.變式遷移1解設(shè)圓切線方程為y3k(x2)，即kxy32k0，1，k，另一條斜率不存在，方程為x2.切線方程為x2和3x4y60.圓心C為(1,1)，kPC2，過兩切點的直線斜率為，又x2與圓交于(2,1)，過切點的直線為x2y40.例2解題導引(1)有關(guān)圓的弦長的求法：已知直線的斜率為k，直線與圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，點C到l的距離為d，圓的半徑為r.方法一代數(shù)法：弦長AB|x2x1|；方法二幾何法：弦長AB2.(2)有關(guān)弦的中點問題：圓心與弦的中點連線和已知直線垂直，利用這條性質(zhì)可確定某些等量關(guān)系解(1)如圖所示，AB4，取AB的中點D，連結(jié)CD，則CDAB，連結(jié)AC、BC，則AD2，AC4，在RtACD中，可得CD2.當直線l的斜率存在時，設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y5kx，即kxy50.由點C到直線AB的距離公式，得2，解得k.當k時，直線l的方程為3x4y200.又直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時方程為x0.所求直線的方程為3x4y200或x0.(2)設(shè)過P點的圓C的弦的中點為D(x，y)，則CDPD，即0，(x2，y6)(x，y5)0，化簡得所求軌跡方程為x2y22x11y300.變式遷移2(1)證明由kxy4k30，得(x4)ky30.直線kxy4k30過定點P(4,3)由x2y26x8y210，即(x3)2(y4)24，又(43)2(34)22<4.直線和圓總有兩個不同的交點(2)解kPC1.可以證明與PC垂直的直線被圓所截得的弦AB最短，因此過P點斜率為1的直線即為所求，其方程為y3x4，即xy10.PC，AB22.例3解題導引圓和圓的位置關(guān)系，從交點個數(shù)也就是方程組解的個數(shù)來判斷，有時得不到確切的結(jié)論，通常還是從圓心距d與兩圓半徑和、差的關(guān)系入手解對于圓C1與圓C2的方程，經(jīng)配方后C1：(xm)2(y2)29；C2：(x1)2(ym)24.(1)如果C1與C2外切，則有32.(m1)2(m2)225.m23m100，解得m5或m2.(2)如果C1與C2內(nèi)含，則有<32.(m1)2(m2)2<1，m23m2<0，得2<m<1，當m5或m2時，圓C1與圓C2外切；當2<m<1時，圓C1與圓C2內(nèi)含變式遷移3解(1)兩圓方程相減得公共弦方程2(a1)x2(b1)ya210.依題意，公共弦應(yīng)為A的直徑，將(1，1)代入得a22a2b50.設(shè)圓B的圓心為(x，y)，其軌跡方程為x22x2y50.(2)B方程可化為(xa)2(yb)21b2.由得b(a1)242，b24，b215.當a1，b2時，B半徑最小，B方程為(x1)2(y2)25.例4解題導引這是一道探索存在性問題，應(yīng)先假設(shè)存在圓上兩點關(guān)于直線對稱，由垂徑定理可知圓心應(yīng)在直線上，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O，應(yīng)聯(lián)想直徑所對的圓周角為直角利用斜率或向量來解決因此能否將問題合理地轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵解圓C的方程可化為(x1)2(y2)29，圓心為C(1，2)假設(shè)在圓C上存在兩點A、B，則圓心C(1，2)在直線ykx1上，即k1.于是可知，kAB1.設(shè)lAB：yxb，代入圓C的方程，整理得2x22(b1)xb24b40，4(b1)28(b24b4)>0，b26b9<0，解得33<b<33.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2b1，x1x2b22b2.由OAOB，知x1x2y1y20，也就是x1x2(x1b)(x2b)0，2x1x2b(x1x2)b20，b24b4b2bb20，化簡得b23b40，解得b4或b1，均滿足>0.即直線AB的方程為xy40，或xy10.變式遷移4解(1)直線l過點A(0,1)且斜率為k，直線l的方程為ykx1.將其代入圓C：(x2)2(y3)21，得(1k2)x24(1k)x70.由題意：4(1k)24(1k2)7>0，得<k<.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由得，x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)1812k1(經(jīng)檢驗符合題意)，k1.課后練習區(qū)1相交2.3或32解析如圖所示，x2y24y0x2(y2)24，A(0,2)，OA2，A到直線l：yx的距離是AN1，ON，弦長OJ2.4(4,6)5.16.1071解析圓C1的圓心C1(0,0)到直線3x4y50的距離為1，圓C1的半徑為2，弧上的點到直線3x4y50距離最大為211，因此圓C2的半徑最大為1.832解析設(shè)APB2，則APOBPO，()2cos 2cos 2(12sin2)2sin2323，當且僅當2sin2，即sin2時取等號9解(1)當時，kAB1，直線AB的方程為y2(x1)，即xy10.(3分)故圓心(0,0)到AB的距離d，從而弦長AB2 .(7分)(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22，y1y24.由兩式相減得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，即2(x1x2)4(y1y2)0，kAB.(12分)直線l的方程為y2(x1)，即x2y50.(14分)10.解已知圓C：x2y24x4y70關(guān)于x軸對稱的圓為C1：(x2)2(y2)21，其圓心C1的坐標為(2，2)，半徑為1，由光的反射定律知，入射光線所在直線方程與圓C1相切(4分)設(shè)l的方程為y3k(x3)，則1，(10分)即12k225k120.k1，k2.則l的方程為4x3y30或3x4y30.(14分)11解兩圓的標準方程分別為(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，半徑分別為和.(1)當兩圓外切時，.解得m2510.(4分)(2)當兩圓內(nèi)切時，因定圓的半徑小于兩圓圓心間距離，故只有5.解得m2510.(8分)(3)兩圓的公共弦所在直線的方程為(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，即4x3y230.(12分)由圓的半徑、弦長、弦心距間的關(guān)系，不難求得公共弦的長為2 2.(14分)