2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性最新考綱1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2.會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性；3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性知 識 梳 理1函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點對稱2.奇(偶)函數(shù)的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反(填“相同”、“相反”)(2)在公共定義域內(nèi)兩個奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)兩個偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是偶函數(shù)一個奇函數(shù)，一個偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù)(3)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x0處有定義，則f(0)0.3周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期診 斷 自 測1判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)精彩PPT展示(1)函數(shù)yx2，x(0，)是偶函數(shù)()(2)偶函數(shù)圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點()(3)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa對稱()(4)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(xa)f(x)，則f(x)是周期為2a(a0)的周期函數(shù)()2(xx廣東卷)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()A.y2xByx3sin x Cy2cos x1Dyx22x解析易知y2x是奇函數(shù)，yx3sin x和y2cos x1是偶函數(shù)，yx22x是非奇非偶函數(shù)，故選A.答案A3(xx新課標(biāo)全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()Af(x)g(x)是偶函數(shù)B|f(x)|g(x)是奇函數(shù)Cf(x)|g(x)|是奇函數(shù)D|f(x)g(x)|是奇函數(shù)解析依題意得對任意xR，都有f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此，f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)是奇函數(shù)，A錯；|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函數(shù)，B錯；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，f(x)|g(x)|是奇函數(shù)，C正確；|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函數(shù)，D錯答案C4已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，當(dāng)x(0,2)時，f(x)2x2，則f(2 015)等于()A2B2 C98D98解析f(x4)f(x)，f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，f(2 015)f(50343)f(3)f(1)又f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)2122，即f(2 015)2.答案A5(人教A必修1P39A6改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)x(1x)，則x0時，f(x)_.解析當(dāng)x0時，則x0，f(x)(x)(1x)又f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)(x)(1x)，f(x)x(1x)答案x(1x)考點一函數(shù)奇偶性的判斷例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)xlg(x)；(2)f(x)(1x)；(3)f(x)(4)f(x).解(1)|x|0，函數(shù)f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，又f(x)(x)lg(x)xlg(x)xlg(x)f(x)即f(x)f(x)，f(x)是偶函數(shù)(2)當(dāng)且僅當(dāng)0時函數(shù)有意義，1x1，由于定義域關(guān)于原點不對稱，函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù)(3)函數(shù)的定義域為x|x0，關(guān)于原點對稱，當(dāng)x0時，x0，f(x)x22x1f(x)，當(dāng)x0時，x0，f(x)x22x1f(x)f(x)f(x)，即函數(shù)是奇函數(shù)(4)2x2且x0，函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱f(x)，又f(x)，f(x)f(x)，即函數(shù)是奇函數(shù)規(guī)律方法判斷函數(shù)的奇偶性，包括兩個必備條件：(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)f(x)0(奇函數(shù))或f(x)f(x)0(偶函數(shù))是否成立【訓(xùn)練1】 (1)(xx鄭州質(zhì)量預(yù)測)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增的是()Aylog2|x|Bycos 2xCyDylog2(2)(xx日照模擬)函數(shù)f(x)log2(x)(xR)與g(x)lg |x2|分別為_和_函數(shù)(填“奇”“偶”“既奇又偶”或“非奇非偶”)解析(1)對于A，函數(shù)ylog2|x|是偶函數(shù)且在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù)；對于B，函數(shù)ycos 2x在區(qū)間(1,2)上不是增函數(shù)；對于C，函數(shù)y不是偶函數(shù)；對于D，函數(shù)ylog2不是偶函數(shù)，故選A.(2)法一易知f(x)的定義域為R.f(x)log2xlog2log2(x)f(x)，f(x)是奇函數(shù)對于g(x)，由|x2|0，得x2.g(x)的定義域為x|x2g(x)的定義域關(guān)于原點不對稱，g(x)為非奇非偶函數(shù)法二易知f(x)的定義域為R.f(x)f(x)log2xlog2(x)log210，即f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)對于g(x)，由|x2|0，得x2.g(x)的定義域為x|x2g(x)的定義域關(guān)于原點不對稱，g(x)為非奇非偶函數(shù)答案(1)A(2)奇函數(shù)非奇非偶考點二函數(shù)周期性的應(yīng)用例2 (1)(xx安徽卷)若函數(shù)f(x)(xR)是周期為4的奇函數(shù)，且在0,2上的解析式為f(x)則ff_.(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x2)f(x)，當(dāng)2x3時，f(x)x，則f(105.5)_.解析(1)由于函數(shù)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，所以ffffffffsin .(2)由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為4，f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5)2.5.答案(1)(2)2.5規(guī)律方法函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì)對函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值【訓(xùn)練2】 (xx長春一模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且是以2為周期的周期函數(shù)若當(dāng)x0,1)時，f(x)2x1，則f(6)的值為()AB5 CD6解析f(x)是周期為2的奇函數(shù)f(6)fff(2log21).答案C考點三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3 (1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)(2)(xx新課標(biāo)全國卷)偶函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x2對稱，f(3)3，則f(1)_.解析(1)f(x)滿足f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，f(x)在區(qū)間2,2上是增函數(shù)，f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)(2)因為f(x)的圖象關(guān)于直線x2對稱，所以f(x)f(4x)，f(x)f(4x)，又f(x)f(x)，所以f(x)f(4x)，則f(1)f(41)f(3)3.答案(1)D(2)3規(guī)律方法比較不同區(qū)間內(nèi)的自變量對應(yīng)的函數(shù)值的大小對于偶函數(shù)，如果兩個自變量的取值在關(guān)于原點對稱的兩個不同的單調(diào)區(qū)間上，即正負(fù)不統(tǒng)一，應(yīng)利用圖象的對稱性將兩個值化歸到同一個單調(diào)區(qū)間，然后再根據(jù)單調(diào)性判斷【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增若實數(shù)a滿足f(log2a)f(a)2f(1)，則a的取值范圍是()A1,2B 深度思考你知道奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系了嗎(奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反)？在解決有關(guān)偶函數(shù)問題時，常利用f(x)f(|x|)這一結(jié)論進行轉(zhuǎn)化.C.D(0,2解析因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)f(|x|)，又因為alog2a，且f(x)是偶函數(shù)，所以f(log2a)f(a)2f(log2a)2f(|log2a|)2f(1)，即f(|log2a|)f(1)，又函數(shù)在0，)上單調(diào)遞增，所以0|log2a|1，即1log2a1，解得a2.答案C思想方法1奇偶性定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要方法之一，為了便于判斷，有時需要將函數(shù)進行化簡，或應(yīng)用定義的變通形式：f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)2已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)問題的一般思路是：利用函數(shù)的奇偶性的定義，轉(zhuǎn)化為f(x)f(x)(或f(x)f(x)對xR恒成立，從而可輕松建立方程，通過解方程，使問題獲得解決3若對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任一個自變量的值x都有f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)(a是常數(shù)且a0)，則f(x)是一個周期為2a的周期函數(shù)易錯防范1在用函數(shù)奇偶性的定義進行判斷時，要注意自變量在定義域內(nèi)的任意性不能因為個別值滿足f(x)f(x)，就確定函數(shù)的奇偶性2分段函數(shù)奇偶性判定時，要以整體的觀點進行判斷，不可以利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)而否定函數(shù)在整個定義域的奇偶性3函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(ax)f(bx)表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個關(guān)系時不要混淆.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1(xx重慶卷)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()Af(x)x1Bf(x)x2xCf(x)2x2xDf(x)2x2x解析函數(shù)f(x)x1和f(x)x2x既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，排除選項A和選項B；選項C中f(x)2x2x，則f(x)2x2x(2x2x)f(x)，所以f(x)2x2x為奇函數(shù)，排除選項C；選項D中f(x)2x2x，則f(x)2x2xf(x)，所以f(x)2x2x為偶函數(shù)，故選D.答案D2(xx烏魯木齊診斷)定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對任意x1，x20，)(x1x2)，有<0，則()Af(3)<f(2)<f(1)Bf(1)<f(2)<f(3)Cf(2)<f(1)<f(3)Df(3)<f(1)<f(2)解析由題意知f(x)為偶函數(shù)，所以f(2)f(2)，又x0，)時，f(x)為減函數(shù)，且3>2>1，f(3)<f(2)<f(1)，即f(3)<f(2)<f(1)，故選A.答案A3已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，則g(1)等于()A4B3 C2D1解析由題意知：f(1)g(1)f(1)g(1)2，f(1)g(1)f(1)g(1)4，得g(1)3.答案B4(xx福建統(tǒng)一檢測)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在0，)上單調(diào)遞增，若f(lg x)0，則x的取值范圍是()A(0,1)B(1,10)C(1，)D(10，)解析依題意，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，且f(0)0，不等式f(lg x)0f(0)等價于lg x0，故0x1，故選A.答案A5(xx山東卷)對于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)a0，使得x取定義域內(nèi)的每一個值，都有f(x)f(2ax)，則稱f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù)下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是()Af(x)Bf(x)x2Cf(x)tan xDf(x)cos(x1)解析由f(x)f(2ax)，yf(x)關(guān)于直線xa對稱(a0)，題中四個函數(shù)中，存在對稱軸的有B，D，而B中f(x)x2的對稱軸為x0，不滿足題意，故選D.答案D二、填空題6函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，且x0時，f(x)1，則當(dāng)x0時，f(x)_.解析f(x)為奇函數(shù)，x0時，f(x)1，當(dāng)x0時，x0，f(x)f(x)(1)，即x0時，f(x)(1)1.答案17(xx湖南卷)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函數(shù)，則a_.解析由題意知，f(x)的定義域為R，所以f(1)f(1)，從而有l(wèi)n(e31)aln(e31)a，解得a.答案8(xx四川卷)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x1,1)時，f(x)則f_.解析f(x)的周期為2，ff，又當(dāng)1x0時，f(x)4x22ff4221.答案1三、解答題9f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)2x23x1，求f(x)的解析式解當(dāng)x0時， x0，則f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是奇函數(shù)，故f(x)f(x)，所以當(dāng)x0時，f(x)2x23x1.因為f(x)為R上的奇函數(shù)，故f(0)0.綜上可得f(x)的解析式為f(x)10設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x2)f(x)，當(dāng)x0,2時，f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x2,4時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)f(1)f(2)f(2 014)(1)證明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)解x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,4(3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 014)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(0)f(1)f(2)1.能力提升題組(建議用時：25分鐘)11(xx石家莊模擬)已知f(x)是定義在R上以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)1，f(5)，則實數(shù)a的取值范圍為()A(1,4)B(2,1)C(1,2)D(1,0)解析因為函數(shù)f(x)是定義在R上以3為周期的偶函數(shù)，所以f(5)f(1)f(1)，即1，化簡得(a4)(a1)0，解得1a4，故選A.答案A12(xx鄭州模擬)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0x2時，f(x)x3x，則函數(shù)yf(x)的圖象在區(qū)間0,6上與x軸的交點個數(shù)為()A6B7 C8D9解析因為當(dāng)0x2時，f(x)x3x，又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且f(0)0，所以f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0，所以f(3)f(5)0.故函數(shù)yf(x)的圖象在區(qū)間0,6上與x軸的交點個數(shù)為7.答案B13已知函數(shù)yf(x)為奇函數(shù)，且對定義域內(nèi)的任意x都有f(1x)f(1x)當(dāng)x(2,3)時，f(x)log2(x1)給出以下4個結(jié)論：函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(k,0)(kZ)成中心對稱；函數(shù)y|f(x)|是以2為周期的周期函數(shù)；當(dāng)x(1,0)時，f(x)log2(1x)；函數(shù)yf(|x|)在(k，k1)(kZ)上單調(diào)遞增其中所有正確結(jié)論的序號為_解析因為f(2x)f(1(1x)f(x)f(x)，所以f(x)的周期為2，因為f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(0,0)對稱，所以f(x)的圖象也關(guān)于點(2,0)對稱，先作出函數(shù)f(x)在(2,3)上的圖象，然后作出在(1,2)上的圖象，左右平移即可得到f(x)的草圖如圖所示，由圖象可知f(x)關(guān)于點(k,0)(kZ)對稱，故正確；由y|f(x)|的圖象可知y|f(x)|的周期為2，故正確；當(dāng)1x0時，22x3，f(2x)log2(1x)f(x)，即f(x)log2(1x)，故正確；yf(|x|)在(1,0)上為減函數(shù)，故錯誤答案14設(shè)f(x)是(，)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當(dāng)0x1時，f(x)x.(1)求f()的值；(2)當(dāng)4x4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積；(3)寫出(，)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間解(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x2)f(x)，得：f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱又當(dāng)0x1時，f(x)x，且f(x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱，則f(x)的圖象如圖所示當(dāng)4x4時，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S4SOAB44.(3)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為4k1,4k1(kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間為4k1,4k3(kZ).