2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性最新考綱1.結(jié)合具體函數(shù),了解函數(shù)奇偶性的含義;2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性;3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義,會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性知 識(shí) 梳 理1函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(x)f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(x)f(x),那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)2.奇(偶)函數(shù)的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性相反(填“相同”、“相反”)(2)在公共定義域內(nèi)兩個(gè)奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù),兩個(gè)奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)兩個(gè)偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是偶函數(shù)一個(gè)奇函數(shù),一個(gè)偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù)(3)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x0處有定義,則f(0)0.3周期性(1)周期函數(shù):對(duì)于函數(shù)yf(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有f(xT)f(x),那么就稱(chēng)函數(shù)yf(x)為周期函數(shù),稱(chēng)T為這個(gè)函數(shù)的周期(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期診 斷 自 測(cè)1判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)精彩PPT展示(1)函數(shù)yx2,x(0,)是偶函數(shù)()(2)偶函數(shù)圖象不一定過(guò)原點(diǎn),奇函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn)()(3)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù),則函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa對(duì)稱(chēng)()(4)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(xa)f(x),則f(x)是周期為2a(a0)的周期函數(shù)()2(xx廣東卷)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()A.y2xByx3sin x Cy2cos x1Dyx22x解析易知y2x是奇函數(shù),yx3sin x和y2cos x1是偶函數(shù),yx22x是非奇非偶函數(shù),故選A.答案A3(xx新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是()Af(x)g(x)是偶函數(shù)B|f(x)|g(x)是奇函數(shù)Cf(x)|g(x)|是奇函數(shù)D|f(x)g(x)|是奇函數(shù)解析依題意得對(duì)任意xR,都有f(x)f(x),g(x)g(x),因此,f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x),f(x)g(x)是奇函數(shù),A錯(cuò);|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)是偶函數(shù),B錯(cuò);f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|,f(x)|g(x)|是奇函數(shù),C正確;|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函數(shù),D錯(cuò)答案C4已知f(x)在R上是奇函數(shù),且滿足f(x4)f(x),當(dāng)x(0,2)時(shí),f(x)2x2,則f(2 015)等于()A2B2 C98D98解析f(x4)f(x),f(x)是以4為周期的周期函數(shù),f(2 015)f(50343)f(3)f(1)又f(x)為奇函數(shù),f(1)f(1)2122,即f(2 015)2.答案A5(人教A必修1P39A6改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)x(1x),則x0時(shí),f(x)_.解析當(dāng)x0時(shí),則x0,f(x)(x)(1x)又f(x)為奇函數(shù),f(x)f(x)(x)(1x),f(x)x(1x)答案x(1x)考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)xlg(x);(2)f(x)(1x);(3)f(x)(4)f(x).解(1)|x|0,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),又f(x)(x)lg(x)xlg(x)xlg(x)f(x)即f(x)f(x),f(x)是偶函數(shù)(2)當(dāng)且僅當(dāng)0時(shí)函數(shù)有意義,1x1,由于定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng),函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù)(3)函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),當(dāng)x0時(shí),x0,f(x)x22x1f(x),當(dāng)x0時(shí),x0,f(x)x22x1f(x)f(x)f(x),即函數(shù)是奇函數(shù)(4)2x2且x0,函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)f(x),又f(x),f(x)f(x),即函數(shù)是奇函數(shù)規(guī)律方法判斷函數(shù)的奇偶性,包括兩個(gè)必備條件:(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件,所以首先考慮定義域;(2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系,在判斷奇偶性的運(yùn)算中,可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)f(x)0(奇函數(shù))或f(x)f(x)0(偶函數(shù))是否成立【訓(xùn)練1】 (1)(xx鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè))下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增的是()Aylog2|x|Bycos 2xCyDylog2(2)(xx日照模擬)函數(shù)f(x)log2(x)(xR)與g(x)lg |x2|分別為_(kāi)和_函數(shù)(填“奇”“偶”“既奇又偶”或“非奇非偶”)解析(1)對(duì)于A,函數(shù)ylog2|x|是偶函數(shù)且在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù);對(duì)于B,函數(shù)ycos 2x在區(qū)間(1,2)上不是增函數(shù);對(duì)于C,函數(shù)y不是偶函數(shù);對(duì)于D,函數(shù)ylog2不是偶函數(shù),故選A.(2)法一易知f(x)的定義域?yàn)镽.f(x)log2xlog2log2(x)f(x),f(x)是奇函數(shù)對(duì)于g(x),由|x2|0,得x2.g(x)的定義域?yàn)閤|x2g(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng),g(x)為非奇非偶函數(shù)法二易知f(x)的定義域?yàn)镽.f(x)f(x)log2xlog2(x)log210,即f(x)f(x),f(x)為奇函數(shù)對(duì)于g(x),由|x2|0,得x2.g(x)的定義域?yàn)閤|x2g(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng),g(x)為非奇非偶函數(shù)答案(1)A(2)奇函數(shù)非奇非偶考點(diǎn)二函數(shù)周期性的應(yīng)用例2 (1)(xx安徽卷)若函數(shù)f(x)(xR)是周期為4的奇函數(shù),且在0,2上的解析式為f(x)則ff_.(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x2)f(x),當(dāng)2x3時(shí),f(x)x,則f(105.5)_.解析(1)由于函數(shù)f(x)是周期為4的奇函數(shù),所以ffffffffsin .(2)由f(x2)f(x),得f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)f(x),所以函數(shù)f(x)的周期為4,f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5)2.5.答案(1)(2)2.5規(guī)律方法函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)對(duì)函數(shù)周期性的考查,主要涉及函數(shù)周期性的判斷,利用函數(shù)周期性求值【訓(xùn)練2】 (xx長(zhǎng)春一模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且是以2為周期的周期函數(shù)若當(dāng)x0,1)時(shí),f(x)2x1,則f(6)的值為()AB5 CD6解析f(x)是周期為2的奇函數(shù)f(6)fff(2log21).答案C考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3 (1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),則()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)(2)(xx新課標(biāo)全國(guó)卷)偶函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱(chēng),f(3)3,則f(1)_.解析(1)f(x)滿足f(x4)f(x),f(x8)f(x),函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù),則f(25)f(1),f(80)f(0),f(11)f(3)由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x4)f(x),得f(11)f(3)f(1)f(1)f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù),f(x)在R上是奇函數(shù),f(x)在區(qū)間2,2上是增函數(shù),f(1)f(0)f(1),即f(25)f(80)f(11)(2)因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱(chēng),所以f(x)f(4x),f(x)f(4x),又f(x)f(x),所以f(x)f(4x),則f(1)f(41)f(3)3.答案(1)D(2)3規(guī)律方法比較不同區(qū)間內(nèi)的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大小對(duì)于偶函數(shù),如果兩個(gè)自變量的取值在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間上,即正負(fù)不統(tǒng)一,應(yīng)利用圖象的對(duì)稱(chēng)性將兩個(gè)值化歸到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間,然后再根據(jù)單調(diào)性判斷【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間0,)上單調(diào)遞增若實(shí)數(shù)a滿足f(log2a)f(a)2f(1),則a的取值范圍是()A1,2B 深度思考你知道奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系了嗎(奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)性相同,偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)性相反)?在解決有關(guān)偶函數(shù)問(wèn)題時(shí),常利用f(x)f(|x|)這一結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化.C.D(0,2解析因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以f(x)f(x)f(|x|),又因?yàn)閍log2a,且f(x)是偶函數(shù),所以f(log2a)f(a)2f(log2a)2f(|log2a|)2f(1),即f(|log2a|)f(1),又函數(shù)在0,)上單調(diào)遞增,所以0|log2a|1,即1log2a1,解得a2.答案C思想方法1奇偶性定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要方法之一,為了便于判斷,有時(shí)需要將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),或應(yīng)用定義的變通形式:f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)2已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)問(wèn)題的一般思路是:利用函數(shù)的奇偶性的定義,轉(zhuǎn)化為f(x)f(x)(或f(x)f(x)對(duì)xR恒成立,從而可輕松建立方程,通過(guò)解方程,使問(wèn)題獲得解決3若對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任一個(gè)自變量的值x都有f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)(a是常數(shù)且a0),則f(x)是一個(gè)周期為2a的周期函數(shù)易錯(cuò)防范1在用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷時(shí),要注意自變量在定義域內(nèi)的任意性不能因?yàn)閭€(gè)別值滿足f(x)f(x),就確定函數(shù)的奇偶性2分段函數(shù)奇偶性判定時(shí),要以整體的觀點(diǎn)進(jìn)行判斷,不可以利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)而否定函數(shù)在整個(gè)定義域的奇偶性3函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(ax)f(bx)表明的是函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性,函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函數(shù)的周期性,在使用這兩個(gè)關(guān)系時(shí)不要混淆.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí):40分鐘)一、選擇題1(xx重慶卷)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()Af(x)x1Bf(x)x2xCf(x)2x2xDf(x)2x2x解析函數(shù)f(x)x1和f(x)x2x既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù),排除選項(xiàng)A和選項(xiàng)B;選項(xiàng)C中f(x)2x2x,則f(x)2x2x(2x2x)f(x),所以f(x)2x2x為奇函數(shù),排除選項(xiàng)C;選項(xiàng)D中f(x)2x2x,則f(x)2x2xf(x),所以f(x)2x2x為偶函數(shù),故選D.答案D2(xx烏魯木齊診斷)定義在R上的偶函數(shù)f(x),對(duì)任意x1,x20,)(x1x2),有0,則()Af(3)f(2)f(1)Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3)Df(3)f(1)21,f(3)f(2)f(1),即f(3)f(2)f(1),故選A.答案A3已知f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),且f(1)g(1)2,f(1)g(1)4,則g(1)等于()A4B3 C2D1解析由題意知:f(1)g(1)f(1)g(1)2,f(1)g(1)f(1)g(1)4,得g(1)3.答案B4(xx福建統(tǒng)一檢測(cè))已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且在0,)上單調(diào)遞增,若f(lg x)0,則x的取值范圍是()A(0,1)B(1,10)C(1,)D(10,)解析依題意,函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),且f(0)0,不等式f(lg x)0f(0)等價(jià)于lg x0,故0x1,故選A.答案A5(xx山東卷)對(duì)于函數(shù)f(x),若存在常數(shù)a0,使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值,都有f(x)f(2ax),則稱(chēng)f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù)下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是()Af(x)Bf(x)x2Cf(x)tan xDf(x)cos(x1)解析由f(x)f(2ax),yf(x)關(guān)于直線xa對(duì)稱(chēng)(a0),題中四個(gè)函數(shù)中,存在對(duì)稱(chēng)軸的有B,D,而B(niǎo)中f(x)x2的對(duì)稱(chēng)軸為x0,不滿足題意,故選D.答案D二、填空題6函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù),且x0時(shí),f(x)1,則當(dāng)x0時(shí),f(x)_.解析f(x)為奇函數(shù),x0時(shí),f(x)1,當(dāng)x0時(shí),x0,f(x)f(x)(1),即x0時(shí),f(x)(1)1.答案17(xx湖南卷)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函數(shù),則a_.解析由題意知,f(x)的定義域?yàn)镽,所以f(1)f(1),從而有l(wèi)n(e31)aln(e31)a,解得a.答案8(xx四川卷)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù),當(dāng)x1,1)時(shí),f(x)則f_.解析f(x)的周期為2,ff,又當(dāng)1x0時(shí),f(x)4x22ff4221.答案1三、解答題9f(x)為R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)2x23x1,求f(x)的解析式解當(dāng)x0時(shí), x0,則f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是奇函數(shù),故f(x)f(x),所以當(dāng)x0時(shí),f(x)2x23x1.因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù),故f(0)0.綜上可得f(x)的解析式為f(x)10設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x2)f(x),當(dāng)x0,2時(shí),f(x)2xx2.(1)求證:f(x)是周期函數(shù);(2)當(dāng)x2,4時(shí),求f(x)的解析式;(3)計(jì)算f(0)f(1)f(2)f(2 014)(1)證明f(x2)f(x),f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)解x2,4,x4,2,4x0,2,f(4x)2(4x)(4x)2x26x8,又f(4x)f(x)f(x),f(x)x26x8,即f(x)x26x8,x2,4(3)解f(0)0,f(1)1,f(2)0,f(3)1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù),f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 014)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(0)f(1)f(2)1.能力提升題組(建議用時(shí):25分鐘)11(xx石家莊模擬)已知f(x)是定義在R上以3為周期的偶函數(shù),若f(1)1,f(5),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(1,4)B(2,1)C(1,2)D(1,0)解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上以3為周期的偶函數(shù),所以f(5)f(1)f(1),即1,化簡(jiǎn)得(a4)(a1)0,解得1a4,故選A.答案A12(xx鄭州模擬)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù),且當(dāng)0x2時(shí),f(x)x3x,則函數(shù)yf(x)的圖象在區(qū)間0,6上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A6B7 C8D9解析因?yàn)楫?dāng)0x2時(shí),f(x)x3x,又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù),且f(0)0,所以f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0,所以f(3)f(5)0.故函數(shù)yf(x)的圖象在區(qū)間0,6上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為7.答案B13已知函數(shù)yf(x)為奇函數(shù),且對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有f(1x)f(1x)當(dāng)x(2,3)時(shí),f(x)log2(x1)給出以下4個(gè)結(jié)論:函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(k,0)(kZ)成中心對(duì)稱(chēng);函數(shù)y|f(x)|是以2為周期的周期函數(shù);當(dāng)x(1,0)時(shí),f(x)log2(1x);函數(shù)yf(|x|)在(k,k1)(kZ)上單調(diào)遞增其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)解析因?yàn)閒(2x)f(1(1x)f(x)f(x),所以f(x)的周期為2,因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng),所以f(x)的圖象也關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱(chēng),先作出函數(shù)f(x)在(2,3)上的圖象,然后作出在(1,2)上的圖象,左右平移即可得到f(x)的草圖如圖所示,由圖象可知f(x)關(guān)于點(diǎn)(k,0)(kZ)對(duì)稱(chēng),故正確;由y|f(x)|的圖象可知y|f(x)|的周期為2,故正確;當(dāng)1x0時(shí),22x3,f(2x)log2(1x)f(x),即f(x)log2(1x),故正確;yf(|x|)在(1,0)上為減函數(shù),故錯(cuò)誤答案14設(shè)f(x)是(,)上的奇函數(shù),f(x2)f(x),當(dāng)0x1時(shí),f(x)x.(1)求f()的值;(2)當(dāng)4x4時(shí),求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積;(3)寫(xiě)出(,)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間解(1)由f(x2)f(x)得,f(x4)f(x2)2f(x2)f(x),所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù),f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x2)f(x),得:f(x1)2f(x1)f(x1),即f(1x)f(1x)故知函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng)又當(dāng)0x1時(shí),f(x)x,且f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng),則f(x)的圖象如圖所示當(dāng)4x4時(shí),f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S,則S4SOAB44.(3)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為4k1,4k1(kZ),單調(diào)遞減區(qū)間為4k1,4k3(kZ).- 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- 2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性 2019 2020 年高 數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 第二 函數(shù) 概念 基本 初等 奇偶性 周期性
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