2019-2020年高中數(shù)學(xué) 排列與組合 版塊三 基本計數(shù)原理的綜合應(yīng)用完整講義(學(xué)生版).doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 排列與組合 版塊三 基本計數(shù)原理的綜合應(yīng)用完整講義(學(xué)生版) 知識內(nèi)容 1.基本計數(shù)原理 ⑴加法原理 分類計數(shù)原理:做一件事,完成它有類辦法,在第一類辦法中有種不同的方法,在第二類辦法中有種方法,……,在第類辦法中有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.又稱加法原理. ⑵乘法原理 分步計數(shù)原理:做一件事,完成它需要分成個子步驟,做第一個步驟有種不同的方法,做第二個步驟有種不同方法,……,做第個步驟有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.又稱乘法原理. ⑶加法原理與乘法原理的綜合運用 如果完成一件事的各種方法是相互獨立的,那么計算完成這件事的方法數(shù)時,使用分類計數(shù)原理.如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的,即各個步驟都必須完成,這件事才告完成,那么計算完成這件事的方法數(shù)時,使用分步計數(shù)原理. 分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ),也是求解排列、組合問題的基本思想方法,這兩個原理十分重要必須認(rèn)真學(xué)好,并正確地靈活加以應(yīng)用. 2. 排列與組合 ⑴排列:一般地,從個不同的元素中任取個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列.(其中被取的對象叫做元素) 排列數(shù):從個不同的元素中取出個元素的所有排列的個數(shù),叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù),用符號表示. 排列數(shù)公式:,,并且. 全排列:一般地,個不同元素全部取出的一個排列,叫做個不同元素的一個全排列. 的階乘:正整數(shù)由到的連乘積,叫作的階乘,用表示.規(guī)定:. ⑵組合:一般地,從個不同元素中,任意取出個元素并成一組,叫做從個元素中任取個元素的一個組合. 組合數(shù):從個不同元素中,任意取出個元素的所有組合的個數(shù),叫做從個不同元素中,任意取出個元素的組合數(shù),用符號表示. 組合數(shù)公式:,,并且. 組合數(shù)的兩個性質(zhì):性質(zhì)1:;性質(zhì)2:.(規(guī)定) ⑶排列組合綜合問題 解排列組合問題,首先要用好兩個計數(shù)原理和排列組合的定義,即首先弄清是分類還是分步,是排列還是組合,同時要掌握一些常見類型的排列組合問題的解法: 1.特殊元素、特殊位置優(yōu)先法 元素優(yōu)先法:先考慮有限制條件的元素的要求,再考慮其他元素; 位置優(yōu)先法:先考慮有限制條件的位置的要求,再考慮其他位置; 2.分類分步法:對于較復(fù)雜的排列組合問題,常需要分類討論或分步計算,一定要做到分類明確,層次清楚,不重不漏. 3.排除法,從總體中排除不符合條件的方法數(shù),這是一種間接解題的方法. 4.捆綁法:某些元素必相鄰的排列,可以先將相鄰的元素“捆成一個”元素,與其它元素進(jìn)行排列,然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列. 5.插空法:某些元素不相鄰的排列,可以先排其它元素,再讓不相鄰的元素插空. 6.插板法:個相同元素,分成組,每組至少一個的分組問題——把個元素排成一排,從個空中選個空,各插一個隔板,有. 7.分組、分配法:分組問題(分成幾堆,無序).有等分、不等分、部分等分之別.一般地平均分成堆(組),必須除以!,如果有堆(組)元素個數(shù)相等,必須除以! 8.錯位法:編號為1至的個小球放入編號為1到的個盒子里,每個盒子放一個小球,要求小球與盒子的編號都不同,這種排列稱為錯位排列,特別當(dāng),3,4,5時的錯位數(shù)各為1,2,9,44.關(guān)于5、6、7個元素的錯位排列的計算,可以用剔除法轉(zhuǎn)化為2個、3個、4個元素的錯位排列的問題. 1.排列與組合應(yīng)用題,主要考查有附加條件的應(yīng)用問題,解決此類問題通常有三種途徑: ①元素分析法:以元素為主,應(yīng)先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素; ②位置分析法:以位置為主考慮,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置; ③間接法:先不考慮附加條件,計算出排列或組合數(shù),再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù). 求解時應(yīng)注意先把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題;再通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理;然后分析題目條件,避免“選取”時重復(fù)和遺漏;最后列出式子計算作答. 2.具體的解題策略有: ①對特殊元素進(jìn)行優(yōu)先安排; ②理解題意后進(jìn)行合理和準(zhǔn)確分類,分類后要驗證是否不重不漏; ③對于抽出部分元素進(jìn)行排列的問題一般是先選后排,以防出現(xiàn)重復(fù); ④對于元素相鄰的條件,采取捆綁法;對于元素間隔排列的問題,采取插空法或隔板法; ⑤順序固定的問題用除法處理;分幾排的問題可以轉(zhuǎn)化為直排問題處理; ⑥對于正面考慮太復(fù)雜的問題,可以考慮反面. ⑦對于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問題,需要構(gòu)造模型. 典例分析 基本計數(shù)原理的綜合應(yīng)用 【例1】 用,,,,排成無重復(fù)字的五位數(shù),要求偶數(shù)字相鄰,奇數(shù)字也相鄰,則這樣的五位數(shù)的個數(shù)是_________.(用數(shù)字作答) 【例2】 若自然數(shù)使得作豎式加法均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象.則稱為“可連數(shù)”.例如:是“可連數(shù)”,因不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象;不是“可連數(shù)”,因產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象.那么,小于的“可連數(shù)”的個數(shù)為( ) A. B. C. D. 【例3】 由正方體的8個頂點可確定多少個不同的平面? 【例4】 如圖,一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域,現(xiàn)給地圖著色,要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇,則不同的著色方法共有 種.(以數(shù)字作答) 【例5】 如圖,一環(huán)形花壇分成四塊,現(xiàn)有4種不同的花供選種,要求在每塊里種1種花,且相鄰的2塊種不同的花,則不同的種法總數(shù)為( ) A.96 B.84 C.60 D.48 【例6】 某城市在中心廣場建造一個花圃,花圃分為6個部分(如圖).現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花,每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花,不同的栽種方法有 種.(以數(shù)字作答) 【例7】 分母是385的最簡真分?jǐn)?shù)一共有多少個?并求它們的和. 【例8】 某人有4種顏色的燈泡(每種顏色的燈泡足夠多),要在如圖所示的6個點A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個燈泡,要求同一條線段兩端的燈泡不同色,則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有 種(用數(shù)字作答) 【例9】 用,,,,,這個數(shù)字,可以組成_______個大于,小于的數(shù)字不重復(fù)的四位數(shù). 【例10】 某通訊公司推出一組手機卡號碼,卡號的前七位數(shù)字固定,從“”到“”共個號碼.公司規(guī)定:凡卡號的后四位帶有數(shù)字“”或“”的一律作為“優(yōu)惠卡”,則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為( ?。? A. B. C. D. 【例11】 同室人各寫張賀年卡,先集中起來,然后每人從中各拿張別人送出的賀年卡,則張賀年卡不同的分配方式有( ) A.種 B.種 C.種 D.種 【例12】 某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了3個新節(jié)目,如果將這3個節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同的插法種數(shù)為( ) A. B. C. D. 【例13】 某班學(xué)生參加植樹節(jié)活動,苗圃中有甲、乙、丙3種不同的樹苗,從中取出5棵分別種植在排成一排的5個樹坑內(nèi),同種樹苗不能相鄰,且第一個樹坑和第5個樹坑只能種甲種樹苗的種法共( ) A.15種 B.12種 C.9種 D.6種 【例14】 如圖所示,畫中的一朵花,有五片花瓣.現(xiàn)有四種不同顏色的畫筆可供選擇,規(guī)定每片花瓣都要涂色,且只涂一種顏色.若涂完的花中顏色相同的花瓣恰有三片,則不同涂法種數(shù)為 (用數(shù)字作答). 【例15】 用到這個數(shù)字,可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為( ) A. B. C. D. 【例16】 用紅、黃、藍(lán)三種顏色之一去涂圖中標(biāo)號為的個小正方形(如圖),使得任意相鄰(有公共邊的)小正方形所涂顏色都不相同,且“、、”號數(shù)字涂相同的顏色,則符合條件的所有涂法共有( )種. A. B. C. D. 【例17】 足球比賽的計分規(guī)則是:勝一場得3分,平一場得1分,負(fù)一場得0分,那么一個隊打14場共得19分的情況有( ) A.種 B.種 C.種 D.種- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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