2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二講 直線與圓的位置關(guān)系 五 與圓有關(guān)的比例線段課堂探究 新人教A版選修4-1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二講 直線與圓的位置關(guān)系 五 與圓有關(guān)的比例線段課堂探究 新人教A版選修4-1 探究一相交弦定理的應(yīng)用 相交弦定理的結(jié)論是線段成比例,也可以看成等式,因此利用相交弦定理既可以得到成比例線段,又可以建立方程來解決問題.如下面的典型例題1中,利用相交弦定理列出關(guān)于r的方程. 【典型例題1】如圖,過⊙O內(nèi)一點A作直線,交⊙O于B,C兩點,且ABAC=64,OA=10,則⊙O的半徑r=__________. 解析:如圖所示,作直線OA交⊙O于E,F(xiàn)兩點, 則AE=r-10,AF=r+10. 由相交弦定理, 得(r-10)(r+10)=64, 解得r1=2,r2=-2(不合題意,舍去). 故r=2. 答案:2 點評 BC為⊙O的一條弦,再找到直徑EF,利用相交弦定理即可. 探究二割線定理、切割線定理的應(yīng)用 有切線和割線,往往就考查割線定理、切割線定理,而且有時需要通過轉(zhuǎn)化、代換,才能運用定理解題. 【典型例題2】如圖,已知⊙O的割線PAB交⊙O于點A和點B,PA=6 cm,AB=8 cm,PO=10.9 cm,求⊙O的半徑. 思路分析:由于PO既不是⊙O的切線,也不是割線,故需將PO延長交⊙O于點D,構(gòu)成圓的一條割線,而OD又恰好是⊙O的半徑,于是運用割線定理解題即可. 解:如圖,將PO延長交⊙O于D. 根據(jù)割線定理,可得PAPB=PCPD. 設(shè)⊙O的半徑為r cm,則 6(6+8)=(10.9-r)(10.9+r), 解得r=5.9,即⊙O的半徑為5.9 cm. 反思 如果已知條件中出現(xiàn)過圓外同一點的圓的割線,那么常用到割線定理.本題中,利用割線定理列出了關(guān)于半徑r的方程,進而求出了r的值. 【典型例題3】如圖,AB切⊙O于B,ACD為割線,E為的中點,BE交DC于F,求證:AF2=ACAD. 思路分析:由切割線定理可知ACAD=AB2,故只需證AF=AB即可. 證明:連接BC,BD. ∵E為的中點, ∴∠DBE=∠CBE. 又AB是⊙O的切線, ∴∠ABC=∠CDB. ∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CDB, 即∠ABF=∠AFB.∴AB=AF. 又AB是⊙O的切線,ACD為割線,由切割線定理可知ACAD=AB2,∴AF2=ACAD. 點評 已知條件中同時出現(xiàn)過圓外同一個點的切線和割線,那么常用到切割線定理. 探究三切線長定理的應(yīng)用 如果已知條件中出現(xiàn)過圓外同一點的切線,那么常用到切線長定理.要注意分析其中的等量關(guān)系,即①切線長相等,②圓外點與圓心的連線平分兩條切線的夾角,然后結(jié)合直角三角形、相似三角形等圖形的有關(guān)性質(zhì)進行計算與證明. 【典型例題4】如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點,過點C的切線與過A,B兩點的切線分別交于點E,F(xiàn),AF與BE交于點P. 求證:∠EPC=∠EBF. 思路分析:→→→→ 證明:∵EA,EF,F(xiàn)B是⊙O的切線, ∴EA=EC,F(xiàn)C=FB. ∵EA,F(xiàn)B切⊙O于A,B,AB是直徑, ∴EA⊥AB,F(xiàn)B⊥AB.∴EA∥FB.∴=. ∴=,∴CP∥FB.∴∠EPC=∠EBF. 探究四易錯辨析 易錯點:因定理結(jié)論記憶不清致誤 【典型例題5】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90,O是AB上一點,以O(shè)為圓心,以O(shè)B為半徑作圓交AC于E,F(xiàn),交AB于D.若E是的中點,且AE∶EF=3∶1,F(xiàn)C=4,求∠CBF的正弦值及BC的長. 錯解:連接OE,DF,OF. ∵E為的中點,∴∠DOE=∠DBF. ∴OE∥BF,∴AO∶OB=AE∶EF=3∶1, ∴OE∶BF=3∶4.設(shè)OB=r,則OA=3r,BF=r. ∴AD=AO-DO=AO-OB=3r-r=2r. 又由割線定理得,AFAD=AEAB, ∴===2. 錯因分析:不能正確運用割線定理,因不滿足定理對應(yīng)條件而致誤. 正解:如圖,連接OE,DF,OF, ∵E為的中點, ∴∠DOE=∠DBF,∴OE∥BF, ∴AO∶OB=AE∶EF=3∶1,∴OE∶BF=3∶4. 設(shè)OB=r,則AO=3r,BF=r, ∴AD=AO-DO=AO-OB=3r-r=2r. 又由割線定理得AEAF=ADAB. ∴AEAF=2r4r, 即3EF4EF=8r2, ∴EF=r. 又由切割線定理,得 BC2=CFCE=4(4+EF)=4. 在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2, 即(4r)2+4=(4EF+4)2=2, 解得r=, ∴BC=. 又∵∠CBF=∠BDF, 在Rt△DFB中,sin∠BDF==, ∴sin∠CBF=.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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