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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試卷 理(含解析).doc

  • 資源ID:2745358       資源大?。?span id="xplpmgf" class="font-tahoma">158.50KB        全文頁數(shù):14頁
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試卷 理(含解析).doc

2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試卷 理(含解析)一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的1已知集合A=x|x20,B=x|xa,若AB=A,則實數(shù)a的取值范圍是( )A(,2B2,+)C(,2D2,+)考點:交集及其運算專題:集合分析:化簡A,再根據(jù)AB=A,求得實數(shù)a的取值范圍解答:解:集合A=x|x20=x|x2,B=x|xa,AB=A,a2,故選:D點評:本題主要考查兩個集合的交集的定義和求法,屬于基礎(chǔ)題2在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=(1+2i)2對應(yīng)的點位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限考點:復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義;復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算專題:數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)分析:直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡,得到復(fù)數(shù)z對應(yīng)點的坐標(biāo),則答案可求解答:解:z=(1+2i)2=1+4i+(2i)2=3+4i,復(fù)數(shù)z=(1+2i)2對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(3,4),位于第二象限故選:B點評:本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算,考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題3設(shè)平面向量,均為非零向量,則“()=0”是“=”的( )A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件考點:必要條件、充分條件與充要條件的判斷專題:簡易邏輯分析:根據(jù)向量的數(shù)量積關(guān)系,以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論解答:解:若=,則()=0成立,必要性成立,若()=0得=,則=不一定成立,充分性不成立故“()=0”是“=”的必要而不充分條件,故選:B點評:本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,利用向量的數(shù)量積是解決本題的關(guān)鍵,比較基礎(chǔ)4如圖是某算法的程序框圖,則程序運行后輸出的結(jié)果是( )A8B9C10D11考點:循環(huán)結(jié)構(gòu)專題:算法和程序框圖分析:根據(jù)框圖的流程依次計算程序運行的結(jié)果,直到滿足條件,跳出循環(huán),計算輸出s的值解答:解:由程序框圖知:第一次循環(huán)n=1,s=1+1=0,;第二次循環(huán)n=2,s=0+1+2=3;第三次循環(huán)n=3,s=31+3=5;第四次循環(huán)n=4,s=5+1+4=10滿足條件s9,跳出循環(huán),輸出s=10故選:C點評:本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,根據(jù)框圖的流程依次計算程序運行的結(jié)果是解答此類問題的常用方法5一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )A2B1CD考點:由三視圖求面積、體積專題:計算題;空間位置關(guān)系與距離分析:由三視圖知幾何體為四棱錐,且四棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,棱長為1,底面是對角線長為2的正方形,把數(shù)據(jù)代入體積公式計算解答:解:由三視圖知幾何體為四棱錐,且四棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,棱長為1,底面是對角線長為2的正方形,其邊長為,四棱錐的體積V=1=故選C點評:本題考查了由三視圖求幾何體的體積,解題的關(guān)鍵是判斷幾何體的形狀及三視圖的數(shù)據(jù)所對應(yīng)的幾何量6將函數(shù)的圖象向左平移m(m0)個單位長度后,所得到的圖象關(guān)于y軸對稱,則m的最小值是( )ABCD考點:兩角和與差的正弦函數(shù);函數(shù)y=Asin(x+)的圖象變換專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析:函數(shù)解析式提取2變形后,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù),利用平移規(guī)律得到平移后的解析式,根據(jù)所得的圖象關(guān)于y軸對稱,即可求出m的最小值解答:解:y=cosx+sinx=2(cosx+sinx)=2sin(x+),圖象向左平移m(m0)個單位長度得到y(tǒng)=2sin(x+m)+=2sin(x+m+),所得的圖象關(guān)于y軸對稱,m+=k+(kZ),則m的最小值為故選B點評:此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式,以及函數(shù)y=Asin(x+)的圖象變換,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵7設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30的直線交于C于A,B兩點,則|AB|=( )AB6C12D7考點:拋物線的簡單性質(zhì)專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析:求出焦點坐標(biāo),利用點斜式求出直線的方程,代入拋物線的方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,由弦長公式求得|AB|解答:解:由y2=3x得其焦點F(,0),準(zhǔn)線方程為x=則過拋物線y2=3x的焦點F且傾斜角為30的直線方程為y=tan30(x)=(x)代入拋物線方程,消去y,得16x2168x+9=0設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)則x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+=+=12故答案為:12點評:本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,弦長公式的應(yīng)用,運用弦長公式是解題的難點和關(guān)鍵8在圓的一條直徑上,任取一點作與直徑垂直的弦,則其弦長超過該圓的內(nèi)接等邊三角形的邊長的概率為( )ABCD考點:幾何概型專題:計算題;概率與統(tǒng)計分析:由題意可得:要使弦長大于CD的長,就必須使圓心O到弦的距離小于|OF|,即可得出結(jié)論、解答:解:如圖所示,BCD是圓內(nèi)接等邊三角形,過直徑BE上任一點作垂直于直徑的弦,顯然當(dāng)弦為CD時就是BCD的邊長,要使弦長大于CD的長,就必須使圓心O到弦的距離小于|OF|,記事件A=弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長,由幾何概型概率公式得P(A)=,即弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是故選:C點評:本題主要考查幾何概型概率的計算,是簡單題,確定得到各自的幾何度量是解決問題的關(guān)鍵9設(shè)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),當(dāng)x0,1時,f(x)=x3,則方程f(x)=lg|x|根的個數(shù)為( )A12B16C18D20考點:函數(shù)的周期性;函數(shù)奇偶性的性質(zhì)專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析:由函數(shù)f(x)的周期性、奇偶性及函數(shù)在x0,1時的解析式可知其大致圖象,結(jié)合函數(shù)y=lg|x|也為偶函數(shù)可得方程f(x)=lg|x|根的個數(shù)解答:解:當(dāng)x0,1時,f(x)=x3,函數(shù)是偶函數(shù),當(dāng)x1,0時f(x)=x3,函數(shù)f(x)的周期為2,又函數(shù)y=lgx當(dāng)x=10時函數(shù)值為1,函數(shù)y=lgx與y=f(x)在0,10內(nèi)有9個交點,而函數(shù)y=lg|x|也為偶函數(shù),由對稱性可知,方程f(x)=lg|x|根的個數(shù)為18故選:C點評:本題考查了函數(shù)的性質(zhì),考查了方程根的個數(shù)與函數(shù)零點間的關(guān)系,是中檔題10如圖,正ABC的中心位于點G(0,1),A(0,2),動點P從A點出發(fā)沿ABC的邊界按逆時針方向運動,設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度AGP=x(0x2),向量在=(1,0)方向的射影為y(O為坐標(biāo)原點),則y關(guān)于x的函數(shù)y=f(x)的圖象是( )ABCD考點:函數(shù)的圖象專題:綜合題;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析:由題意,可通過幾個特殊點來確定正確選項,可先求出射影長最小時的點B時x的值及y的值,再研究點P從點B向點C運動時的圖象變化規(guī)律,由此即可得出正確選項解答:解:設(shè)BC邊與Y軸交點為M,已知可得GM=0.5,故AM=1.5,正三角形的邊長為連接BG,可得tanBGM=,即BGM=,所以tanBGA=,由圖可得當(dāng)x=時,射影為y取到最小值,其大小為(BC長為),由此可排除A,B兩個選項;又當(dāng)點P從點B向點M運動時,x變化相同的值,此時射影長的變化變小,即圖象趨于平緩,由此可以排除D,C是適合的;故選:C點評:由于本題的函數(shù)關(guān)系式不易獲得,可采取特值法,找?guī)讉€特殊點以排除法得出正確選項,這是條件不足或正面解答較難時常見的方法二、選做題:請在下列兩題中選一題作答.若兩題都做,則按第一題評閱計分.本題共5分.【不等式選做題】11已知函數(shù)f(x)=的定義域為R,則實數(shù)m的取值范圍是(,31,+)考點:函數(shù)的定義域及其求法專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析:題目中條件:“f(x)的定義域為R”轉(zhuǎn)化為|x+2|+|xm|10在R上恒成立,下面只要求出函數(shù)|x+2|+|xm|的最小值,使最小值大于等于2,解之即可解答:解:解:f(x)的定義域為R,|x+2|+|xm|10在R上恒成立而|x+2|+|xm|m+2|m+2|1,解得:m3或m1故答案為:(,31,+)點評:本題考查函數(shù)的定義域及其求法,不等式的恒成立問題,屬于中檔題,求不等式恒成立的參數(shù)的取值范圍,是經(jīng)久不衰的話題,也是xx高考的熱點,它可以綜合地考查中學(xué)數(shù)學(xué)思想與方法,體現(xiàn)知識的交匯【坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題】12在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)),圓C的極坐標(biāo)方程為()若圓C關(guān)于直線l對稱,求a的值;()若圓C與直線l相切,求a的值考點:參數(shù)方程化成普通方程專題:坐標(biāo)系和參數(shù)方程分析:(I)把直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程分別化為直角坐標(biāo)方程,再利用圓C關(guān)于直線l對稱可得直線l過圓心,即可得出(II)利用圓C與直線l相切點C到直線l的距離d=r,即可得出解答:解:()由直線l的參數(shù)方程為為參數(shù))消去參數(shù)t可得:直線l:x+ay+a5=0; 由圓C的極坐標(biāo)方程為,化為2=2cos+2sin,x2+y22x2y=0,即(x1)2+(y1)2=2圓心為C(1,1),半徑圓C關(guān)于直線l對稱,直線l過圓心,1+a1+a5=0,解得a=2; ()點C到直線l的距離d=,圓C與直線l相切,d=r,整理得a28a+7=0,解得a=1或a=7點評:本題考查了把直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程分別化為直角坐標(biāo)方程、圓的對稱性質(zhì)、圓C與直線l相切點C到直線l的距離d=r等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于基礎(chǔ)題三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.13函數(shù)f(x)=log2(3x+1)的值域為(0,+)考點:對數(shù)函數(shù)的值域與最值專題:計算題分析:先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出真數(shù)3x+1的范圍,然后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域即可解答:解:3x+11log2(3x+1)0f(x)=log2(3x+1)的值域為(0,+)故答案為:(0,+)點評:本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的值域,同時考查了指數(shù)函數(shù)的值域,屬于基礎(chǔ)題14曲線y=x2+1與直線x=0,x=1及x軸所圍成的圖形的面積是考點:定積分在求面積中的應(yīng)用專題:計算題;導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用分析:確定積分公式中x的取值范圍,根據(jù)定積分的幾何意義表示出區(qū)域的面積,根據(jù)定積分公式解之即可解答:解:由題意,S=(x2+1)dx=()=,故答案為:點評:本題求曲線圍成的曲邊圖形的面積,著重考查了定積分的幾何意義和積分計算公式等知識,屬于基礎(chǔ)題15已知數(shù)列a1,a2,a8,滿足a1=xx,a8=xx,且an+1an1,1(其中n=1,2,7),則這樣的數(shù)列an共有252個考點:數(shù)列的函數(shù)特性專題:創(chuàng)新題型;排列組合分析:運用數(shù)列相鄰兩項差的值,可能夠取值的情況分類討論,轉(zhuǎn)化為排列組合問題求解解答:解:數(shù)列a1,a2,a8,滿足a1=xx,a8=xx,a8a1=a8a7+a7a6+a6a5+a5a4+a4a3+a3a2+a2a1=1,an+1an1,1(其中n=1,2,7),共有7對差,可能an+1an=1,或an+1an=,或an+1an=1設(shè)1有x個,有y個,1有7xy個,則想x(1)+1(7xy)=1,即6x+2y=18,x,y0,7的整數(shù),可判斷;x=1,y=6;x=2,y=3;x=3,y=0,三組符合所以共有數(shù)列C+CCC+=7+210+35=252故答案為:252點評:本題考查了方程的解轉(zhuǎn)化為組合問題等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,考查了推理能力,轉(zhuǎn)化能力16已知函數(shù)f(x)=ax33x2+1,若f(x)存在唯一的零點x,且x0,則a的取值范圍是a2考點:函數(shù)的零點專題:計算題;導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析:由題意判斷出a0,再由題意可知f()0,從而求出a解答:解:函數(shù)f(x)=ax33x2+1,f(0)=1,且f(x)存在唯一的零點x,且x0,a0,f(x)=3ax26x=3x(ax2)=0時的解為x=0,x=;f()=a()33()2+1=0,則a2故答案為:a2點評:本題考查了函數(shù)的零點的判斷,屬于基礎(chǔ)題四、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17甲、乙、丙三名優(yōu)秀的大學(xué)畢業(yè)生參加一所重點中學(xué)的招聘面試,面試合格者可以簽約甲表示只要面試合格就簽約,乙與丙則約定,兩個面試都合格就一同簽約,否則兩人都不簽約設(shè)每個人面試合格的概率都是P,且面試是否合格互不影響已知至少有1人面試合格概率為(1)求P (2)求簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望值考點:離散型隨機(jī)變量的期望與方差專題:概率與統(tǒng)計分析:(1)由至少有1人面試合格概率,利用對立事件的概率求出3人均不合格的概率,再由相互獨立事件同時發(fā)生的概率列式求解;(2)由題意可知簽約人數(shù)的取值分別是0,1,2,3,求出每種情況的概率,直接利用期望公式求期望解答:解:(1)至少1人面試合格概率為(包括1人合格 2人合格和3人都合格),這樣都不合格的概率為1=所以(1P)3=,即P=(2)簽約人數(shù)取值為0、1、2、3簽約人數(shù)為0的概率:都不合格(1)3=,甲不合格,乙丙至少一人不合格(1)(1)3=,簽約人數(shù)為0的概率:+=;簽約人數(shù)為1的概率:甲合格,乙丙至少一人不合格:(1)=;簽約人數(shù)為2的概率:甲不合格,乙丙全部合格:(1)=;簽約人數(shù)為3的概率:甲乙丙均合格:()3=分布表:簽約人數(shù)0123概率數(shù)學(xué)期望:E=1點評:本題考查了相互獨立事件同時發(fā)生的概率,考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望,離散型隨機(jī)變量的期望表征了隨機(jī)變量取值的平均值,是中檔題18如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=60()證明ABA1C;()若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB,求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值考點:用空間向量求直線與平面的夾角;直線與平面垂直的性質(zhì);平面與平面垂直的判定;直線與平面所成的角專題:空間位置關(guān)系與距離;空間角分析:()取AB的中點O,連接OC,OA1,A1B,由已知可證OA1AB,AB平面OA1C,進(jìn)而可得ABA1C;()易證OA,OA1,OC兩兩垂直以O(shè)為坐標(biāo)原點,的方向為x軸的正向,|為單位長,建立坐標(biāo)系,可得,的坐標(biāo),設(shè)=(x,y,z)為平面BB1C1C的法向量,則,可解得=(,1,1),可求cos,即為所求正弦值解答:解:()取AB的中點O,連接OC,OA1,A1B,因為CA=CB,所以O(shè)CAB,由于AB=AA1,BAA1=60,所以AA1B為等邊三角形,所以O(shè)A1AB,又因為OCOA1=O,所以AB平面OA1C,又A1C平面OA1C,故ABA1C;()由()知OCAB,OA1AB,又平面ABC平面AA1B1B,交線為AB,所以O(shè)C平面AA1B1B,故OA,OA1,OC兩兩垂直以O(shè)為坐標(biāo)原點,的方向為x軸的正向,|為單位長,建立如圖所示的坐標(biāo)系,可得A(1,0,0),A1(0,0),C(0,0,),B(1,0,0),則=(1,0,),=(1,0),=(0,),設(shè)=(x,y,z)為平面BB1C1C的法向量,則,即,可取y=1,可得=(,1,1),故cos,=,又因為直線與法向量的余弦值的絕對值等于直線與平面的正弦值,故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為:點評:本題考查直線與平面所成的角,涉及直線與平面垂直的性質(zhì)和平面與平面垂直的判定,屬難題19已知數(shù)列an的前n項和Sn=an+n21,數(shù)列bn滿足3nbn+1=(n+1)an+1nan,且b1=3()求an,bn;()設(shè)Tn為數(shù)列bn的前n項和,求Tn,并求滿足Tn7時n的最大值考點:數(shù)列與不等式的綜合專題:點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法分析:()在已知數(shù)列遞推式中取n=n1得另一遞推式,兩式作差后整理得到an1=2n1,則數(shù)列an的通項公式可求,把a(bǔ)n代入3nbn+1=(n+1)an+1nan,整理后求得數(shù)列bn的通項公式;()由錯位相減法求得數(shù)列bn的前n項和Tn,然后利用作差法說明Tn為遞增數(shù)列,通過求解T3,T4的值得答案解答:解:()由,得 (n2),兩式相減得,an=anan1+2n1,an1=2n1,則an=2n+1由3nbn+1=(n+1)an+1nan,3nbn+1=(n+1)(2n+3)n(2n+1)=4n+3當(dāng)n2時,由b1=3適合上式,;()由()知, 得,=TnTn+1,即Tn為遞增數(shù)列又,Tn7時,n的最大值3點評:本題是數(shù)列與不等式的綜合題,考查了數(shù)列遞推式,訓(xùn)練了利用數(shù)列的前n項和求通項公式,考查了錯位相減法求數(shù)列的和,求解()的關(guān)鍵是說明數(shù)列Tn為遞增數(shù)列,是中高檔題20如圖,在等腰直角三角形OPQ中,POQ=90,OP=2,點M在線段PQ上(1)若OM=,求PM的長;(2)若點N在線段MQ上,且MON=30,問:當(dāng)POM取何值時,OMN的面積最???并求出面積的最小值考點:三角形中的幾何計算;正弦定理專題:計算題;解三角形分析:(1)在OPQ中,由余弦定理得,OM2=OP2+MP22OPMPcos45,解得MP即可(2)POM=,060,在OMP中,由正弦定理求出OM,同理求出ON,推出三角形的面積,利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡面積的表達(dá)式,通過的范圍求出面積的最大值解答:解:(1)在OPQ中,OPQ=45,OM=,OP=2,由余弦定理得,OM2=OP2+MP22OPMPcos45,得MP24MP+3=0,解得MP=1或MP=36(2)設(shè)POM=,060,在OMP中,由正弦定理,得,所以,同理 8SOMN= 10= 14因為060,302+30150,所以當(dāng)=30時,sin(2+30)的最大值為1,此時OMN的面積取到最小值即POM=30時,OMN的面積的最小值為8416點評:本題考查正弦定理以及余弦定理兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力21如圖,O為坐標(biāo)原點,雙曲線C1:=1(a10,b10)和橢圓C2:+=1(a2b20)均過點P(,1),且以C1的兩個頂點和C2的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形()求C1、C2的方程;()是否存在直線l,使得l與C1交于A、B兩點,與C2只有一個公共點,且|+|=|?證明你的結(jié)論考點:直線與圓錐曲線的綜合問題專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題分析:()由條件可得a1=1,c2=1,根據(jù)點P(,1)在上求得=3,可得雙曲線C1的方程再由橢圓的定義求得a2=,可得=的值,從而求得橢圓C2的方程()若直線l垂直于x軸,檢驗部不滿足|+|若直線l不垂直于x軸,設(shè)直線l得方程為 y=kx+m,由 可得y1y2=由 可得 (2k2+3)x2+4kmx+2m26=0,根據(jù)直線l和C1僅有一個交點,根據(jù)判別式=0,求得2k2=m23,可得0,可得|+|綜合(1)、(2)可得結(jié)論解答:解:()設(shè)橢圓C2的焦距為2c2,由題意可得2a1=2,a1=1,c2=1由于點P(,1)在上,=1,=3,雙曲線C1的方程為:x2=1再由橢圓的定義可得 2a2=+=2,a2=,=2,橢圓C2的方程為:+=1()不存在滿足條件的直線l(1)若直線l垂直于x軸,則由題意可得直線l得方程為x=,或 x=當(dāng)x=時,可得 A(,)、B(,),求得|=2,|=2,顯然,|+|同理,當(dāng)x=時,也有|+|(2)若直線l不垂直于x軸,設(shè)直線l得方程為 y=kx+m,由 可得(3k2)x22mkxm23=0,x1+x2=,x1x2=于是,y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=由 可得 (2k2+3)x2+4kmx+2m26=0,根據(jù)直線l和C1僅有一個交點,判別式=16k2m28(2k2+3)(m23)=0,2k2=m23=x1x2+y1y2=0,|+|綜合(1)、(2)可得,不存在滿足條件的直線l點評:本題主要考查橢圓的定義、性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程,直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用,韋達(dá)定理,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題22已知函數(shù)f(x)=,其中a,bR,e為自然對數(shù)的底數(shù)(1)當(dāng)a=b=3,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)當(dāng)x6時,若函數(shù)h(x)=f(x)ex(x3+b1)存在兩個相距大于2的極值點,求實數(shù)a的取值范圍;(3)若函數(shù)g(x)與函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,且函數(shù)g(x)在(6,m),(2,n)上單調(diào)遞減,在(m,2),(n,+)單調(diào)遞增,試證明:f(nm)考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析:(1)當(dāng)a=b=3時,先求出f(x),然后對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性; (2)先求出當(dāng)x6時h(x)的解析式,求出h(x),由h(x)=0有兩個相距大于2的根,列出所滿足的不等式組,求出a的取值范圍;(3)寫出g(x)的表達(dá)式,則x=2,x=n,x=m分別是g(x)=0的三個根,得出m,n,a的關(guān)系,從而證明不等式成立解答:(1)解:當(dāng)x6時,則,即f(x)在(6,+)單調(diào)遞減;當(dāng)x6時,由已知,有f(x)=(x3+3x23x3)ex,f(x)=x(x3)(x+3)ex,知f(x)在(,3),(0,3)上單調(diào)遞增,在(3,0),(3,6)上單調(diào)遞減綜上,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,3)和(0,3)(2)解:當(dāng)x6時,h(x)=ex(3x2+ax+1),h(x)=ex3x2(a6)x+a1,令(x)=3x2+(a6)x+1a,設(shè)其零點分別為x1,x2由解得(3)證明:當(dāng)x6時,g(x)=exx3+(6a)x+(ba),由g(2)=0,得b=3a4,從而g(x)=exx3+(a6)x+(42a),因為g(m)=g(n)=0,所以x3+(a6)x+(42a)=(x2)(xm)(xn),將右邊展開,與左邊比較系數(shù)得m+n=2,mn=a2,因為n2,所以m4,nm6,又f(x)在6,+)單調(diào)遞減,則,因為ln62,所以6ln612,(6ln6)2144150=,即有,從而點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,由零點求參數(shù)的取值范圍,利用單調(diào)性證明不等式成立,試題有一定的難度解題時要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化

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