2019-2020年高三數(shù)學上學期第二次月考試卷 理(含解析).doc
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2019-2020年高三數(shù)學上學期第二次月考試卷 理(含解析) 一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.已知集合A={x|x﹣2<0},B={x|x<a},若A∩B=A,則實數(shù)a的取值范圍是( ) A.(﹣∞,﹣2] B.[﹣2,+∞) C.(﹣∞,2] D.[2,+∞) 考點:交集及其運算. 專題:集合. 分析:化簡A,再根據(jù)A∩B=A,求得實數(shù)a的取值范圍. 解答: 解:∵集合A={x|x﹣2<0}={x|x<2},B={x|x<a},A∩B=A, ∴a≥2, 故選:D. 點評:本題主要考查兩個集合的交集的定義和求法,屬于基礎(chǔ)題. 2.在復平面內(nèi),復數(shù)z=(1+2i)2對應(yīng)的點位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考點:復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義;復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算. 專題:數(shù)系的擴充和復數(shù). 分析:直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡,得到復數(shù)z對應(yīng)點的坐標,則答案可求. 解答: 解:∵z=(1+2i)2=1+4i+(2i)2=﹣3+4i, ∴復數(shù)z=(1+2i)2對應(yīng)的點的坐標為(﹣3,4), 位于第二象限. 故選:B. 點評:本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算,考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題. 3.設(shè)平面向量,,均為非零向量,則“?(﹣)=0”是“=”的( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 考點:必要條件、充分條件與充要條件的判斷. 專題:簡易邏輯. 分析:根據(jù)向量的數(shù)量積關(guān)系,以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可得到結(jié)論. 解答: 解:若=,則?(﹣)=0成立,必要性成立, 若?(﹣)=0得?=?,則=不一定成立,充分性不成立. 故“?(﹣)=0”是“=”的必要而不充分條件, 故選:B. 點評:本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,利用向量的數(shù)量積是解決本題的關(guān)鍵,比較基礎(chǔ). 4.如圖是某算法的程序框圖,則程序運行后輸出的結(jié)果是( ) A.8 B.9 C.10 D.11 考點:循環(huán)結(jié)構(gòu). 專題:算法和程序框圖. 分析:根據(jù)框圖的流程依次計算程序運行的結(jié)果,直到滿足條件,跳出循環(huán),計算輸出s的值. 解答: 解:由程序框圖知:第一次循環(huán)n=1,s=﹣1+1=0,; 第二次循環(huán)n=2,s=0+1+2=3; 第三次循環(huán)n=3,s=3﹣1+3=5; 第四次循環(huán)n=4,s=5+1+4=10. 滿足條件s>9,跳出循環(huán),輸出s=10. 故選:C. 點評:本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,根據(jù)框圖的流程依次計算程序運行的結(jié)果是解答此類問題的常用方法. 5.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ) A.2 B.1 C. D. 考點:由三視圖求面積、體積. 專題:計算題;空間位置關(guān)系與距離. 分析:由三視圖知幾何體為四棱錐,且四棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,棱長為1,底面是對角線長為2的正方形,把數(shù)據(jù)代入體積公式計算. 解答: 解:由三視圖知幾何體為四棱錐,且四棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,棱長為1, 底面是對角線長為2的正方形,∴其邊長為, ∴四棱錐的體積V=1=. 故選C. 點評:本題考查了由三視圖求幾何體的體積,解題的關(guān)鍵是判斷幾何體的形狀及三視圖的數(shù)據(jù)所對應(yīng)的幾何量. 6.將函數(shù)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后,所得到的圖象關(guān)于y軸對稱,則m的最小值是( ) A. B. C. D. 考點:兩角和與差的正弦函數(shù);函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換. 專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì). 分析:函數(shù)解析式提取2變形后,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù),利用平移規(guī)律得到平移后的解析式,根據(jù)所得的圖象關(guān)于y軸對稱,即可求出m的最小值. 解答: 解:y=cosx+sinx=2(cosx+sinx)=2sin(x+), ∴圖象向左平移m(m>0)個單位長度得到y(tǒng)=2sin[(x+m)+]=2sin(x+m+), ∵所得的圖象關(guān)于y軸對稱, ∴m+=kπ+(k∈Z), 則m的最小值為. 故選B 點評:此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式,以及函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵. 7.設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30的直線交于C于A,B兩點,則|AB|=( ) A. B.6 C.12 D.7 考點:拋物線的簡單性質(zhì). 專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 分析:求出焦點坐標,利用點斜式求出直線的方程,代入拋物線的方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,由弦長公式求得|AB|. 解答: 解:由y2=3x得其焦點F(,0),準線方程為x=﹣. 則過拋物線y2=3x的焦點F且傾斜角為30的直線方程為y=tan30(x﹣)=(x﹣). 代入拋物線方程,消去y,得16x2﹣168x+9=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2) 則x1+x2=, 所以|AB|=x1++x2+=++=12 故答案為:12. 點評:本題考查拋物線的標準方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,弦長公式的應(yīng)用,運用弦長公式是解題的難點和關(guān)鍵. 8.在圓的一條直徑上,任取一點作與直徑垂直的弦,則其弦長超過該圓的內(nèi)接等邊三角形的邊長的概率為( ) A. B. C. D. 考點:幾何概型. 專題:計算題;概率與統(tǒng)計. 分析:由題意可得:要使弦長大于CD的長,就必須使圓心O到弦的距離小于|OF|,即可得出結(jié)論、 解答: 解:如圖所示,△BCD是圓內(nèi)接等邊三角形, 過直徑BE上任一點作垂直于直徑的弦, 顯然當弦為CD時就是△BCD的邊長, 要使弦長大于CD的長,就必須使圓心O到弦的距離小于|OF|, 記事件A={弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長}, 由幾何概型概率公式得P(A)==, 即弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是. 故選:C. 點評:本題主要考查幾何概型概率的計算,是簡單題,確定得到各自的幾何度量是解決問題的關(guān)鍵. 9.設(shè)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),當x∈[0,1]時,f(x)=x3,則方程f(x)=lg|x|根的個數(shù)為( ) A.12 B.16 C.18 D.20 考點:函數(shù)的周期性;函數(shù)奇偶性的性質(zhì). 專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 分析:由函數(shù)f(x)的周期性、奇偶性及函數(shù)在x∈[0,1]時的解析式可知其大致圖象,結(jié)合函數(shù)y=lg|x|也為偶函數(shù)可得方程f(x)=lg|x|根的個數(shù). 解答: 解:當x∈[0,1]時,f(x)=x3,函數(shù)是偶函數(shù), ∴當x∈[﹣1,0]時f(x)=﹣x3, 函數(shù)f(x)的周期為2, 又函數(shù)y=lgx當x=10時函數(shù)值為1, ∴函數(shù)y=lgx與y=f(x)在[0,10]內(nèi)有9個交點, 而函數(shù)y=lg|x|也為偶函數(shù), 由對稱性可知,方程f(x)=lg|x|根的個數(shù)為18. 故選:C. 點評:本題考查了函數(shù)的性質(zhì),考查了方程根的個數(shù)與函數(shù)零點間的關(guān)系,是中檔題. 10.如圖,正△ABC的中心位于點G(0,1),A(0,2),動點P從A點出發(fā)沿△ABC的邊界按逆時針方向運動,設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度∠AGP=x(0≤x≤2π),向量在=(1,0)方向的射影為y(O為坐標原點),則y關(guān)于x的函數(shù)y=f(x)的圖象是( ) A. B. C. D. 考點:函數(shù)的圖象. 專題:綜合題;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 分析:由題意,可通過幾個特殊點來確定正確選項,可先求出射影長最小時的點B時x的值及y的值,再研究點P從點B向點C運動時的圖象變化規(guī)律,由此即可得出正確選項. 解答: 解:設(shè)BC邊與Y軸交點為M,已知可得GM=0.5,故AM=1.5,正三角形的邊長為 連接BG,可得tan∠BGM==,即∠BGM=,所以tan∠BGA=,由圖可得當x=時,射影為y取到最小值,其大小為﹣(BC長為),由此可排除A,B兩個選項; 又當點P從點B向點M運動時,x變化相同的值,此時射影長的變化變小,即圖象趨于平緩,由此可以排除D,C是適合的; 故選:C. 點評:由于本題的函數(shù)關(guān)系式不易獲得,可采取特值法,找?guī)讉€特殊點以排除法得出正確選項,這是條件不足或正面解答較難時常見的方法. 二、選做題:請在下列兩題中選一題作答.若兩題都做,則按第一題評閱計分.本題共5分.【不等式選做題】 11.已知函數(shù)f(x)=的定義域為R,則實數(shù)m的取值范圍是(﹣∞,﹣3]∪[﹣1,+∞). 考點:函數(shù)的定義域及其求法. 專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 分析:題目中條件:“f(x)的定義域為R”轉(zhuǎn)化為|x+2|+|x﹣m|﹣1≥0在R上恒成立,下面只要求出函數(shù)|x+2|+|x﹣m|的最小值,使最小值大于等于2,解之即可. 解答: 解:解:∵f(x)的定義域為R, ∴|x+2|+|x﹣m|﹣1≥0在R上恒成立 而|x+2|+|x﹣m|≥|m+2| ∴|m+2|≥1, 解得:m≤﹣3或m≥﹣1 故答案為:(﹣∞,﹣3]∪[﹣1,+∞). 點評:本題考查函數(shù)的定義域及其求法,不等式的恒成立問題,屬于中檔題,求不等式恒成立的參數(shù)的取值范圍,是經(jīng)久不衰的話題,也是xx高考的熱點,它可以綜合地考查中學數(shù)學思想與方法,體現(xiàn)知識的交匯. 【坐標系與參數(shù)方程選做題】 12.在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)),圓C的極坐標方程為. (Ⅰ)若圓C關(guān)于直線l對稱,求a的值; (Ⅱ)若圓C與直線l相切,求a的值. 考點:參數(shù)方程化成普通方程. 專題:坐標系和參數(shù)方程. 分析:(I)把直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標方程分別化為直角坐標方程,再利用圓C關(guān)于直線l對稱可得直線l過圓心,即可得出. (II)利用圓C與直線l相切?點C到直線l的距離d=r,即可得出. 解答: 解:(Ⅰ)由直線l的參數(shù)方程為為參數(shù))消去參數(shù)t可得:直線l:x+ay+a﹣5=0; 由圓C的極坐標方程為,化為ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ, ∴x2+y2﹣2x﹣2y=0,即(x﹣1)2+(y﹣1)2=2. ∴圓心為C(1,1),半徑. ∵圓C關(guān)于直線l對稱,∴直線l過圓心, ∴1+a?1+a﹣5=0, 解得a=2; (Ⅱ)點C到直線l的距離d=, ∵圓C與直線l相切,∴d=r. ∴, 整理得a2﹣8a+7=0, 解得a=1或a=7. 點評:本題考查了把直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標方程分別化為直角坐標方程、圓的對稱性質(zhì)、圓C與直線l相切?點C到直線l的距離d=r等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于基礎(chǔ)題. 三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分. 13.函數(shù)f(x)=log2(3x+1)的值域為(0,+∞). 考點:對數(shù)函數(shù)的值域與最值. 專題:計算題. 分析:先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出真數(shù)3x+1的范圍,然后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域即可. 解答: 解:∵3x+1>1 ∴l(xiāng)og2(3x+1)>0 ∴f(x)=log2(3x+1)的值域為(0,+∞) 故答案為:(0,+∞) 點評:本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的值域,同時考查了指數(shù)函數(shù)的值域,屬于基礎(chǔ)題. 14.曲線y=x2+1與直線x=0,x=1及x軸所圍成的圖形的面積是. 考點:定積分在求面積中的應(yīng)用. 專題:計算題;導數(shù)的概念及應(yīng)用. 分析:確定積分公式中x的取值范圍,根據(jù)定積分的幾何意義表示出區(qū)域的面積,根據(jù)定積分公式解之即可 解答: 解:由題意,S=(x2+1)dx=()=, 故答案為:. 點評:本題求曲線圍成的曲邊圖形的面積,著重考查了定積分的幾何意義和積分計算公式等知識,屬于基礎(chǔ)題. 15.已知數(shù)列a1,a2,…,a8,滿足a1=xx,a8=xx,且an+1﹣an∈{﹣1,,1}(其中n=1,2,…,7),則這樣的數(shù)列{an}共有252個. 考點:數(shù)列的函數(shù)特性. 專題:創(chuàng)新題型;排列組合. 分析:運用數(shù)列相鄰兩項差的值,可能夠取值的情況分類討論,轉(zhuǎn)化為排列組合問題求解. 解答: 解:∵數(shù)列a1,a2,…,a8,滿足a1=xx,a8=xx, ∴a8﹣a1=a8﹣a7+a7﹣a6+a6﹣a5+a5﹣a4+a4﹣a3+a3﹣a2+a2﹣a1=1, an+1﹣an∈{﹣1,,1}(其中n=1,2,…,7),共有7對差, 可能an+1﹣an=﹣1,或an+1﹣an=,或an+1﹣an=1. 設(shè)﹣1有x個,有y個,1有7﹣x﹣y個, 則想x(﹣1)++1(7﹣x﹣y)=1, 即6x+2y=18,x,y∈[0,7]的整數(shù), 可判斷;x=1,y=6;x=2,y=3;x=3,y=0,三組符合 所以共有數(shù)列C+CCC+=7+210+35=252. 故答案為:252 點評:本題考查了方程的解轉(zhuǎn)化為組合問題等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,考查了推理能力,轉(zhuǎn)化能力. 16.已知函數(shù)f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零點x,且x<0,則a的取值范圍是a>2. 考點:函數(shù)的零點. 專題:計算題;導數(shù)的綜合應(yīng)用. 分析:由題意判斷出a>0,再由題意可知f()>0,從而求出a. 解答: 解:∵函數(shù)f(x)=ax3﹣3x2+1,f(0)=1,且f(x)存在唯一的零點x,且x<0, ∴a>0, ∴f′(x)=3ax2﹣6x=3x(ax﹣2)=0時的解為x=0,x=; ∴f()=a()3﹣3()2+1=>0, 則a>2. 故答案為:a>2. 點評:本題考查了函數(shù)的零點的判斷,屬于基礎(chǔ)題. 四、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.甲、乙、丙三名優(yōu)秀的大學畢業(yè)生參加一所重點中學的招聘面試,面試合格者可以簽約.甲表示只要面試合格就簽約,乙與丙則約定,兩個面試都合格就一同簽約,否則兩人都不簽約.設(shè)每個人面試合格的概率都是P,且面試是否合格互不影響.已知至少有1人面試合格概率為. (1)求P. (2)求簽約人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學期望值. 考點:離散型隨機變量的期望與方差. 專題:概率與統(tǒng)計. 分析:(1)由至少有1人面試合格概率,利用對立事件的概率求出3人均不合格的概率,再由相互獨立事件同時發(fā)生的概率列式求解; (2)由題意可知簽約人數(shù)ξ的取值分別是0,1,2,3,求出每種情況的概率,直接利用期望公式求期望. 解答: 解:(1)至少1人面試合格概率為(包括1人合格 2人合格和3人都合格),這樣都不合格的概率為1﹣=. 所以(1﹣P)3=,即P=. (2)簽約人數(shù)ξ取值為0、1、2、3 簽約人數(shù)為0的概率:都不合格(1﹣)3=, 甲不合格,乙丙至少一人不合格(1﹣)﹣(1﹣)3=, 簽約人數(shù)為0的概率:+=; 簽約人數(shù)為1的概率:甲合格,乙丙至少一人不合格:(1﹣)=; 簽約人數(shù)為2的概率:甲不合格,乙丙全部合格:(1﹣)=; 簽約人數(shù)為3的概率:甲乙丙均合格:()3=. 分布表: 簽約人數(shù) 0 1 2 3 概率 數(shù)學期望:Eξ==1. 點評:本題考查了相互獨立事件同時發(fā)生的概率,考查了離散型隨機變量的分布列與期望,離散型隨機變量的期望表征了隨機變量取值的平均值,是中檔題. 18.如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60. (Ⅰ)證明AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值. 考點:用空間向量求直線與平面的夾角;直線與平面垂直的性質(zhì);平面與平面垂直的判定;直線與平面所成的角. 專題:空間位置關(guān)系與距離;空間角. 分析:(Ⅰ)取AB的中點O,連接OC,OA1,A1B,由已知可證OA1⊥AB,AB⊥平面OA1C,進而可得AB⊥A1C; (Ⅱ)易證OA,OA1,OC兩兩垂直.以O(shè)為坐標原點,的方向為x軸的正向,||為單位長,建立坐標系,可得,,的坐標,設(shè)=(x,y,z)為平面BB1C1C的法向量,則,可解得=(,1,﹣1),可求cos<,>,即為所求正弦值. 解答: 解:(Ⅰ)取AB的中點O,連接OC,OA1,A1B, 因為CA=CB,所以O(shè)C⊥AB,由于AB=AA1,∠BAA1=60, 所以△AA1B為等邊三角形,所以O(shè)A1⊥AB, 又因為OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C, 又A1C?平面OA1C,故AB⊥A1C; (Ⅱ)由(Ⅰ)知OC⊥AB,OA1⊥AB,又平面ABC⊥平面AA1B1B,交線為AB, 所以O(shè)C⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC兩兩垂直. 以O(shè)為坐標原點,的方向為x軸的正向,||為單位長,建立如圖所示的坐標系, 可得A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(﹣1,0,0), 則=(1,0,),=(﹣1,,0),=(0,﹣,), 設(shè)=(x,y,z)為平面BB1C1C的法向量,則,即, 可取y=1,可得=(,1,﹣1),故cos<,>==, 又因為直線與法向量的余弦值的絕對值等于直線與平面的正弦值, 故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為:. 點評:本題考查直線與平面所成的角,涉及直線與平面垂直的性質(zhì)和平面與平面垂直的判定,屬難題. 19.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=an+n2﹣1,數(shù)列{bn}滿足3n?bn+1=(n+1)an+1﹣nan,且b1=3. (Ⅰ)求an,bn; (Ⅱ)設(shè)Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,求Tn,并求滿足Tn<7時n的最大值. 考點:數(shù)列與不等式的綜合. 專題:點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法. 分析:(Ⅰ)在已知數(shù)列遞推式中取n=n﹣1得另一遞推式,兩式作差后整理得到an﹣1=2n﹣1,則數(shù)列{an}的通項公式可求,把an代入3n?bn+1=(n+1)an+1﹣nan,整理后求得數(shù)列{bn}的通項公式; (Ⅱ)由錯位相減法求得數(shù)列{bn}的前n項和Tn,然后利用作差法說明{Tn}為遞增數(shù)列,通過求解T3,T4的值得答案. 解答: 解:(Ⅰ)由,得 (n≥2), 兩式相減得,an=an﹣an﹣1+2n﹣1, ∴an﹣1=2n﹣1,則an=2n+1. 由3n?bn+1=(n+1)an+1﹣nan, ∴3n?bn+1=(n+1)(2n+3)﹣n(2n+1)=4n+3. ∴. ∴當n≥2時,, 由b1=3適合上式, ∴; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,, ∴ ①. ②. ①﹣②得, =. ∴. ∵. ∴Tn<Tn+1,即{Tn}為遞增數(shù)列. 又,. ∴Tn<7時,n的最大值3. 點評:本題是數(shù)列與不等式的綜合題,考查了數(shù)列遞推式,訓練了利用數(shù)列的前n項和求通項公式,考查了錯位相減法求數(shù)列的和,求解(Ⅱ)的關(guān)鍵是說明數(shù)列{Tn}為遞增數(shù)列,是中高檔題. 20.如圖,在等腰直角三角形△OPQ中,∠POQ=90,OP=2,點M在線段PQ上. (1)若OM=,求PM的長; (2)若點N在線段MQ上,且∠MON=30,問:當∠POM取何值時,△OMN的面積最小?并求出面積的最小值. 考點:三角形中的幾何計算;正弦定理. 專題:計算題;解三角形. 分析:(1)在△OPQ中,由余弦定理得,OM2=OP2+MP2﹣2?OP?MPcos45,解得MP即可. (2)∠POM=α,0≤α≤60,在△OMP中,由正弦定理求出OM,同理求出ON,推出三角形的面積,利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡面積的表達式,通過α的范圍求出面積的最大值. 解答: 解:(1)在△OPQ中,∠OPQ=45,OM=,OP=2, 由余弦定理得,OM2=OP2+MP2﹣2?OP?MPcos45, 得MP2﹣4MP+3=0,解得MP=1或MP=3.…6 (2)設(shè)∠POM=α,0≤α≤60, 在△OMP中,由正弦定理,得, 所以,同理 …8′ S△OMN== …10 == = == …14 因為0≤α≤60,30≤2α+30≤150, 所以當α=30時,sin(2α+30)的最大值為1, 此時△OMN的面積取到最小值. 即∠POM=30時,△OMN的面積的最小值為8﹣4.…16 點評:本題考查正弦定理以及余弦定理兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力. 21.如圖,O為坐標原點,雙曲線C1:﹣=1(a1>0,b1>0)和橢圓C2:+=1(a2>b2>0)均過點P(,1),且以C1的兩個頂點和C2的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形. (Ⅰ)求C1、C2的方程; (Ⅱ)是否存在直線l,使得l與C1交于A、B兩點,與C2只有一個公共點,且|+|=||?證明你的結(jié)論. 考點:直線與圓錐曲線的綜合問題. 專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題. 分析:(Ⅰ)由條件可得a1=1,c2=1,根據(jù)點P(,1)在上求得=3,可得雙曲線C1的方程.再由橢圓的定義求得a2=,可得=﹣的值,從而求得橢圓C2的方程. (Ⅱ)若直線l垂直于x軸,檢驗部不滿足|+|≠|(zhì)|.若直線l不垂直于x軸,設(shè)直線l得方程為 y=kx+m,由 可得y1?y2=.由 可得 (2k2+3)x2+4kmx+2m2﹣6=0,根據(jù)直線l和C1僅有一個交點,根據(jù)判別式△=0,求得2k2=m2﹣3,可得≠0,可得|+|≠|(zhì)|.綜合(1)、(2)可得結(jié)論. 解答: 解:(Ⅰ)設(shè)橢圓C2的焦距為2c2,由題意可得2a1=2,∴a1=1,c2=1. 由于點P(,1)在上,∴﹣=1,=3, ∴雙曲線C1的方程為:x2﹣=1. 再由橢圓的定義可得 2a2=+=2,∴a2=, ∴=﹣=2,∴橢圓C2的方程為:+=1. (Ⅱ)不存在滿足條件的直線l. (1)若直線l垂直于x軸,則由題意可得直線l得方程為x=,或 x=﹣. 當x=時,可得 A(,)、B(,﹣),求得||=2,||=2, 顯然,|+|≠|(zhì)|. 同理,當x=﹣時,也有|+|≠|(zhì)|. (2)若直線l不垂直于x軸,設(shè)直線l得方程為 y=kx+m,由 可得 (3﹣k2)x2﹣2mkx﹣m2﹣3=0,∴x1+x2=,x1?x2=. 于是,y1?y2=k2x1?x2+km(x1+x2)+m2=. 由 可得 (2k2+3)x2+4kmx+2m2﹣6=0,根據(jù)直線l和C1僅有一個交點, ∴判別式△=16k2m2﹣8(2k2+3)(m2﹣3)=0,∴2k2=m2﹣3. ∴=x1?x2+y1?y2=≠0,∴≠, ∴|+|≠|(zhì)|. 綜合(1)、(2)可得,不存在滿足條件的直線l. 點評:本題主要考查橢圓的定義、性質(zhì)、標準方程,直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用,韋達定理,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想,屬于中檔題. 22.已知函數(shù)f(x)=,其中a,b∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù). (1)當a=b=﹣3,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)當x≤6時,若函數(shù)h(x)=f(x)﹣e﹣x(x3+b﹣1)存在兩個相距大于2的極值點,求實數(shù)a的取值范圍; (3)若函數(shù)g(x)與函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,且函數(shù)g(x)在(﹣6,m),(2,n)上單調(diào)遞減,在(m,2),(n,+∞)單調(diào)遞增,試證明:f(n﹣m)<. 考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用. 專題:導數(shù)的綜合應(yīng)用. 分析:(1)當a=b=﹣3時,先求出f(x),然后對函數(shù)進行求導,結(jié)合導數(shù)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性; (2)先求出當x<6時h(x)的解析式,求出h′(x),由h′(x)=0有兩個相距大于2的根,列出所滿足的不等式組,求出a的取值范圍; (3)寫出g(x)的表達式,則x=2,x=n,x=m分別是g′(x)=0的三個根,得出m,n,a的關(guān)系,從而證明不等式成立. 解答: (1)解:當x>6時,,則,即f(x)在(6,+∞)單調(diào)遞減; 當x≤6時,由已知,有f(x)=(x3+3x2﹣3x﹣3)e﹣x,f(x)=﹣x(x﹣3)(x+3)e﹣x,知f(x)在(﹣∞,﹣3),(0,3)上單調(diào)遞增,在(﹣3,0),(3,6)上單調(diào)遞減. 綜上,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣∞,﹣3)和(0,3). (2)解:當x≤6時,h(x)=e﹣x(3x2+ax+1),h(x)=e﹣x[﹣3x2﹣(a﹣6)x+a﹣1], 令φ(x)=3x2+(a﹣6)x+1﹣a,設(shè)其零點分別為x1,x2. 由解得. (3)證明: 當x≥﹣6時,g(x)=ex[﹣x3+(6﹣a)x+(b﹣a)],由g(2)=0,得b=3a﹣4, 從而g(x)=﹣ex[x3+(a﹣6)x+(4﹣2a)],因為g(m)=g(n)=0, 所以x3+(a﹣6)x+(4﹣2a)=(x﹣2)(x﹣m)(x﹣n),將右邊展開,與左邊比較系數(shù)得m+n=﹣2,mn=a﹣2,因為n>2,所以m<﹣4,n﹣m>6,又f(x)在[6,+∞)單調(diào)遞減,則,因為ln6<2,所以6ln6<12,(6ln6)2<144<150=,即有,,從而. 點評:本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,由零點求參數(shù)的取值范圍,利用單調(diào)性證明不等式成立,試題有一定的難度.解題時要認真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進行等價轉(zhuǎn)化.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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