2019-2020年高二數(shù)學下學期期中試卷 文（含解析）.doc

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2019-2020年高二數(shù)學下學期期中試卷 文（含解析） 　 一、選擇題：（本大題共10個小題，每小題5分，共50分.請把答案填寫在答題卷中）. 1．（5分）a=0是復數(shù)a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)的（　?。l件． 　 A． 充分 B． 必要 C． 充要 D． 非充分非必要 考點： 復數(shù)的基本概念． 專題： 數(shù)系的擴充和復數(shù)． 分析： 復數(shù)a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)?，即可判斷出． 解答： 解：復數(shù)a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)?， 因此a=0是復數(shù)a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)的必要不充分條件． 故選：B． 點評： 本題考查了復數(shù)為純虛數(shù)的充要條件，屬于基礎題． 　 2．（5分）設復數(shù)z1=3﹣4i，z2=﹣2+3i，則z1﹣z2在復平面內(nèi)對應的點位于（　?。? 　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 考點： 復數(shù)代數(shù)形式的加減運算；復數(shù)的基本概念． 專題： 計算題． 分析： 先求兩個復數(shù)的差的運算，要復數(shù)的實部和虛部分別相減，得到差對應的復數(shù)，寫出點的坐標，看出所在的位置． 解答： 解：∵復數(shù)z1=3﹣4i，z2=﹣2+3i， ∴z1﹣z2=（3﹣4i）﹣（﹣2+3i） =5﹣7i． ∴復數(shù)z1﹣z2在復平面內(nèi)對應的點的坐標是（5，﹣7） ∴復數(shù)對應的點在第四象限 故選D． 點評： 考查復數(shù)的運算和幾何意義，解題的關(guān)鍵是寫出對應的點的坐標，有點的坐標以后，點的位置就顯而易見． 　 3．（5分）兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是（　?。? 　 A． 模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.96 B． 模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.86 　 C． 模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.73 D． 模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.66 考點： 回歸分析． 專題： 閱讀型． 分析： R2越接近1，擬合效果越好，由此可作出判斷． 解答： 解：由相關(guān)指數(shù)R2的意義可知，R2越接近1，擬合效果越好， 綜合選項可知：模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.96為最大，故擬合效果最好 故選A 點評： 本題查看相關(guān)指數(shù)的意義，屬基礎題． 　 4．（5分）設0＜θ＜，已知a1=2cosθ，an+1=（n∈N*），猜想an等于（　?。? 　 A． 2cos B． 2cos C． 2cos D． 2sin 考點： 數(shù)列的概念及簡單表示法． 專題： 規(guī)律型． 分析： 利用排除法分別進行驗證排除即可得到結(jié)論． 解答： 解：當n=1時，A選項2cos=2cos，∴排除A． 當n=2時，C選項2cos=2cos，∴排除C． a2==，此時D選項2sin=，∴排除D． 故選：B． 點評： 本題主要考查數(shù)列的通項公式的求解，利用已知條件進行排除即可，比較基礎． 　 5．（5分）（xx?民樂縣校級三模）下列表述正確的是（　?。? ①歸納推理是由部分到整體的推理； ②歸納推理是由一般到一般的推理； ③演繹推理是由一般到特殊的推理； ④類比推理是由特殊到一般的推理； ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理． 　 A． ①②③ B． ②③④ C． ②④⑤ D． ①③⑤ 考點： 歸納推理；演繹推理的意義． 專題： 閱讀型． 分析： 本題考查的知識點是歸納推理、類比推理和演繹推理的定義，根據(jù)定義對5個命題逐一判斷即可得到答案． 解答： 解：歸納推理是由部分到整體的推理， 演繹推理是由一般到特殊的推理， 類比推理是由特殊到特殊的推理． 故①③⑤是正確的 故選D 點評： 判斷一個推理過程是否是歸納推理關(guān)鍵是看他是否符合歸納推理的定義，即是否是由特殊到一般的推理過程．判斷一個推理過程是否是類比推理關(guān)鍵是看他是否符合類比推理的定義，即是否是由特殊到與它類似的另一個特殊的推理過程．判斷一個推理過程是否是演繹推理關(guān)鍵是看他是否符合演繹推理的定義，即是否是由一般到特殊的推理過程． 　 6．（5分）在線性回歸模型中，下列敘述正確的是（　?。? 　 A． 比較兩個模型的擬合效果，可以通過比較它們的殘差平方和的大小來確定，殘差平方和越大的模型，擬合效果越好 　 B． 在殘差圖中，殘差點所在的帶狀區(qū)域的寬度越窄，擬合效果越好 　 C． 在殘差圖中，殘差點所在的帶狀區(qū)域的寬度越寬，擬合效果越好 　 D． 通過回歸方程得到的預報值就是預報變量的精確值 考點： 命題的真假判斷與應用． 專題： 概率與統(tǒng)計． 分析： 利用由殘差平方和、殘差點所在的帶狀區(qū)域的意義以及利用回歸方程進行預報的特點逐一分析四個答案的正誤，可得結(jié)論． 解答： 解：比較兩個模型的擬合效果，可以通過比較它們的殘差平方和的大小來確定，殘差平方和越小的模型，擬合效果越好，故A錯誤； 在殘差圖中，殘差點所在的帶狀區(qū)域的寬度越窄，擬合效果越好，故B正確；C錯誤； 通過回歸方程得到的預報值就是預報變量的估計值，故C錯誤； 故選：B 點評： 本題以命題的真假判斷為載體考查了殘差平方和、殘差點所在的帶狀區(qū)域的意義以及利用回歸方程，難度不大，屬于基礎題． 　 7．（5分） “因為對數(shù)函數(shù)y=logax在（0，+∞）上是增函數(shù)（大前提），而y=logx是對數(shù)函數(shù)（小前提），所以y=logx在（0，+∞）上是增函數(shù)（結(jié)論）”，上面推理錯誤的是（　?。? 　 A． 大前提錯誤導致結(jié)論錯 　 B． 小前提錯誤導致結(jié)論錯 　 C． 推理形式錯誤導致結(jié)論錯 　 D． 大前提和小前提錯誤都導致結(jié)論錯 考點： 進行簡單的合情推理． 專題： 規(guī)律型． 分析： 當a＞1時，對數(shù)函數(shù)y=logax是增函數(shù)，當0＜a＜1時，對數(shù)函數(shù)y=logax是減函數(shù)，故可得結(jié)論． 解答： 解：當a＞1時，對數(shù)函數(shù)y=logax是增函數(shù)，當0＜a＜1時，對數(shù)函數(shù)y=logax是減函數(shù)， 故推理的大前提是錯誤的 故選A． 點評： 本題考查演繹推理，考查三段論，屬于基礎題． 　 8．（5分）由平面內(nèi)性質(zhì)類比出空間幾何的下列命題，你認為正確的是（　?。? 　 A． 過直線上一點有且只有一條直線與已知直線垂直 　 B． 同垂直于一條直線的兩條直線互相平行 　 C． 過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行 　 D． 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 考點： 類比推理． 專題： 空間位置關(guān)系與距離． 分析： 根據(jù)課本定理即可判斷． 解答： 解：A．空間中過直線上一點有無數(shù)條直線與已知直線垂直，故不正確； B．空間中同垂直于一條直線的兩條直線不一定互相平行，故不正確； C．與平面中一樣，空間中過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故正確； D．在空間中兩組對邊分別相等的四邊形不一定是平行四邊形，故不正確； 故選：C． 點評： 本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，注意解題方法的積累，屬于基礎題． 　 9．（5分）圓ρ=（cosθ+sinθ）的圓心的極坐標是（　?。? 　 A． （1，） B． （，） C． （，） D． （2，） 考點： 簡單曲線的極坐標方程． 專題： 計算題． 分析： 先在極坐標方程ρ=（cosθ+sinθ）的兩邊同乘以ρ，再利用直角坐標與極坐標間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進行代換化成直角坐標方程求解即得． 解答： 解：將方程ρ=（cosθ+sinθ）兩邊都乘以ρ得：ρ2=pcosθ+ρsinθ， 化成直角坐標方程為x2+y2﹣x﹣y=0．圓心的坐標為（，）． 化成極坐標為（1，）． 故選C． 點評： 本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化． 　 10．（5分）點P（1，0）到曲線（其中參數(shù)t∈R）上的點的最短距離為（　?。? 　 A． 0 B． 1 C． D． 2 考點： 兩點間距離公式的應用． 分析： 直接求距離的表達式，然后求最值． 解答： 解：點P（1，0）到曲線（其中參數(shù)t∈R）上的點的距離： ∵t2+1≥1 故選B． 點評： 本題考查兩點間的距離公式，以及參數(shù)方程的理解，是基礎題． 　 二、填空題（每小題5分，共20分） 11．（5分）設復數(shù)=a+bi（a，b∈R，i是虛數(shù)單位），則a+b的值是　﹣1?。? 考點： 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復數(shù)相等的充要條件． 專題： 計算題． 分析： 首先進行復數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數(shù)，整理出最簡形式，根據(jù)復數(shù)相等的充要條件寫出a，b的值． 解答： 解：∵復數(shù)=a+bi ∴ ∴a=0，b=﹣1， 則a+b的值是﹣1 故答案為：﹣1． 點評： 本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算和復數(shù)相等的充要條件，本題解題的關(guān)鍵是把復數(shù)整理成代數(shù)形式的標準形式． 　 12．（5分）柱坐標（2，，1）對應的點的直角坐標是　　． 考點： 柱坐標系與球坐標系． 專題： 坐標系和參數(shù)方程． 分析： 利用柱坐標與直角坐標的關(guān)系即可得出． 解答： 解：柱坐標（2，，1）對應的點的直角坐標是，即． 故答案為：． 點評： 本題考查了柱坐標與直角坐標的關(guān)系，屬于基礎題． 　 13．（5分）（xx?陜西模擬）已知直線的極坐標方程為，則極點到該直線的距離是　?。? 考點： 簡單曲線的極坐標方程；與圓有關(guān)的比例線段；不等式的基本性質(zhì)． 專題： 計算題；壓軸題． 分析： 先將原極坐標方程中的三角函數(shù)式展開后兩邊同乘以ρ后化成直角坐標方程，再利用直角坐標方程進行求解即得． 解答： 解：將原極坐標方程，化為： ρsinθ+ρcosθ=1， 化成直角坐標方程為：x+y﹣1=0， 則極點到該直線的距離是=． 故填；． 點評： 本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，利用直角坐標與極坐標間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進行代換即得． 　 14．（5分）在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（參數(shù)t∈R），圓C的參數(shù)方程為，（參數(shù)θ∈[0，2π]），則圓C的圓心坐標為　（0，2）　，圓心到直線l的距離為　　． 考點： 圓的參數(shù)方程；點到直線的距離公式；直線的參數(shù)方程． 專題： 計算題． 分析： 先利用兩式相加消去t將直線的參數(shù)方程化成普通方程，然后利用sin2θ+cos2θ=1將圓的參數(shù)方程化成圓的普通方程，求出圓心和半徑，最后利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離即可． 解答： 解：直線l的參數(shù)方程為（參數(shù)t∈R）， ∴直線的普通方程為x+y﹣6=0 圓C的參數(shù)方程為（參數(shù)θ∈[0，2π]）， ∴圓C的普通方程為x2+（y﹣2）2=4 ∴圓C的圓心為（0，2），d= 故答案為：（0，2）， 點評： 本小題主要考查圓的參數(shù)方程及直線與圓的位置關(guān)系的判斷，以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．本題出現(xiàn)最多的問題應該是計算上的問題，平時要強化基本功的練習，屬于基礎題． 　 三、解答題（本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.） 15．（12分）用綜合法或分析法證明： （1）如果a＞0，b＞0，則； （2）求證：． 考點： 綜合法與分析法(選修）． 專題： 證明題． 分析： （1）利用基本不等式可得，再由y=lgx在（0，+∞）上增函數(shù)，從而有． （2）用分析法證明不等式成立，就是尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件顯然成立為止． 解答： （1）證明：∵a＞0，b＞0，∴． …（3分） （當且僅當a=b時，取“=”號） 即：． …（4分） 又 y=lgx在（0，+∞）上增函數(shù)，…（5分） 所以，=，故成立．…（7分） （2）證明：要證， 只需證，…（9分） 只需證：，只需證：42＞40．…（12分） 因為42＞40顯然成立，所以 ．…（14分） 點評： 本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域，基本不等式的應用，用分析法證明不等式，屬于中檔題． 　 16．（12分）（xx春?福清市校級期中）已知復數(shù)． （1）求復數(shù)z的實部和虛部； （2）若z2+az+b=1﹣i，求實數(shù)a，b的值． 考點： 復數(shù)相等的充要條件；復數(shù)的基本概念． 專題： 計算題． 分析： （1）由復數(shù)的運算法則，把復數(shù)等價轉(zhuǎn)化為z=1+i，能夠得到復數(shù)z的實部和虛部． （2）把z=1+i代入z2+az+b=1﹣i，得：（a+b）+（2+a）i=1﹣i，由復數(shù)相等的充要條件，能夠求出實數(shù)a，b的值． 解答： 解：（1）∵，…（7分） ∴復數(shù)z的實部為1，虛部為1． （2）由（1）知z=1+i， 代入z2+az+b=1﹣i， 得：（a+b）+（2+a）i=1﹣i， ∴， 所以實數(shù)a，b的值分別為﹣3，4．…（14分） 點評： 本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的運算和復數(shù)相等的充要條件的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答． 　 17．（14分）（xx?錦州二模）有甲乙兩個班級進行數(shù)學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績后， 得到如下的列聯(lián)表： 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 甲班 10 乙班 30 合計 105 已知在全部105人中抽到隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為 （Ⅰ）請完成上面的列聯(lián)表； （Ⅱ）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能否認為“成績與班級有關(guān)系”； （Ⅲ）若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學生抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10名學生從2到11進行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)之和為被抽取人的序號．試求抽到6或10號的概率． 考點： 獨立性檢驗的應用；等可能事件的概率． 專題： 計算題；圖表型． 分析： （Ⅰ）由全部105人中抽到隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為，我們可以計算出優(yōu)秀人數(shù)為30，我們易得到表中各項數(shù)據(jù)的值． （Ⅱ）我們可以根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，代入公式，計算出k值，然后代入離散系數(shù)表，比較即可得到答案 （Ⅲ）本小題考查的知識點是古典概型，關(guān)鍵是要找出滿足條件抽到6或10號的基本事件個數(shù)，及總的基本事件的個數(shù)，再代入古典概型公式進行計算求解． 解答： 解：（Ⅰ） 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合計 30 75 105 （Ⅱ）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到 因此有95%的把握認為“成績與班級有關(guān)系”． （Ⅲ）設“抽到6或10號”為事件A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)為（x，y）． 所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）…（6，6），共36個． 事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、 （5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8個 ∴ 點評： 獨立性檢驗的應用的步驟為：根據(jù)已知條件將數(shù)據(jù)歸結(jié)到一個表格內(nèi)，列出列聯(lián)表，再根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，代入公式，計算出k值，然后代入離散系數(shù)表，比較即可得到答案． 　 18．（14分）（xx春?遂溪縣校級期中）已知函數(shù)f（x）=． （1）求證：函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上是增函數(shù)； （2）設a＞1，證明方程ax+f（x）=0沒有負根． 考點： 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明． 專題： 證明題；函數(shù)的性質(zhì)及應用． 分析： （1）用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上的單調(diào)性； （2）可以用反證法證明，基本步驟是假設結(jié)論不成立，由假設出發(fā)，經(jīng)過推理證明，得出與假設矛盾的結(jié)論，從而證明假設不成立． 解答： 解：（1）證明：設x1，x2∈（﹣1，+∞），且x1＜x2，…（1分） 則x1+1＞0，x2+1＞0，…（2分） ∴；…（5分） ∴f（x1）＜f（x2），…（6分） ∴函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上為增函數(shù)；…（7分） （2）證明：假設存在x0＜0（x0≠﹣1），滿足，…（8分） 則，…（10分） 且； ∴；…（12分） 這與假設x0＜0矛盾， ∴方程ax+f（x）=0沒有負根． …（14分） 點評： 本題考查了關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)與應用的證明問題，解題時應根據(jù)題目的特點，進行分析與證明，是基礎題． 　 19．（14分）下表提供了某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應的生產(chǎn)能耗y（噸標準煤）的幾組對照數(shù)據(jù)． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程=x+； （2）請求出相關(guān)指數(shù)R2，并說明殘差變量對預報變量的影響約占百分之幾． （參考數(shù)值：32.5+43+54+64.5=66.5） 考點： 線性回歸方程． 專題： 概率與統(tǒng)計． 分析： （1）首先做出x，y的平均數(shù)，利用最小二乘法做出線性回歸直線的方程的系數(shù)，寫出回歸直線的方程，得到結(jié)果； （2）直接根據(jù)相關(guān)指數(shù)公式求出相關(guān)指數(shù)R2，進而可得殘差變量對預報變量的影響約占百分之幾． 解答： 解：（1）由已知可得： ，， ，， ， 所求的回歸方程為 …（7分） （2）計算得殘差及偏差的數(shù)據(jù)如下表： 0.05 ﹣0.15 0.15 ﹣0.05 ﹣1 ﹣0.5 0.5 1 從而得， 所以．…12分 所以殘差變量對預報變量的貢獻率約為2%．…（14分） 點評： 本題考查回歸直線方程，相關(guān)指數(shù)，考查回歸分析的初步應用．確定回歸直線方程是關(guān)鍵． 　 20．（14分）在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=4an﹣3n+1，n∈N*． （Ⅰ）證明數(shù)列{an﹣n}是等比數(shù)列； （Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n項和Sn； （Ⅲ）證明不等式Sn+1≤4Sn，對任意n∈N*皆成立． 考點： 數(shù)列的求和；等比關(guān)系的確定；等比數(shù)列的性質(zhì)． 專題： 綜合題． 分析： （Ⅰ）整理題設an+1=4an﹣3n+1得an+1﹣（n+1）=4（an﹣n），進而可推斷數(shù)列{an﹣n}是等比數(shù)列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可數(shù)列{an﹣n}的通項公式，進而可得{an}的通項公式根據(jù)等比和等差數(shù)列的求和公式，求得Sn． （Ⅲ）把（Ⅱ）中求得的Sn代入Sn+1﹣4Sn整理后根據(jù)證明原式． 解答： 解：（Ⅰ）證明：由題設an+1=4an﹣3n+1，得an+1﹣（n+1）=4（an﹣n），n∈N*． 又a1﹣1=1，所以數(shù)列{an﹣n}是首項為1，且公比為4的等比數(shù)列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知an﹣n=4n﹣1，于是數(shù)列{an}的通項公式為an=4n﹣1+n． 所以數(shù)列{an}的前n項和． （Ⅲ）證明：對任意的n∈N*，=． 所以不等式Sn+1≤4Sn，對任意n∈N*皆成立． 點評： 本題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式、不等式的證明等基礎知識，考查運算能力和推理論證能力．