2019-2020年高考數(shù)學模擬試卷 文（含解析）.doc

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2019-2020年高考數(shù)學模擬試卷 文（含解析） 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1．（5分）設(shè)全集U=R，集合P={x|x2﹣x﹣6≥0}，Q={x|2x≥1}，則（CRP）∩Q=（） A． {x|﹣2＜x＜3} B． {x|x≥0} C． {x|0≤x＜3} D． {x|0≤x＜2} 2．（5分）平面內(nèi)從點P（a，3）向C圓（x+2）2+（y+2）2=1作切線，則切線長的最小值是（） A． 4 B． 2 C． 5 D． 3．（5分）函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在[﹣，]的圖象如圖所示，為了得到這個函數(shù)的圖象，只要將f（x）=sinωx的圖象（） A． 向右平移個單位長度 B． 向右平移個單位長度 C． 向左平移個單位長度 D． 向左平移個單位長度 4．（5分）空間兩條不重合的直線a，b在同一平面α上的射影分別為兩條不重合的直線m，n，則“a∥b”是“m∥n”的（） A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充分必要條件 D． 既不充分也不必要條件 5．（5分）邊長為1的正三角形ABC內(nèi)一點M（包括邊界）滿足：=+λ（λ∈R），則?的取值范圍為（） A． [，] B． [，] C． [，] D． [，] 6．（5分）雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦點F1關(guān)于一條漸近線的對稱點P在另一條漸近線上，該雙曲線的離心率為（） A． B． C． 2 D． 7．（5分）已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|﹣1，且關(guān)于x方程f2（x）+af（x）﹣2=0有且只有三個實數(shù)根，則實數(shù)a的值為（） A． 1 B． ﹣1 C． 0 D． 2 8．（5分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱DD1⊥底面ABCD，P為底面ABCD內(nèi)的一個動點，當△D1PC的面積為定值b（b＞0）時，點P在底面ABCD上的運動軌跡為（） A． 橢圓 B． 雙曲線 C． 拋物線 D． 圓 二、填空題：本大題共7小題，共36分（其中1道三空題，每空2分，3道兩空題，每空3分，3道一空題，每空4分）. 9．（6分）等比數(shù)列{an}中，前n項和Sn=3n+r，則r=，公比q=，通項公式an=． 10．（6分）函數(shù)y=log2（）的定義域為，值域為． 11．（6分）某錐體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為，表面積為． 12．（6分）若變量x，y滿足約束條件，目標函數(shù)z=2x+y的最大值為7，則目標函數(shù)取最小值時的最優(yōu)解為，實數(shù)m的值為． 13．（4分）梯形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，點P為梯形所在平面內(nèi)一點，滿足：+++=+，若△ABC的面積為1，則△PCD的面積為． 14．（4分）若正實數(shù)a、b、c滿足a+b+c=3，ab+bc+ac=2，則a+b的最小值是． 15．（4分）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+1，若存在x0使|f（x0）|≤，|f（x0+1）|≤同時成立，則實數(shù)a的取值范圍為． 三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 16．（15分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且asinA+bsinB﹣csinC=bsinA． （Ⅰ）求∠C的度數(shù)； （Ⅱ）若c=2，求AB邊上的高CD的最大值． 17．（15分）已知等差數(shù)列{an}中，a1=12，公差為d，a3＞0，當且僅當n=3時|an|最?。? （Ⅰ）求公差d的取值范圍； （Ⅱ）若d∈Z（Z為整數(shù)集），求數(shù)列{|an|}的前n項和Sn的表達式． 18．（15分）如圖，點B是以AC為直徑的圓周上的一點，AB=BC，AC=4，PA=AB，PA⊥平面ABC，點E為PB的中點． （Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PBC； （Ⅱ）求直線AE與平面PAC所成角的大?。? 19．（15分）點P是在平面直角坐標系中不在x軸上的一個動點，滿足：過點P可作拋物線x2=y的兩條切線，切點分別為A，B． （Ⅰ）設(shè)點A（x1，y1），求證：切線PA的方程為y=2x1x﹣x12； （Ⅱ）若直線AB交y軸于R，OP⊥AB于Q點，求證：R是定點并求的最小值． 20．（14分）已知函數(shù)f（x）=x2+3|x﹣a|（a＞0，記f（x）在[﹣1，1]上的最小值為g（a）． （Ⅰ）求g（a）的表達式； （Ⅱ）若對x∈[﹣1，1]，恒有f（x）≤g（a）+m成立，求實數(shù)m的取值范圍． 浙江省暨陽聯(lián)誼學校xx高考數(shù)學模擬試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1．（5分）設(shè)全集U=R，集合P={x|x2﹣x﹣6≥0}，Q={x|2x≥1}，則（CRP）∩Q=（） A． {x|﹣2＜x＜3} B． {x|x≥0} C． {x|0≤x＜3} D． {x|0≤x＜2} 考點： 交、并、補集的混合運算． 專題： 集合． 分析： 求出P與Q中不等式的解集確定出P與Q，求出P的補集，找出（CRP）∩Q即可． 解答： 解：∵集合P={x|x2﹣x﹣6≥0}={x|（x﹣3）（x+2）≥0}=（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）， ∴（CRP）=（﹣2，3）， ∵Q={x|2x≥1}={x|2x≥20}={x|x≥0}=[0，+∞）， ∴（CRP）∩Q=[0，3）， 故選：C 點評： 本題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵． 2．（5分）平面內(nèi)從點P（a，3）向C圓（x+2）2+（y+2）2=1作切線，則切線長的最小值是（） A． 4 B． 2 C． 5 D． 考點： 直線與圓的位置關(guān)系． 專題： 計算題；直線與圓． 分析： 過A作x軸的垂線，與y=3交于點P，此時過點P作圓的切線PQ，切線長PQ最小，連接AQ，得到AQ垂直于PQ，先利用兩點間的距離公式求出AP的長，然后在直角三角形APQ中，利用勾股定理即可求出PQ 解答： 解：如圖，當PA⊥x軸時，過P點作的切線長最短， 根據(jù)PQ為圓的切線，Q為切點得到AQ⊥PQ， 由圓的方程得到圓心（﹣2，﹣2），半徑為1 在直角三角形APQ中，AQ=1，PA=3﹣（﹣2）=5， 根據(jù)勾股定理得PQ==2． 故選：B． 點評： 此題考查學生掌握切線垂直于經(jīng)過切點的直徑，靈活運用勾股定理解決實際問題，是一道中檔題．本題的突破點是找出切線長的最小值． 3．（5分）函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在[﹣，]的圖象如圖所示，為了得到這個函數(shù)的圖象，只要將f（x）=sinωx的圖象（） A． 向右平移個單位長度 B． 向右平移個單位長度 C． 向左平移個單位長度 D． 向左平移個單位長度 考點： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換． 專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： 由函數(shù)圖象可得T，由周期公式可求ω，由點（，0）在函數(shù)圖象上，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，又結(jié)合|φ|＜，即可求得φ的值，由f（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律即可得解． 解答： 解：由函數(shù)圖象可得：T=﹣（﹣）=π，故， 由點（，0）在函數(shù)圖象上，可得：0=sin（+φ），解得：φ=kπ﹣，k∈Z， 又|φ|＜，φ=， 所以有：f（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]， 故，只要將f（x）=sin2x的圖象向左平移個單位長度即可得到f（x）函數(shù)的圖象． 故選：D． 點評： 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于基本知識的考查． 4．（5分）空間兩條不重合的直線a，b在同一平面α上的射影分別為兩條不重合的直線m，n，則“a∥b”是“m∥n”的（） A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充分必要條件 D． 既不充分也不必要條件 考點： 充要條件． 專題： 簡易邏輯． 分析： 利用正方體舉反例，即可得到結(jié)論． 解答： 解：利用正方體舉反例，a∥b?m∥n，但是m∥n推不出a∥b， 故選：A 點評： 本題考查了充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題． 5．（5分）邊長為1的正三角形ABC內(nèi)一點M（包括邊界）滿足：=+λ（λ∈R），則?的取值范圍為（） A． [，] B． [，] C． [，] D． [，] 考點： 平面向量數(shù)量積的運算． 專題： 概率與統(tǒng)計． 分析： 通過已知M在三角形內(nèi)或者邊界，得到λ的范圍，然后利用向量的數(shù)量積解答． 解答： 解：因為點M在△ABC一點，（包括邊界）滿足：=+λ（λ∈R）， 所以0≤λ≤，所以?=（+λ）?=+=， 所以?； 故選B． 點評： 本題考查了向量的三角形法則以及數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題． 6．（ 5分）雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦點F1關(guān)于一條漸近線的對稱點P在另一條漸近線上，該雙曲線的離心率為（） A． B． C． 2 D． 考點： 雙曲線的簡單性質(zhì)． 專題： 計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 由雙曲線的對稱性，可得漸近線的傾斜角為，所以=，即可求出雙曲線的離心率． 解答： 解：由雙曲線的對稱性，可得漸近線的傾斜角為， ∴=， ∴e===2， 故選：C． 點評： 本題考查雙曲線的離心率，考查學生的計算能力，比較基礎(chǔ)． 7．（5分）已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|﹣1，且關(guān)于x方程f2（x）+af（x）﹣2=0有且只有三個實數(shù)根，則實數(shù)a的值為（） A． 1 B． ﹣1 C． 0 D． 2 考點： 函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系． 專題： 綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 作出f（x）=|x﹣1|﹣1的圖象，令t=f（x），對于方程t2+at﹣2=0，有一個根為﹣1，即可得出結(jié)論． 解答： 解：作出f（x）=|x﹣1|﹣1的圖象，令t=f（x），對于方程t2+at﹣2=0的兩個根t1=﹣1，t2∈（﹣1，+∞）， 代入可得a=﹣1，檢驗得三個實數(shù)根為1，﹣2，4，滿足題意， 故選：B． 點評： 本題考查了方程的根與函數(shù)的圖象的關(guān)系，同時考查了學生的作圖能力，屬于中檔題． 8．（5分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱DD1⊥底面ABCD，P為底面ABCD內(nèi)的一個動點，當△D1PC的面積為定值b（b＞0）時，點P在底面ABCD上的運動軌跡為（） A． 橢圓 B． 雙曲線 C． 拋物線 D． 圓 考點： 圓錐曲線的軌跡問題． 專題： 綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 利用側(cè)棱DD1⊥底面ABCD，P為底面ABCD內(nèi)的一個動點，△D1PC的面積為定值b（b＞0），可得點P到線段D1C的距離為定值，所以在空間點P的圓柱的側(cè)面，利用點P在平面ABCD上，即可得出結(jié)論． 解答： 解：因為側(cè)棱DD1⊥底面ABCD，P為底面ABCD內(nèi)的一個動點，△D1PC的面積為定值b（b＞0）， 所以點P到線段D1C的距離為定值， 所以在空間點P的圓柱的側(cè)面， 因為點P在平面ABCD上， 所以運動軌跡為橢圓， 故選：A． 點評： 本題考查圓錐曲線的軌跡方程，考查學生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)． 二、填空題：本大題共7小題，共36分（其中1道三空題，每空2分，3道兩空題，每空3分，3道一空題，每空4分）. 9．（6分）等比數(shù)列{an}中，前n項和Sn=3n+r，則r=﹣1，公比q=3，通項公式an=2?3n﹣1． 考點： 等比數(shù)列的前n項和． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 由等比數(shù)列的前n項和求出前3項，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得r，進一步求得q，然后代入等比數(shù)列的通項公式得答案． 解答： 解：由Sn=3n+r，得 a1=S1=3+r，a2=S2﹣S1=9+r﹣3﹣r=6，a3=S3﹣S2=27+r﹣9﹣r=18， ∵{an}為等比數(shù)列， ∴62=（3+r）?18，解得r=﹣1． a1=3﹣1=2， q=， ∴． 故答案為：﹣1；3；2?3n﹣1． 點評： 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的前n項和，是基礎(chǔ)題． 10．（6分）函數(shù)y=log2（）的定義域為R，值域為（﹣∞，1]． 考點： 對數(shù)函數(shù)的定義域． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 由對數(shù)式的真數(shù)大于0求得x的取值范圍得函數(shù)的定義域；再由的范圍結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得原函數(shù)的值域． 解答： 解：由＞0，得x∈R； ∵x2≥0，∴1+x2≥1，則， ∴y=log2（）的值域為（﹣∞，1]． 故答案為：R；（﹣∞，1]． 點評： 本題考查了對數(shù)函數(shù)定義域的求法，考查了對數(shù)函數(shù)的值域，是基礎(chǔ)的計算題． 11．（6分）某錐體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為，表面積為． 考點： 由三視圖求面積、體積． 專題： 立體幾何． 分析： 通過由三視圖可知該椎體位于邊長為2的正方體ABCD﹣EFGH的內(nèi)部，利用體積公式及表面積公式計算即可． 解答： 解：由三視圖可知，該椎體為三棱錐D﹣ACGE， 由三視圖中的數(shù)據(jù)可知正方體ABCD﹣EFGH的邊長為2， ∴VD﹣ACGE=?AC?AE?BD=2?2?=， SD﹣ACGE=S矩形ACGE+S△ACD+S△CDG+S△DEG+S△ADE =+++?2+ =6+2+4， 故答案為：，6+2+4． 點評： 本題以正方體為載體，考查利用三視圖求空間幾何體的體積和表面積，考查空間想象能力和邏輯思維能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題． 12．（6分）若變量x，y滿足約束條件，目標函數(shù)z=2x+y的最大值為7，則目標函數(shù)取最小值時的最優(yōu)解為（1，﹣1），實數(shù)m的值為4． 考點： 簡單線性規(guī)劃． 專題： 不等式的解法及應(yīng)用． 分析： 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，先求目標函數(shù)取得最大值時的最對應(yīng)的m的值，即可得到結(jié)論． 解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）． 由z=2x+y得y=﹣2x+z， 平移直線y=﹣2x+z， 由圖象可知當直線y=﹣2x+z經(jīng)過點C時，直線y=﹣2x+z的截距最大， 此時z最大為2x+y=7． 由，解得，即C（3，1）， 同時C也在x+y﹣m=0上， 解得m=x+y=3+1=4． 由當直線經(jīng)過點B時，直線y=﹣2x+z的截距最小， 由，解得，即B（1，﹣1）， 故答案為：（1，﹣1），4 點評： 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法． 13．（4分）梯形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，點P為梯形所在平面內(nèi)一點，滿足：+++=+，若△ABC的面積為1，則△PCD的面積為1． 考點： 向量在幾何中的應(yīng)用． 專題： 平面向量及應(yīng)用． 分析： 先根據(jù)向量的減法、加法運算將等式中的向量都用P為起點的向量來表示，然后化簡已知，最終確定出P點的位置，再根據(jù)已知的三角形與所求的三角形底邊、高之間的關(guān)系求出所求 解答： 解：由+++=+=得： ，所以P點是AC的中點．所以． 因為梯形ABCD中，AB=CD，AB∥CD， 所以h△ABC=S△ABC=1． 故答案為1． 點評： 本題考查了向量的運算及其幾何意義，化歸思想的應(yīng)用以及三角形的面積公式． 14．（4分）若正實數(shù)a、b、c滿足a+b+c=3，ab+bc+ac=2，則a+b的最小值是． 考點： 基本不等式在最值問題中的應(yīng)用． 專題： 不等式的解法及應(yīng)用． 分析： 由已知得到c=3﹣（a+b），代入ab+bc+ac=2，利用基本不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于（a+b）的不等式，求解不等式得a+b的最小值． 解答： 解：∵a+b+c=3，∴c=3﹣（a+b）， 由ab+bc+ac=2，得ab+c（a+b）=2． ∴ab=（a+b）2﹣3（a+b）+2， ∴3（a+b）2﹣12（a+b）+8≤0， 解得：． 故答案為：． 點評： 本題考查了基本不等式在最值中的應(yīng)用，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題． 15．（4分）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+1，若存在x0使|f（x0）|≤，|f（x0+1）|≤同時成立，則實數(shù)a的取值范圍為[﹣，﹣2]∪[2，]． 考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 求出二次函數(shù)的最值，考察f（x）=x2+h，當h=0，﹣時，有|f（﹣）|≤，|f（﹣+1）|≤同時成立，令﹣≤0，解不等式即可得到． 解答： 解：由f（x）=（x+）2+， 考察f（x）=x2+h，當h=0時，有|f（﹣）|≤，|f（﹣+1）|≤同時成立； 當h=﹣時，有|f（﹣）|≤，|f（﹣+1）|≤同時成立． 所以﹣h≤0即﹣≤0， 解得﹣≤a≤﹣2或2≤a≤． 故答案為：[﹣，﹣2]∪[2，]． 點評： 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和運用，主要考查二次函數(shù)的最值，同時考查二次不等式的解法，屬于中檔題． 三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 16．（15分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且asinA+bsinB﹣csinC=bsinA． （Ⅰ）求∠C的度數(shù)； （Ⅱ）若c=2，求AB邊上的高CD的最大值． 考點： 余弦定理的應(yīng)用；正弦定理的應(yīng)用． 專題： 解三角形． 分析： （Ⅰ）由已知結(jié)合正弦定理，余弦定理可得：cosC=，又0＜C＜π，即可解得C的值． （Ⅱ）由已知c=2，CD==absinC，結(jié)合正弦定理和三角函數(shù)恒等變換化簡可得CD=sin（2B﹣）+，當B=時取到等號，從而得解． 解答： 解：（Ⅰ）由已知結(jié)合正弦定理，余弦定理可得：cos∠C==，又0＜C＜π，可得C=；…7分 （Ⅱ）由已知c=2，因為CD==absinC， 結(jié)合正弦定理可得：CD= =sinAsinB =sin（﹣B）sinB =（cosBsinB+sin2B） =sin2B+（1﹣cos2B） =（sin2B﹣cos2B）+ =sin（2B﹣）+，當B=時取到等號…15分 點評： 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換等知識的應(yīng)用，綜合性強，屬于中檔題． 17．（15分）已知等差數(shù)列{an}中，a1=12，公差為d，a3＞0，當且僅當n=3時|an|最小． （Ⅰ）求公差d的取值范圍； （Ⅱ）若d∈Z（Z為整數(shù)集），求數(shù)列{|an|}的前n項和Sn的表達式． 考點： 等差數(shù)列的性質(zhì)． 專題： 計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （Ⅰ）根據(jù)已知條件，可得a3＞0，且a4+a3＜0，利用等差數(shù)列的通項公式列出不等式組，求出d的范圍． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，d=﹣5，可得an=﹣5n+17，Tn=，分類討論，即可求數(shù)列{|an|}的前n項和Sn的表達式． 解答： 解：（Ⅰ）∵a3＞0，當且僅當n=3時，|an|取到最小值， ∴a3＞0，且a4+a3＜0， ∵a1=12， ∴12+2d＞0，12+3d+12+2d＜0， 解得﹣6＜d＜﹣； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，d=﹣5，∴an=﹣5n+17，∴Tn=， ∴1≤n≤3時，Sn=， n≥4時，Sn=﹣Tn+2T3=+42， ∴Sn=． 點評： 本題考查等差數(shù)列的通項與求和，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題． 18．（15分）如圖，點B是以AC為直徑的圓周上的一點，AB=BC，AC=4，PA=AB，PA⊥平面ABC，點E為PB的中點． （Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PBC； （Ⅱ）求直線AE與平面PAC所成角的大?。? 考點： 平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角． 專題： 空間位置關(guān)系與距離；空間角． 分析： （Ⅰ）證明BC⊥面PAC，推出BC⊥AE，然后證明AE⊥PB，推出AE⊥平面PBC，然后證明平面AEC⊥平面PBC． （Ⅱ）作BO⊥平面APC，取PO的中點G，連結(jié)EG，連結(jié)AG，說明∠EAG就是直線AE與平面PAC所成角，通過解三角形求解即可． 解答： 證明：（Ⅰ）∵PA⊥⊙O所在平面，且BC為⊙O的弦， ∴PA⊥BC ∵AB為⊙O的直徑， ∴BC⊥AC． 而PA∩AC=A． ∴BC⊥面PAC， ∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE， ∵PA=AB，PA⊥平面ABC，點E為PB的中點． ∴AE⊥PB，PB∩BC=B， ∴AE⊥平面PBC． ∵AE?平面AEC， ∴平面AEC⊥平面PBC． （Ⅱ）作BO⊥平面APC，取PO的中點G，連結(jié)EG， 則EG∥BO，?EG⊥平面PAC，連結(jié)AG， ∴∠EAG就是直線AE與平面PAC所成角， AE=PB=2，， ∴sin∠EAG==， ∴直線AE與平面PAC所成角為：． 點評： 本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，直線與平面所成角的求法，其中熟練掌握空間線面垂直、平行的判定、性質(zhì)，善于根據(jù)直角三角形、圓周角的性質(zhì)，判斷出直線與直線垂直是解答本題的關(guān)鍵． 19．（15分）點P是在平面直角坐標系中不在x軸上的一個動點，滿足：過點P可作拋物線x2=y的兩條切線，切點分別為A，B． （Ⅰ）設(shè)點A（x1，y1），求證：切線PA的方程為y=2x1x﹣x12； （Ⅱ）若直線AB交y軸于R，OP⊥AB于Q點，求證：R是定點并求的最小值． 考點： 直線與圓錐曲線的關(guān)系． 專題： 直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： （Ⅰ）設(shè)以A（x1，x12）為切點的切線方程為y﹣x12=k（x﹣x1），聯(lián)立拋物線方程，運用判別式為0，求得斜率k，即可得證； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得P（，x1x2），設(shè)直線AB方程，聯(lián)立拋物線方程，求得P的坐標，由垂直的條件，可得R的坐標，進而得到|PQ|，|QR|，運用基本不等式即可得到最小值． 解答： 證明：（Ⅰ）設(shè)以A（x1，x12）為切點的切線方程為y﹣x12=k（x﹣x1）， 聯(lián)立拋物線方程，可得x2﹣kx+kx1﹣x12=0， 由△=k2﹣4kx1+4x12=（k﹣2x1）2=0， 得k=2x1，所以切線PA：y=2x1x﹣x12； （Ⅱ）設(shè)B（x2，x22）， 由（Ⅰ）可得切線PB：y=2x2x﹣x22，可得P（，x1x2）， 設(shè)AB：y=kx+m與y=x2聯(lián)立得x2﹣kx﹣m=0， 即P（，﹣m），由題意可得k?kOP=k?=﹣2m=﹣1， 解得m=，即R（0，），由可得Q（﹣，）， |PQ|=，|QR|==， 所以==|k|+≥2， 當且僅當k=時，的最小值為2． 點評： 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的方程的運用，聯(lián)立直線方程，運用判別式為0，同時考查直線垂直的條件，考查運算求解能力，屬于中檔題． 20．（14分）已知函數(shù)f（x）=x2+3|x﹣a|（a＞0，記f（x）在[﹣1，1]上的最小值為g（a）． （Ⅰ）求g（a）的表達式； （Ⅱ）若對x∈[﹣1，1]，恒有f（x）≤g（a）+m成立，求實數(shù)m的取值范圍． 考點： 函數(shù)的最值及其幾何意義． 專題： 分類討論；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用． 分析： （Ⅰ）運用分段的形式寫出f（x），討論①0＜a≤1時，②a＞1時，根據(jù)單調(diào)性，可得最小值g（a）； （Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（a），討論①0＜a≤1時，②當a＞1時，求得h（x）的最大值，即可得到m的范圍． 解答： 解：（Ⅰ）f（x）=， ∵a＞0，﹣1≤x≤1， ①0＜a≤1時，f（x）在[﹣1，a]上遞減，在[a，1]上遞增，則g（a）=f（a）=a2； ②a＞1時，f（x）在[﹣1，]遞減，則g（a）=f（1）=3a﹣2． 則有g(shù)（a）=； （Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（a）， ①0＜a≤1時，g（a）=a2， 當﹣1≤x≤a，h（x）=x2﹣3x+3a﹣a2在[﹣1，a]遞減， h（x）≤h（﹣1）=4+3a﹣a2≤6， 當a≤a≤1，h（x）=x2+3x﹣3a﹣a2在[a，1]上遞增， h（x）≤h（1）=4﹣3a﹣a2＜4， ②當a＞1時，g（a）=3a﹣2，h（x）=x2﹣3x+2≤h（﹣1）=6， 綜上可得，h（x）=f（x）﹣g（a）在a＞0，﹣1≤x≤1上 的最大值為6． 即有h（x）≤m恒成立，即m≥6． 則m的取值范圍是[6，+∞）． 點評： 本題考查分段函數(shù)的運用，主要考查二次函數(shù)的最值的求法，運用函數(shù)的單調(diào)性和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．