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1、江西省紅色六校2015屆高三第二次聯(lián)考
文科數(shù)學(xué)試題
(分宜中學(xué)、蓮花中學(xué)、任弼時(shí)中學(xué)、瑞金一中、南城一中、遂川中學(xué))
命題、審題:分宜中學(xué) 劉日輝 遂川中學(xué) 郭愛(ài)平
一、選擇題(每小題5分,共60分)
1.復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)為( )
A . B. C. D.
2.設(shè)集合,則等于( )
A. B. C. D.
4
4
4
4
2
正視圖
側(cè)視圖
俯視圖
第5題圖
則=( )
A. B.
2、 C. D.
4.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),
則它在點(diǎn)A處的切線方程是( )
A. B.
C. D.
5.已知一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的表面積為( )
A. B.
C. D.
6.閱讀右邊程序框圖,為使輸出的數(shù)據(jù)為30,
則判斷框中應(yīng)填入的條件為( )
A.i≤4 B. i≤5`
C. i≤6 D. i≤7
7.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸正半軸重合,終邊在 直線上,則的值為( )
A. B. C. D.
8
3、.設(shè)變量x,y滿足的最大值為( )
A.3 B.8 C. D.
9. 在中,是邊上的一點(diǎn),且則的值為( )
A.0 B.4 C.8 D.-4
10.已知函數(shù) 若數(shù)列滿足,且是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
11.在x軸、y軸上截距相等且與圓相切的直線L共有( )條
A.2 B.3 C.4 D.6
12. 已知有兩個(gè)不同
4、的零點(diǎn),則的取值范圍是
A. B. C. D.
二、填空題(每小題5分,共20分)
13.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且,則
14.在內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù),則使函數(shù)有零點(diǎn)的概率為.
15.用兩個(gè)
5、平行平面同截一個(gè)直徑為20cm的球面,所得截面圓的面積分別是,則這兩個(gè)平面間的距離是___________cm.
16.點(diǎn)A是拋物線與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)(異于原點(diǎn)),若點(diǎn)A到拋物線的準(zhǔn)線的距離為,則雙曲線的離心率等于____________
三、簡(jiǎn)答題(每小題12分,共60分)
17.為了更好的了解某校高三學(xué)生期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)情況,從所有高三學(xué)生中抽取40名學(xué)生,將他們的數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分100分,成績(jī)均為不低于40分的整數(shù))分成六段: 后得到如圖所示的頻率分布直方圖。
(1)若該校高三年級(jí)有1800人,試估計(jì)這次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)及60分以上的學(xué)生的平均分;
6、
(2)若從這兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生,求這兩名學(xué)生成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10的概率。
18. 已知是正數(shù)組成的數(shù)列,,且點(diǎn)()(nN*)在函數(shù)的圖象上.數(shù)列滿足,。
(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列滿足,求的前n項(xiàng)和
P
A
B
C
D
G
E
F
M
19.(12分)
如圖,已知在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F(xiàn),G分別是PD,PC,BC的中點(diǎn).
(1)求證:平面EFG⊥平面PAD;
(2)若M是線段CD上一點(diǎn),求三棱錐M﹣EF
7、G的體積.
20.已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)任意的,都有成立,求的取值范圍.
21.已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),其中是正常數(shù),都是拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)的弦,且,的斜率為,且,兩點(diǎn)在軸上方.
(1) 求;
(2)①當(dāng)時(shí),求;
②設(shè)△AFC與△BFD的面積之和為,求當(dāng)變化時(shí)的最小值.
四、選做題(從下面三題中選做一題,共10分)
22.如圖,已知△ABC中的兩條角平分線AD和CE相交于H,
∠B=60,F(xiàn)在AC上,且AE=AF.
(1)證明:B、D、H、E四點(diǎn)共圓;
(2)證明:CE平分∠DEF.
23.已知圓
8、的極坐標(biāo)方程為:,
(1)將極坐標(biāo)方程化為普通方程;
(2)若點(diǎn)P(x,y)在該圓上,求x+y的最大值和最小值.
24.已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;
(2)若的解集包含,求a的取值范圍。
2015屆紅色六校聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題參考答案
一選擇題
B D A C , C A D B , B C B C
二填空題
13, 14, 15,2或14 16,
17.(1)解:由于圖中所有小矩形的面積之和等于1,
所以. …………………………1分
解得.
9、 ………………………………………………………………………2分
根據(jù)頻率分布直方圖,成績(jī)不低于60分的頻率為.……3分
由于高三年級(jí)共有學(xué)生1800人,可估計(jì)該校高三年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)約為人. …………………………………..4分
可估計(jì)不低于60分的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為:
65+75+85+95=66.25 ………………………………….6分
(2)解:成績(jī)?cè)诜謹(jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為人, ……………… 7分成績(jī)?cè)诜謹(jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為人, …………………………………8分
若從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人
10、,則總的取法有 種 ……………… 9分
如果兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)都在分?jǐn)?shù)段內(nèi)或都在分?jǐn)?shù)段內(nèi),那么這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值一定不大于10.如果一個(gè)成績(jī)?cè)诜謹(jǐn)?shù)段內(nèi),另一個(gè)成績(jī)?cè)诜謹(jǐn)?shù)段內(nèi),那么這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值一定大于10.…… 10分
則所取兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10分的取法數(shù)為7種 ………………11分
所以所求概率為. ……………………………………………………12分
18. (Ⅰ)由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1,又a1=1,
所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),公差為1的等差數(shù)列.
故an=1
11、+(a-1)1=n …………………………………………………………………………3分
從而bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)++(b2-b1)+b1
=2n-1+2n-2++2+1
==2n-1 ............................................................6分
(Ⅱ)Cn = n2n –n
令,由錯(cuò)位相減法可得...10分
從而..........................................12分
19.解:(1)∵平面PAD⊥平
12、面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD平面ABCD,CD⊥AD ∴CD⊥平面PAD…………………….(3分)
P
A
B
C
D
G
E
F
M
又∵△PCD中,E、F分別是PD、PC的中點(diǎn),
∴EF∥CD,可得EF⊥平面PAD
∵EF平面EFG,∴平面EFG⊥平面PAD;……………….(6分)
(2)∵EF∥CD,EF平面EFG,CD平面EFG,
∴CD∥平面EFG,
因此CD上的點(diǎn)M到平面EFG的距離等于點(diǎn)D到平面EFG的距離,
∴VM﹣EFG=VD﹣EFG, (
13、8分)
取AD的中點(diǎn)H連接GH、EH,則EF∥GH,
∵EF⊥平面PAD,EH平面PAD,∴EF⊥EH
于是S△EFH=EFEH=2=S△EFG,
∵平面EFG⊥平面PAD,平面EFG∩平面PAD=EH,△EHD是正三角形
∴點(diǎn)D到平面EFG的距離等于正△EHD的高,即為, (10分)
因此,三棱錐M﹣EFG的體積VM﹣EFG=VD﹣EFG=S△EFG=. (12分)
21、(1)設(shè)
由得
………………(2分)
由拋物線定義得
同理用
…………………(5分)
(2)①
14、 …………………(7分)
當(dāng)時(shí),
又,解得 ……………(8分)
②由①同理知,
由變形得 …………………(10分)
又
…………………(11分)
即當(dāng)時(shí)有最小值 …………………(12分)
22.證明 (1)在△ABC中,因?yàn)椤螧=60,
所以∠BAC+∠BCA=120.
因?yàn)锳D,CE是角平分線,
所以∠HAC+∠HCA=60,
故∠AHC=120.
于是∠EHD=∠AHC=120.
因?yàn)椤螮BD+∠EHD=180,
所以B、D、H、E四點(diǎn)共圓.…………5分
15、
(2)連接BH,則BH為∠ABC的平分線,
得∠HBD=30.
由(1)知B、D、H、E四點(diǎn)共圓.
所以∠CED=∠HBD=30.
又∵∠AHE=∠EBD=60,
由已知可得EF⊥AD,
可得∠CEF=30,
所以CE平分∠DEF ……………………10分
23. (1) p - 4√2pcos(θ-π/4) + 6 = 0 p - 4√2p [cosθcos(π/4) + sinθsin(π/4)] + 6 = 0
即p - 4√2p [cosθ (1/√2) + sinθ (1/√2)] + 6 = 0
即p - 4pcosθ - 4psinθ + 6 = 0
16、
即 x + y - 4x - 4y + 6 = 0
所以圓的方程為 (x - 2) + (y - 2) = 2 …………5分
(2) 設(shè)圓的參數(shù)方程為 x = 2 + √2cosα, y = 2 + √2sinα
則 x + y = 2+ √2cosα + 2 + √2sinα = 4 + √2(cosα + sinα) = 4 + √2 * √2 [cosα (1/√2) + sinα (1/√2)] = 4 + 2 [cosα sin(π/4) + sinα cos(π/4)] = 4 + 2sin(α + π/4)
當(dāng)sin(α + π/4) = 1時(shí), x + y 有最大值為6 ………8分
當(dāng)sin(α + π/4) = -1時(shí), x + y 有最小值為2………10分
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