海淀區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題及答案理科.doc
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海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí) 數(shù) 學(xué) (理科) 2010.5 審核:陳亮 校對(duì):張浩 一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng). 1.已知集合,,則 A. B. C. D. 2.函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程可以為 A. B. C. D. 3.如圖,是⊙O的直徑,切⊙O于點(diǎn), 連接,若,則的大小為 A. B. C. D. 4.函數(shù)在定義域內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 A.0 B.1 C.2 D.3 開(kāi)始 S=0 M S=S+k 結(jié)束 輸出S 是 否 k=1 5.已知不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為4,則的值為 A.1 B. C.1或 D.0 6.已知,是不同的直線(xiàn),,是不同的平面,則下列條件能 使成立的是 A., B., C., D., 7.按照如圖的程序框圖執(zhí)行,若輸出結(jié)果為15,則M處條件為 A. B. C. D. 8.已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),并且與直線(xiàn)相切,若直線(xiàn)與圓C有公共點(diǎn),則圓C的面積 A.有最大值為 B.有最小值為 C.有最大值為 D.有最小值為 二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.把答案填在題中橫線(xiàn)上. 9.在極坐標(biāo)系中,若點(diǎn)()是曲線(xiàn)上的一點(diǎn),則 . 10.某校高中年級(jí)開(kāi)設(shè)了豐富多彩的校本課程,甲、乙 兩班各隨機(jī)抽取了5名學(xué)生的學(xué)分,用莖葉圖表示(如 右圖).,分別表示甲、乙兩班各自5名學(xué)生學(xué)分的 標(biāo)準(zhǔn)差,則 .(填“”、“”或“=”) 11.已知向量a=,b=,若,則 ; . 12. 已知數(shù)列滿(mǎn)足,(N),則的值為 . 13.在中,角,,所對(duì)應(yīng)的邊分別為,,,若,則的最大值為 . 14.給定集合,映射滿(mǎn)足: ①當(dāng)時(shí),; ②任取若,則有. .則稱(chēng)映射:是一個(gè)“優(yōu)映射”.例如:用表1表示的映射:是一個(gè)“優(yōu)映射”. 表1 表2 1 2 3 2 3 1 1 2 3 4 3 (1)已知表2表示的映射: 是一個(gè)優(yōu)映射,請(qǐng)把表2補(bǔ)充完整(只需填出一個(gè)滿(mǎn)足條件的映射); (2)若映射:是“優(yōu)映射”,且方程的解恰有6個(gè),則這樣的“優(yōu)映射”的個(gè)數(shù)是_____. 三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明, 演算步驟或證明過(guò)程. 15.(本小題滿(mǎn)分13分) 記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知. (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)令,求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 16.(本小題滿(mǎn)分14分) 已知四棱錐,底面為矩形,側(cè)棱,其中,為側(cè)棱上的兩個(gè)三等分點(diǎn),如圖所示. (Ⅰ)求證:; (Ⅱ)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值; (Ⅲ)求二面角的余弦值. 17.(本小題滿(mǎn)分13分) 為保護(hù)水資源,宣傳節(jié)約用水,某校4名志愿者準(zhǔn)備去附近的甲、乙、丙三家公園進(jìn)行宣傳活動(dòng),每名志愿者都可以從三家公園中隨機(jī)選擇一家,且每人的選擇相互獨(dú)立. (Ⅰ)求4人恰好選擇了同一家公園的概率; (Ⅱ)設(shè)選擇甲公園的志愿者的人數(shù)為,試求的分布列及期望. 18.(本小題滿(mǎn)分13分) 已知函數(shù),其中a為常數(shù),且. (Ⅰ)若,求函數(shù)的極值點(diǎn); (Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 19.(本小題滿(mǎn)分13分) 已知橢圓和拋物線(xiàn)有公共焦點(diǎn)F(1,0), 的中心和的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M(4,0)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)分別相交于A,B兩點(diǎn). (Ⅰ)寫(xiě)出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程; (Ⅱ)若,求直線(xiàn)的方程; (Ⅲ)若坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上,直線(xiàn)與橢圓有公共點(diǎn),求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值. 20.(本小題滿(mǎn)分14分) 已知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷,定義: , . 其中,表示函數(shù)在上的最小值,表示函數(shù)在上的最大值.若存在最小正整數(shù),使得對(duì)任意的成立,則稱(chēng)函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”. (Ⅰ)若,,試寫(xiě)出,的表達(dá)式; (Ⅱ)已知函數(shù),,試判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”,如果是,求出對(duì)應(yīng)的;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由; (Ⅲ)已知,函數(shù)是上的2階收縮函數(shù),求的取值范圍. 海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí) 數(shù) 學(xué) (理) 參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2010.5 說(shuō)明: 合理答案均可酌情給分,但不得超過(guò)原題分?jǐn)?shù). 第Ⅰ卷(選擇題 共40分) 一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分) 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C A B A D 第Ⅱ卷(非選擇題 共110分) 二、填空題(本大題共6小題,每小題5分, 有兩空的小題,第一空3分,第二空2分,共30分) 9.1 10. 11.2 ; 12.48 13. 14. ;84. 三、解答題(本大題共6小題,共80分) 15.(本小題滿(mǎn)分13分) 解:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由, 可得 , ………………………2分 即, 解得, ………………………4分 ∴, 故所求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為. ………………………5分 (Ⅱ)依題意,, ∴ , ………………………7分 又, …………………9分 兩式相減得 ………………………11分 , ………………………12分 ∴. ………………………13分 16.(本小題滿(mǎn)分14分) (Ⅰ)證明:連結(jié)交于,連結(jié) , , , ………… 1分 , , , ………… 3分 , . ………… 4分 (Ⅱ)如圖所示,以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系, 則,,,, ,,, , ………………………5分 , ………………………7分 異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為 . ………………………8分 (Ⅲ)側(cè)棱, , ………………………9分 設(shè)的法向量為, ,并且, ,令得,, 的一個(gè)法向量為 . ………………………11分 , ………………………13分 由圖可知二面角的大小是銳角, 二面角大小的余弦值為 . .………………………14分 17. (本小題滿(mǎn)分13分) 解:(Ⅰ)設(shè)“4人恰好選擇了同一家公園”為事件A. ………………1分 每名志愿者都有3種選擇,4名志愿者的選擇共有種等可能的情況 . …………………2分 事件A所包含的等可能事件的個(gè)數(shù)為3, …………………3分 所以,. 即:4人恰好選擇了同一家公園的概率為. ………………5分 (Ⅱ)設(shè)“一名志愿者選擇甲公園”為事件C,則. .………………………6分 4人中選擇甲公園的人數(shù)可看作4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件C發(fā)生的次數(shù),因此,隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布. 可取的值為0,1,2,3,4. .………………………8分 , . .………………………10分 的分布列為: 0 1 2 3 4 .………………………12分 的期望為. .………………………13分 18.(本小題滿(mǎn)分13分) 解法一:(Ⅰ)依題意得,所以, .………………………1分 令,得, .………………………2分 ,隨x的變化情況入下表: x - 0 + 0 - 極小值 極大值 ………………………4分 由上表可知,是函數(shù)的極小值點(diǎn),是函數(shù)的極大值點(diǎn). ………………………5分 (Ⅱ) , .………………………6分 由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減可知:對(duì)任意恒成立, .………………………7分 當(dāng)時(shí),,顯然對(duì)任意恒成立; .…………………8分 當(dāng)時(shí),等價(jià)于, 因?yàn)椋坏仁降葍r(jià)于, .………………………9分 令, 則,在上顯然有恒成立,所以函數(shù)在單調(diào)遞增, 所以在上的最小值為, .………………………11分 由于對(duì)任意恒成立等價(jià)于對(duì)任意恒成立, 需且只需,即,解得,因?yàn)椋? 綜合上述,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為. .………………………13分 解法二:(Ⅰ)同解法一 (Ⅱ), .………………………6分 由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減可知:對(duì)任意恒成立, 即對(duì)任意恒成立, …………………7分 當(dāng)時(shí),,顯然對(duì)任意恒成立; …………………8分 當(dāng)時(shí),令,則函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為, .………………………9分 若,即時(shí),函數(shù)在單調(diào)遞增,要使對(duì)任意恒成立,需且只需,解得,所以; ..………………………11分 若,即時(shí),由于函數(shù)的圖象是連續(xù)不間斷的,假如對(duì)任意恒成立,則有,解得,與矛盾,所以不能對(duì)任意恒成立. 綜合上述,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為. .………………………13分 19.(本小題滿(mǎn)分13分) 解:(Ⅰ)由題意,拋物線(xiàn)的方程為:, …………2分 (Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)的方程為:. 聯(lián)立,消去,得 , ………………3分 顯然,設(shè), 則 ① ② …………………4分 又,所以 ③ …………………5分 由①② ③消去,得 , 故直線(xiàn)的方程為或 . …………………6分 (Ⅲ)設(shè),則中點(diǎn)為, 因?yàn)閮牲c(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng), 所以,即,解之得, …………………8分 將其代入拋物線(xiàn)方程,得: ,所以,. ………………………9分 聯(lián)立 ,消去,得: . ………………………10分 由,得 ,即, …………………12分 將,代入上式并化簡(jiǎn),得 ,所以,即, 因此,橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為. ………………………13分 20.(本小題滿(mǎn)分14分) 解:(Ⅰ)由題意可得: , ………………………1分 . ………………………2分 (Ⅱ), ………………………3分 , ………………………4分 , ………………………5分 當(dāng)時(shí),,; 當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),. 綜上所述, ………………………6分 即存在,使得是上的4階收縮函數(shù). ………………………7分 (Ⅲ),令得或. 函數(shù)的變化情況如下: 令,解得或3. ………………………8分 ?。r(shí),在上單調(diào)遞增,因此,,. 因?yàn)槭巧系?階收縮函數(shù), 所以,①對(duì)恒成立; ②存在,使得成立. ………………………9分 ①即:對(duì)恒成立, 由,解得:或, 要使對(duì)恒成立,需且只需. .………………………10分 ②即:存在,使得成立. 由得:或, 所以,需且只需. 綜合①②可得:. .………………………11分 ⅱ)當(dāng)時(shí),顯然有,由于在上單調(diào)遞增,根據(jù)定義可得: ,, 可得 , 此時(shí),不成立. .………………………13分 綜合ⅰ)ⅱ)可得:. 注:在ⅱ)中只要取區(qū)間(1,2)內(nèi)的一個(gè)數(shù)來(lái)構(gòu)造反例均可,這里用只是因?yàn)楹?jiǎn)單而已.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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