小學(xué)奧數(shù) 約瑟夫斯問題

約瑟夫斯問題 在古代，有一個野蠻部落，將抓起來的俘虜圍成一圈，并從某人開始按順時針方向以自然數(shù)1，2，3， 編號，然后殺掉1號、3號、5號如此進(jìn)行下去，隔一個人殺一個人，直至最后余下一個人為止，這個幸存者就是約瑟夫斯. 例1：有1000人排成一排，依次編號為1，2，3，1000. 現(xiàn)在進(jìn)行1，2，1，2，這樣報數(shù). 1號學(xué)生報1后立即離開，2號學(xué)生報2并留下；3號學(xué)生報1后立即離開，4號學(xué)生報2并留下；999號學(xué)生報1后立即離開，1000號學(xué)生報2并留下；然后從2號開始重新報數(shù)，2號學(xué)生報1后立即離開，4號學(xué)生報2并留下；如此進(jìn)行下去，報1的同學(xué)離開，報2的同學(xué)留下，直到最后還剩下1個人. 問這個人的編號是多少？ 例2：有1000個學(xué)生坐成一圈，依次編號為1,2，3,，1000. 現(xiàn)在進(jìn)行1，2，1，2，這樣報數(shù). 1號學(xué)生報1后立即離開，2號學(xué)生報2并留下；三號學(xué)生報1后立即離開，4號學(xué)生報2并留下；如此進(jìn)行下去，報1的同學(xué)離開，報2的同學(xué)留下，直到最后還剩下1個人. 問這個人的編號是多少？ 例3：有100張的一摞卡片，玲玲拿著它們，從最上面的一張開始按如下的順序進(jìn)行操作：把最上面的第一張卡片舍去，把下一張卡片放在這一摞卡片的最下面。再把原來的第三張卡片舍去，把下一張卡片放在最下面. 反復(fù)這樣做直到手中只剩下一張卡片，那么剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第幾張？ 練習(xí)1：有兩副撲克牌，每副牌的排列順序均按頭兩張是大王、小王，然后黑桃、紅桃、方塊、梅花4種花色排列，每種花色的牌又按 2，3，的順序排列。某人把按上述排列的兩副撲克牌上、下疊放在一起，然后把第1張丟掉，把第2張放在最底層，再把第3張丟掉，把第4張放在最底層，如此進(jìn)行下去，直到最后只剩下一張牌。試問剩下的這張牌是哪一張？ 例4：把1，2，. . . ，999這999個數(shù)均勻排成一個大圓圈，從1開始數(shù)：隔過1劃掉2，3，隔過4，劃掉5，6，. . .，這樣每隔一個數(shù)劃掉兩個數(shù)，轉(zhuǎn)圈劃下去. 問：最后剩下哪個數(shù)？為什么？例5：圓周上放有N枚棋子，如 右圖所示. B點(diǎn)的一枚棋子 緊鄰A點(diǎn)的棋子. 小洪首先 拿走B點(diǎn)處的一枚棋子，然 后順時針每隔1枚拿走2枚棋子，連續(xù)轉(zhuǎn)了10周，9次越過A.當(dāng)將要第10次越過A處棋子取走其它棋子時，小洪發(fā)現(xiàn)圓周上余下20多枚棋子. 若N是14的倍數(shù)，則圓周上還有多少枚棋子？ BA作業(yè)：在一個圓周上放一枚黑色的和1990枚白色棋子.一個同學(xué)進(jìn)行這樣的操作：從黑色開始，按順時針方向，每隔1枚，取走1枚.當(dāng)他取到黑子時，圓周上還剩下多少枚棋子？