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1、
解三角形
一、基礎(chǔ)知識(shí)
在本章中約定用A,B,C分別表示△ABC的三個(gè)內(nèi)角,a, b, c分別表示它們所對(duì)的各邊長(zhǎng),為半周長(zhǎng)。
1.正弦定理:=2R(R為△ABC外接圓半徑)。
推論1:△ABC的面積為S△ABC=
推論2:在△ABC中,有bcosC+ccosB=a.
推論3:在△ABC中,A+B=,解a滿足,則a=A.
正弦定理可以在外接圓中由定義證明得到,這里不再給出,下證推論。先證推論1,由正弦函數(shù)定義,BC邊上的高為bsinC,所以S△ABC=;再證推論2,因?yàn)锽+C=-A,所以sin(B+C)=sinA,即sinBcosC+cosBsinC=sinA,兩邊同
2、乘以2R得bcosC+ccosB=a;再證推論3,由正弦定理,所以,即sinasin(-A)=sin(-a)sinA,等價(jià)于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= [cos(-a+A)-cos(-a-A)],等價(jià)于cos(-A+a)=cos(-a+A),因?yàn)?<-A+a,-a+A<. 所以只有-A+a=-a+A,所以a=A,得證。
2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,下面用余弦定理證明幾個(gè)常用的結(jié)論。
(1)斯特瓦特定理:在△ABC中,D是BC邊上任意一點(diǎn),BD=p,DC=q,則AD2= (1)
【證明】 因?yàn)閏2=AB2=AD2+BD2-2ADBDcos,
3、
所以c2=AD2+p2-2ADpcos ①
同理b2=AD2+q2-2ADqcos, ②
因?yàn)锳DB+ADC=,
所以cosADB+cosADC=0,
所以q①+p②得
qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q),即AD2=
注:在(1)式中,若p=q,則為中線長(zhǎng)公式
(2)海倫公式:因?yàn)閎2c2sin2A=b2c2 (1-cos2A)= b2c2 [(b+c)-a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).
這里
所以S△ABC=
二、方法與例題
1.面積法。
例1 (共線關(guān)系的張角公式)如圖所示,從O點(diǎn)發(fā)出的三條
4、射線滿足,另外OP,OQ,OR的長(zhǎng)分別為u, w, v,這里α,β,α+β∈(0, ),則P,Q,R的共線的充要條件是
【證明】P,Q,R共線
(α+β)=uwsinα+vwsinβ
,得證。
2.正弦定理的應(yīng)用。
例2 如圖所示,△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。
求證:APBC=BPCA=CPAB。
【證明】 過(guò)點(diǎn)P作PDBC,PEAC,PFAB,垂足分別為D,E,F(xiàn),則P,D,C,E;P,E,A,F(xiàn);P,D,B,F(xiàn)三組四點(diǎn)共圓,所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由題設(shè)及BPC+CPA+APB=3600可
5、得BAC+CBA+ACB=1800。
所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。
所以EDF=600,同理DEF=600,所以△DEF是正三角形。
所以DE=EF=DF,由正弦定理,CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC,兩邊同時(shí)乘以△ABC的外接圓直徑2R,得CPBA=APBC=BPAC,得證:
例3 如圖所示,△ABC的各邊分別與兩圓⊙O1,⊙O2相切,直線GF與DE交于P,求證:PABC。
【證明】 延長(zhǎng)PA交GD于M,
因?yàn)镺1GBC,O2DBC,所以只需證
由正弦定理,
所以
另一方面,,
所以,
所以,所以PA//O1G,
6、
即PABC,得證。
3.一個(gè)常用的代換:在△ABC中,記點(diǎn)A,B,C到內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)分別為x, y, z,則a=y+z, b=z+x, c=x+y.
例4 在△ABC中,求證:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.
【證明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y,則
abc=(x+y)(y+z)(z+x)
=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.
所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.
4.三角換元。
例
7、5 設(shè)a, b, c∈R+,且abc+a+c=b,試求的最大值。
【解】 由題設(shè),令a=tanα, c=tanγ, b=tanβ,
則tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤,
當(dāng)且僅當(dāng)α+β=,sinγ=,即a=時(shí),Pmax=
例6 在△ABC中,若a+b+c=1,求證: a2+b2+c2+4abc<
【證明】 設(shè)a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β.
因?yàn)閍, b, c為三邊長(zhǎng),所以c<, c>|a-b|,
從而,所以sin2β>|cos2αcos2β|.
因?yàn)?=(a+b+c)2=a2+
8、b2+c2+2(ab+bc+ca),
所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).
又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)
=sin2βcos2β+sin2αcos2αcos4βcos2β
=[1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β]
=+cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β)
>+cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)=.
所以a2+b2+c2+4abc<
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1.在△ABC中,邊AB為最長(zhǎng)邊,且sinAsinB=,則cosAcosB的最大值為_(kāi)_________
9、.
2.在△ABC中,若AB=1,BC=2,則的取值范圍是__________.
3.在△ABC中,a=4, b+c=5, tanC+tanB+tanCtanB,則△ABC的面積為_(kāi)_________.
4.在△ABC中,3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1,則=__________.
5.在△ABC中,“a>b”是“sinA>sinB”的__________條件.
6.在△ABC中,sinA+cosA>0, tanA-sinA<0,則角A的取值范圍是__________.
7.在△ABC中,sinA=,cosB=,則cosC=__________.
8.在△
10、ABC中,“三邊a, b, c成等差數(shù)列”是“tan”的_________條件.
9.在△ABC中,若sinC=2cosAsinB,則三角形形狀是__________.
10.在△ABC中,tanAtanB>1,則△ABC為_(kāi)_________角三角形.
11.三角形有一個(gè)角是600,夾這個(gè)角的兩邊之比是8:5,內(nèi)切圓的面積是12,求這個(gè)三角形的面積。
12.已知銳角△ABC的外心為D,過(guò)A,B,D三點(diǎn)作圓,分別與AC,BC相交于M,N兩點(diǎn)。求證:△MNC的外接圓半徑等于△ABD的外接圓半徑。
13.已知△ABC中,sinC=,試判斷其形狀。
四、高考水平訓(xùn)練題
1.在△ABC中
11、,若tanA=, tanB=,且最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為1,則最短邊長(zhǎng)為_(kāi)_________.
2.已知n∈N+,則以3,5,n為三邊長(zhǎng)的鈍角三角形有________個(gè).
3.已知p, q∈R+, p+q=1,比較大小:psin2A+qsin2B__________pqsin2C.
4.在△ABC中,若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC,則△ABC 為_(kāi)_________角三角形.
5.若A為△ABC 的內(nèi)角,比較大?。篲_________3.
6.若△ABC滿足acosA=bcosB,則△ABC的形狀為_(kāi)_________.
7.滿足A=600,a=, b=4的三角
12、形有__________個(gè).
8.設(shè)為三角形最小內(nèi)角,且acos2+sin2-cos2-asin2=a+1,則a的取值范圍是__________.
9.A,B,C是一段筆直公路上的三點(diǎn),分別在塔D的西南方向,正西方向,西偏北300方向,且AB=BC=1km,求塔與公路AC段的最近距離。
10.求方程的實(shí)數(shù)解。
11.求證:
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1.在△ABC中,b2=ac,則sinB+cosB的取值范圍是____________.
2.在△ABC中,若,則△ABC 的形狀為_(kāi)___________.
3.對(duì)任意的△ABC,-(cotA+cotB+cotC),則T的最大值為_(kāi)
13、___________.
4.在△ABC中,的最大值為_(kāi)___________.
5.平面上有四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D,其中A,B為定點(diǎn),|AB|=,C,D為動(dòng)點(diǎn),且|AD|=|DC|=|BC|=1。記S△ABD=S,S△BCD=T,則S2+T2的取值范圍是____________.
6.在△ABC中,AC=BC,,O為△ABC的一點(diǎn),,ABO=300,則ACO=____________.
7.在△ABC中,A≥B≥C≥,則乘積的最大值為_(kāi)___________,最小值為_(kāi)_________.
8.在△ABC中,若c-a等于AC邊上的高h(yuǎn),則=____________.
9.如圖所示,
14、M,N分別是△ABC外接圓的弧,AC中點(diǎn),P為BC上的動(dòng)點(diǎn),PM交AB于Q,PN交AC于R,△ABC的內(nèi)心為I,求證:Q,I,R三點(diǎn)共線。
10.如圖所示,P,Q,R分別是△ABC的邊BC,CA,AB上一點(diǎn),且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求證:AB+BC+CA≤2(PQ+QR+RP)。
11.在△ABC外作三個(gè)等腰三角形△BFC,△ADC,△AEB,使BF=FC,CD=DA,AE=EB,ADC=2BAC,AEB=2ABC,BFC=2ACB,并且AF,BD,CE交于一點(diǎn),試判斷△ABC的形狀。
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1.已知等腰△ABC,AB=AC,一半圓以BC的中點(diǎn)為圓心
15、,且與兩腰AB和AC分別相切于點(diǎn)D和G,EF與半圓相切,交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,過(guò)E作AB的垂線,過(guò)F作AC的垂線,兩垂線相交于P,作PQBC,Q為垂足。求證:,此處=B。
2.設(shè)四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,點(diǎn)M和N分別是AD和BC的中點(diǎn),點(diǎn)H1,H2(不重合)分別是△AOB與△COD的垂心,求證:H1H2MN。
3.已知△ABC,其中BC上有一點(diǎn)M,且△ABM與△ACM的內(nèi)切圓大小相等,求證:,此處(a+b+c), a, b, c分別為△ABC對(duì)應(yīng)三邊之長(zhǎng)。
4.已知凸五邊形ABCDE,其中ABC=AED=900,BAC=EAD,BD與CE交于點(diǎn)O,求證:AOBE。
5.已知
16、等腰梯形ABCD,G是對(duì)角線BD與AC的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)G作EF與上、下底平行,點(diǎn)E和F分別在AB和CD上,求證:AFB=900的充要條件是AD+BC=CD。
6.AP,AQ,AR,AS是同一個(gè)圓中的四條弦,已知PAQ=QAR=RAS,求證:AR(AP+AR)=AQ(AQ+AS)。
7.已知一凸四邊形的邊長(zhǎng)依次為a, b, c, d,外接圓半徑為R,如果a2+b2+c2+d2=8R2,試問(wèn)對(duì)此四邊形有何要求?
8.設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓,BA和CD延長(zhǎng)后交于點(diǎn)R,AD和BC延長(zhǎng)后交于點(diǎn)P,A,B,C指的都是△ABC的內(nèi)角,求證:若AC與BD交于點(diǎn)Q,則
9.設(shè)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)P至BC,CA,AB的垂線分別為PD,PE,PF(D,E,F(xiàn)是垂足),求證:PAPBPC≥(PD+PE)(PE+PF)(PF+PD),并討論等號(hào)成立之條件。
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用心 愛(ài)心 專心