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1、北京市豐臺區(qū)2015-2016學年度第一學期 初三數(shù)學
第24章 圓 綜合練習題
一、與圓有關的中檔題：與圓有關的證明（證切線為主）和計算（線段長、面積、三角函數(shù)值、最值等）
1. 如圖，為⊙O的直徑，為弦，，交于，，．
（1）求證：，并求的長；
（2）延長到，使，連接，判斷直線與⊙O的位置關系，并說明理由.
2. 已知：如圖，以等邊三角形ABC一邊AB為直徑的⊙O與邊AC、BC分別交于點D、E，過點D作DF⊥BC，垂足為F．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若等邊三角形ABC的邊長為4，求DF的長；
（3）求圖中陰影部分的面積．
3、如圖，已知
2、圓O的直徑垂直于弦于點，連接并延長交于點，且．
（1）請證明：是的中點；
（2）若，求的長．
4．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠BAC = 60，P是OB上一點，過P作AB的垂線與AC的延長線交于點Q，連結OC，過點C作交PQ于點D．
（1）求證：△CDQ是等腰三角形；
（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．
5． 已知:如圖, BD是半圓O的直徑,A是BD延長線上的一點，BC⊥AE，交AE的延長線于點C, 交半圓O于點E，且E為的中點.
（1）求證：AC是半圓O的切線；
（2）若，求的長．
6.如圖，內接于⊙O，過
3、點的直線交⊙O于點，交的延長線于點，且AB2=APAD
（1）求證：；
（2）如果，⊙O的半徑為1，且P為弧AC的中點，
求AD的長.
7．如圖，在△ABC中，∠C=90, AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點, 以OA為半徑的⊙O經(jīng)過點D.
（1）求證： BC是⊙O切線；
（2）若BD=5, DC=3, 求AC的長.
8．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于E，連結AC、OC、BC.
（1）求證：∠ACO=∠BCD；
（2）若BE=2，CD=8，求AB和AC的長.
9．如圖，已知為⊙的直徑，點、在⊙上，，垂足為，
4、交于，且．
（1）求證：；
（2）如果，，求的長．
10．如圖，已知直徑與等邊的高相等的圓O分別與邊AB、BC相切于點D、E，邊AC過圓心O與圓O相交于點F、G。
（1） 求證：；
（2） 若的邊長為a，求的面積.
11．如圖，在△ABC中，∠BCA =90，以BC為直徑的⊙O交AB于點P，Q是AC的中點．
（1）請你判斷直線PQ與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若∠A＝30，AP=，求⊙O半徑的長.
12．如圖，已知點A是⊙O上一點，直線MN過點A，點B是
5、MN上的另一點，點C是OB的中點， ，
若點P是⊙O上的一個動點,且∠,AB=時，求△APC的面積的最大值．
第13題圖
13．如圖，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC為直徑作⊙交BC于點D，交AB于點G，過點D作⊙的切線交AB于點E，交AC的延長線與點F.
（1）求證：EF⊥AB；
（2）求cos∠F的值.
14．（應用性問題）已知：如圖，為了測量一種圓形零件的精度，在
加工流水線上設計了用兩塊大小相同，且含有30的直角三角尺按圖
示的方式測量.
(1)若⊙O分別與AE、AF交于點B、C，且AB=AC,若⊙O與AF相切.
求證: ⊙O與AE
6、相切；
(2)在滿足(1)的情況下，當Ｂ、Ｃ分別為AE、AF的三分之一點時，且AF=3，求的弧長.
二、圓與相似綜合
15．已知：如圖，⊙O的內接△ABC中，∠BAC=45，∠ABC =15，AD∥OC并交BC的延長線于D，
OC交AB于E.
（1）求∠D的度數(shù)；
（2）求證：；
（3）求的值.
16．如圖⑴，⊙O的直徑為，過半徑的中點作弦，在BC上取一點，分別作直線，交直線于點.
⑴求和的度數(shù)；
⑵求證：∽；
圖1
⑶如圖⑵，若將垂足改取為半徑上任意一點，點改取
圖2
在 上，仍作直線，分別交直線于點.
試判斷：
7、此時是否仍有∽成立？若成立請證明你的結論；若不成立，請說明理由。
三、圓與三角函數(shù)綜合
17．已知⊙O過點D（4，3），點H與點D關于軸對稱，過H作⊙O的切線交軸于點A（如圖1）。
⑴求⊙O半徑；
⑵求的值；
圖1
圖2
⑶如圖2，設⊙O與軸正半軸交點P，點E、F是線段OP上的動點（與P點不重合），聯(lián)結并延長DE、DF交⊙O于點B、C，直線BC交軸于點G，若是以EF為底的等腰三角形，試探索的大小怎樣變化？請說明理由。
四、圓與二次函數(shù)（或坐標系）綜合
18、如圖，⊙M的圓心在軸上，與坐標軸交于A（0，）、B（－1，0），拋物線經(jīng)過
8、A、B兩點．
（1） 求拋物線的函數(shù)解析式；
（2） 設拋物線的頂點為P．試判斷點P與⊙M 的位置關系，并說明理由；
（3） 若⊙M與軸的另一交點為D，則由線段PA、線段PD及弧ABD圍成的封閉圖形PABD的面積是多少？
19．如圖，在平面直角坐標系中，O是原點，以點C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點，開口向下的拋物線經(jīng)過點A，B，且其頂點P在⊙C上．
（1）求∠ACB的大小；
（2）寫出A，B兩點的坐標；
（3）試確定此拋物線的解析式；
（4）在該拋物線上是否存在一點D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點D的坐
9、標；若不存在，請說明理由．
20．（以圓為幌子，二次函數(shù)為主的代幾綜合題）如圖，半徑為1的⊙與軸交于兩點，圓心的坐標為，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點，其頂點為．
（1）求的值及二次函數(shù)頂點的坐標；
（2）將二次函數(shù)的圖象先向下平移1個單位，
再向左平移2個單位，設平移后圖象的頂點為，在經(jīng)過點
和點的直線上是否存在一點，使的周長最小，
若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
五、以圓為背景的探究性問題
21．下圖中, 圖(1)是一個扇形OAB，將其作如下劃分：
第一次劃分： 如圖(2)所示，以OA的一半OA1的長為半徑畫弧交OA于點A1，交OB于點B1，再作∠AOB的平分
10、線，交于點C，交于點C1， 得到扇形的總數(shù)為6個，分別為： 扇形OAB、扇形OAC、扇形OCB、扇形OA1B1、扇形OA1C1、扇形OC1B1；
第二次劃分： 如圖(3)所示，在扇形OC1B1中， 按上述劃分方式繼續(xù)劃分， 即以OC1的一半OA2的長為半徑畫弧交OC1于點A2，交OB1于點B2，再作∠B1OC1的平分線，交于點D1，交于點D2，可以得到扇形的總數(shù)為11個；
第三次劃分： 如圖(4)所示，按上述劃分方式繼續(xù)劃分；
…… 依次劃分下去.
(1) 根據(jù)題意, 完成右邊的表格；
(2) 根據(jù)右邊的表格, 請你判斷按上述劃分方式, 能否得到扇形的總數(shù)為2008個? 為
11、什么?
(3) 若圖(1)中的扇形的圓心角∠AOB=m，且扇形的半徑OA的長為R．我們把圖(2)第一次劃分的圖形中，扇形（或扇形）稱為第一次劃分的最小扇形，其面積記為S1；把圖(3)第二次劃分的最小扇形面積記為S2；……，把第n次劃分的最小扇形面積記為Sn..求的值.
22．圓心角定理是“圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等”，記作（如圖①）；
圓心角定理也可以敘述成“圓心角度數(shù)等與它所對的弧及圓心角的對頂角所對的弧的和的一半”，
記作（如圖①）請回答下列問題：
（1）如圖②，猜測并說明理由；
（2）如圖③，猜測并說明理由.
圖③
（提示：“兩條平行弦所夾的弧相等”可當定理用）
圖①
圖②
23．已知：半徑為R的⊙經(jīng)過半徑為r的⊙O圓心，⊙與⊙O交于M、N兩點．
（1）如圖1，連接O交⊙O于點C，過點C作⊙O的切線交⊙于點A、B，求的值；
（2）若點C為⊙O上一動點.
①當點C運動到⊙內時，如圖2，過點C作⊙O的切線交⊙于A、B兩點．請你探索的值與（1）中的結論相比較有無變化？并說明你的理由；
②當點運動到⊙外時，過點C作⊙O的切線，若能交⊙于A、B兩點．請你在圖3中畫出符合題意的圖形，并探索的值（只寫出的值，不必證明）．
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