2019-2020年高中數(shù)學(xué) 5.1初識(shí)無限同步精練 北師大版選修3-1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 5.1初識(shí)無限同步精練 北師大版選修3-1 1.建立“無窮集合論”的數(shù)學(xué)家是( ) A.費(fèi)馬 B.歐拉 C.高斯 D.康托 2.1615年,為了研究旋轉(zhuǎn)體的體積,________引入了無窮大和無窮小的概念.( ) A.開普勒 B.萊布尼茨 C.牛頓 D.費(fèi)馬 3.下列說法正確的是( ) A.全體有理數(shù)比全體自然數(shù)多 B.有理數(shù)集與自然數(shù)集之間存在一一對應(yīng)關(guān)系 C.有理數(shù)集與自然數(shù)集的基數(shù)不同 D.有理數(shù)集與自然數(shù)集是相等的集合 4.將正整數(shù)集Z+中去掉一個(gè)元素“1”后剩余的元素組成的集合記為A,則下列敘述正確的是( ) A.Z+比A多一個(gè)元素 B.Z+=A C.Z+與A的元素個(gè)數(shù)一樣多 D.Z+的基數(shù)大于A的基數(shù) 5.下列敘述正確的是( ) A.所有可數(shù)集的基數(shù)都相同 B.所有的無限集都是對等的 C.所有的無限集都可以與正整數(shù)集之間建立一一對應(yīng)關(guān)系 D.如果存在一個(gè)對應(yīng)法則,使得A中的任一個(gè)元素a,按照對應(yīng)法則,必有B中唯一的元素b與之對應(yīng),則稱建立了A與B之間的一個(gè)一一對應(yīng) 6.在證明全體有理數(shù)是可數(shù)的時(shí),我們把有理數(shù)排列成一個(gè)數(shù)陣,從中間的0開始數(shù)起,畫一個(gè)________形的螺旋線,按照這一路線,每個(gè)有理數(shù)都會(huì)被數(shù)到,它將對應(yīng)一個(gè)唯一的正整數(shù),這樣我們就證明了全體有理數(shù)是可數(shù)的. 7.1886年,法國數(shù)學(xué)家________說了一句很有名的話:“上帝創(chuàng)造了正整數(shù),其他一切都是人類的創(chuàng)造.” 8.證明:集合(0,5)與(0,12)之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系. 9.設(shè)全體正奇數(shù)為集合A,全體正偶數(shù)為集合B,證明:A與B對等. 10.證明:正奇數(shù)集A與正整數(shù)集Z+有相同的基數(shù). 11.設(shè)A=,R=(-∞,+∞),建立一個(gè)A與R之間一一對應(yīng)關(guān)系. 12.設(shè)A為可數(shù)集,B為有限集或可數(shù)集,且A∩B=,證明:A∪B為可數(shù)集. 13.上網(wǎng)搜集關(guān)于康托的生平材料,并整理出來. 參考答案 1.答案:D 2.答案:A 3.答案:B 解析:因?yàn)樽匀粩?shù)集和有理數(shù)集都是可數(shù)集,所以它們之間存在一一對應(yīng)關(guān)系. 4.答案:C 解析:Z+與A之間存在一一對應(yīng)關(guān)系,故Z+與A的元素個(gè)數(shù)一樣多. 5.答案:A 解析:因?yàn)樗械目蓴?shù)集都可與正整數(shù)集之間建立一一對應(yīng)關(guān)系,所以它們的基數(shù)都相同. 6.答案:矩 7.答案:克羅內(nèi)克 8.證明:從集合(0,5)中任取一個(gè)元素x,按照對應(yīng)法則f:x→y=,在集合(0,12)中存在唯一元素y與x對應(yīng).反之,在(0,12)中任取一個(gè)元素y,按照對應(yīng)法則f:x→y=, 在集合(0,5)中存在唯一的元素x與y對應(yīng).從而建立了集合(0,5)與(0,12)之間的一一對應(yīng)關(guān)系. 9.證明:對于A中的任一個(gè)元素x,按照對應(yīng)法則f:y=x+1,則在B中存在唯一的一個(gè)元素y=x+1與之對應(yīng);反之,對于集合B中的任一元素y,按照對應(yīng)法則f:y=x+1,在集合A中存在唯一的一個(gè)元素x與之對應(yīng).故A與B之間存在一一對應(yīng)關(guān)系,所以集合A與B對等. 10.證明:對于集合Z+中的任一個(gè)元素x,按照對應(yīng)法則f:y=2x-1,在集合A中存在唯一元素y與之對應(yīng).反之,對于集合A中的任一元素y,按照對應(yīng)法則f:y=2x-1,在Z+中存在唯一的元素x與之對應(yīng).這樣A與Z+建立了一一對應(yīng)關(guān)系,所以A與Z+有相同的基數(shù). 11.解:在A中,任取一個(gè)元素x,按照對應(yīng)法則f:y=tanx,在R中存在唯一的元素y與之對應(yīng);反之,對于R中的任一元素y,按照對應(yīng)法則f:y=tanx,在A中存在唯一的元素x與之對應(yīng).這樣就建立了集合A與R之間的一一對應(yīng)關(guān)系. 12.證明:由于可數(shù)集總可排成無窮序列,不妨設(shè)A={a1,a2,…,an},B={b1,b2,…,bn}(當(dāng)B有限時(shí))或B={b1,b2,…,bn,…}(當(dāng)B可數(shù)時(shí)).由于當(dāng)B有限時(shí)(B排到前,A排在后),A∪B={b1,b2,…,bn,a1,a2,…,an}; 又當(dāng)B可數(shù)時(shí)(交錯(cuò)排列),A∪B={a1,b1,a2,b2,…,an,bn,…}. 可見A∪B總可以排成無窮序列,與正整數(shù)集一一對應(yīng),從而是可數(shù)集. 13.答:參考材料如下: 康托(Cantor,Georg Ferdinand Philip,1845—1918),德國數(shù)學(xué)家,集合論的創(chuàng)始者.1845年3月3日生于圣彼得堡,1918年1月6日卒于哈雷.1862年入瑞士蘇黎世大學(xué),翌年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué),主修數(shù)學(xué),師從E.E.庫默爾、K.魏爾斯特拉斯和L.克羅內(nèi)克.1867年獲博士學(xué)位,曾任哈雷大學(xué)教授.大學(xué)期間康托主修數(shù)論,受魏爾斯特拉斯的影響,對嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析理論感興趣.他在1872年以本序列(即柯西序列)定義無理數(shù)的實(shí)數(shù)理論,并初步提出以高階導(dǎo)出集的性質(zhì)作為對無窮集合的分類準(zhǔn)則.1873年他用一一對應(yīng)關(guān)系作為對無窮集合分類的準(zhǔn)則.他巧妙地將一條直線上的點(diǎn)與一個(gè)平面甚至幾維空間的點(diǎn)一一對應(yīng)起來.在研究無窮數(shù)與超限數(shù)理論時(shí),他還引進(jìn)勢、基數(shù)、序數(shù)等概念并定義了基數(shù)之間的運(yùn)算及序的運(yùn)算法則,對有限數(shù)集理論作出了重要貢獻(xiàn). 19世紀(jì)70年代許多數(shù)學(xué)家只承認(rèn)有窮事物的發(fā)展過程是無窮盡的,無窮只是潛在的,是就發(fā)展說的.他們不承認(rèn)已經(jīng)完成的、客觀存在著的無窮整體,例如集合論里的各種超窮集合.康托集合論肯定了作為完成整體的實(shí)無窮,從而遭到了一些數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家,特別是克羅內(nèi)克的批評與攻擊.另一方面,康托創(chuàng)建集合論的工作開始時(shí)就得到戴德金、魏爾斯特拉斯和D.希爾伯特的鼓勵(lì)和贊揚(yáng).20世紀(jì)以后集合論不斷發(fā)展,已成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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