2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第6講 拋物線訓(xùn)練 理.doc
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2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第6講 拋物線訓(xùn)練 理.doc
2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第6講 拋物線訓(xùn)練 理一、選擇題1拋物線x2(2a1)y的準(zhǔn)線方程是y1,則實數(shù)a()A. B. C D解析 根據(jù)分析把拋物線方程化為x22y,則焦參數(shù)pa,故拋物線的準(zhǔn)線方程是y,則1,解得a.答案D2若拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)在圓x2y22x30上,則p()A. B1C2 D3解析 拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為(,0)在圓x2y22x30上,p30,解得p2或p6(舍去)答案 C3已知拋物線C:y24x的焦點(diǎn)為F,直線y2x4與C交于A,B兩點(diǎn),則cosAFB()A. B. C D解析由得x25x40,x1或x4.不妨設(shè)A(4,4),B(1,2),則|5,|2,(3,4)(0,2)8,cosAFB.故選D.答案D4已知雙曲線C1:1(a>0,b>0)的離心率為2.若拋物線C2:x22py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2,則拋物線C2的方程為()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析1的離心率為2,2,即4,.x22py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,1的漸近線方程為yx,即yx.由題意,得2,p8.故C2:x216y,選D.答案D5已知直線l過拋物線C的焦點(diǎn),且與C的對稱軸垂直,l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|12,P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn),則ABP的面積為()A18 B24 C36 D48解析如圖,設(shè)拋物線方程為y22px(p0)當(dāng)x時,|y|p,p6.又P到AB的距離始終為p,SABP12636.答案C6已知P是拋物線y24x上一動點(diǎn),則點(diǎn)P到直線l:2xy30和y軸的距離之和的最小值是()A. B. C2 D.1解析由題意知,拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d,由拋物線的定義可知,點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|PF|1,所以點(diǎn)P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d|PF|1.易知d|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離,故d|PF|的最小值為,所以d|PF|1的最小值為1.答案D二、填空題7已知動圓過點(diǎn)(1,0),且與直線x1相切,則動圓的圓心的軌跡方程為_解析設(shè)動圓的圓心坐標(biāo)為(x,y),則圓心到點(diǎn)(1,0)的距離與其到直線x1的距離相等,根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y24x.答案y24x8已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M,N為拋物線上的一點(diǎn),且滿足|NF|MN|,則NMF_.解析 過N作準(zhǔn)線的垂線,垂足是P,則有PNNF,PNMN,NMFMNP.又cosMNP,MNP,即NMF.答案 9如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在l時,拱頂離水面2米,水面寬4米水位下降1米后,水面寬_米解析如圖建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為x22py.由題意A(2,2)代入x22py,得p1,故x22y.設(shè)B(x,3),代入x22y中,得x,故水面寬為2米答案210過拋物線y22x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若|AB|,|AF|<|BF|,則|AF|_.解析設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線為yk,聯(lián)立得,整理得,k2x2(k22)xk20,x1x2,x1x2.|AB|x1x211,得,k224,代入k2x2(k22)xk20得,12x213x30,解之得x1,x2,又|AF|<|BF|,故|AF|x1.答案三、解答題11已知橢圓1(a>b>0)的離心率為,以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓與直線yx2相切(1)求a與b;(2)設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,直線l1過F2且與x軸垂直,動直線l2與y軸垂直,l2交l1于點(diǎn)P.求線段PF1的垂直平分線與l2的交點(diǎn)M的軌跡方程,并指明曲線類型解(1)由e ,得.又由原點(diǎn)到直線yx2的距離等于橢圓短半軸的長,得b,則a.(2)法一由c1,得F1(1,0),F(xiàn)2(1,0)設(shè)M(x,y),則P(1,y)由|MF1|MP|,得(x1)2y2(x1)2,即y24x,所以所求的M的軌跡方程為y24x,該曲線為拋物線法二因為點(diǎn)M在線段PF1的垂直平分線上,所以|MF1|MP|,即M到F1的距離等于M到l1的距離此軌跡是以F1(1,0)為焦點(diǎn),l1:x1為準(zhǔn)線的拋物線,軌跡方程為y24x.12已知拋物線C:y24x,過點(diǎn)A(1,0)的直線交拋物線C于P、Q兩點(diǎn),設(shè).(1)若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為M,求證:直線MQ經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F;(2)若,求|PQ|的最大值思維啟迪:(1)可利用向量共線證明直線MQ過F;(2)建立|PQ|和的關(guān)系,然后求最值(1)證明設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x1,y1),x11(x21),y1y2,y2y,y4x1,y4x2,x12x2,2x21(x21),x2(1)1,1,x2,x1,又F(1,0),(1x1,y1)(1,y2),直線MQ經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F.(2)由(1)知x2,x1,得x1x21,yy16x1x216,y1y2>0,y1y24,則|PQ|2(x1x2)2(y1y2)2xxyy2(x1x2y1y2)2412216,當(dāng),即時,|PQ|2有最大值,|PQ|的最大值為.13設(shè)拋物線C:x22py(p0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A為C上一點(diǎn),已知以F為圓心,F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B,D兩點(diǎn)(1)若BFD90,ABD的面積為4 ,求p的值及圓F的方程;(2)若A,B,F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上,直線n與m平行,且n與C只有一個公共點(diǎn),求坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值解(1)由已知可得BFD為等腰直角三角形,|BD|2p,圓F的半徑|FA|p.由拋物線定義可知A到l的距離d|FA| p.因為ABD的面積為4 ,所以|BD|d4 ,即2p p4 ,解得p2(舍去)或p2.所以F(0,1),圓F的方程為x2(y1)28.(2)因為A,B,F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上,所以AB為圓F的直徑,ADB90.由拋物線定義知|AD|FA|AB|.所以ABD30,m的斜率為或.當(dāng)m的斜率為時,由已知可設(shè)n:yxb,代入x22py得x2px2pb0.由于n與C只有一個公共點(diǎn),故p28pb0,解得b.因為m的縱截距b1,3,所以坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值為3.當(dāng)m的斜率為時,由圖形對稱性可知,坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值為3.綜上,坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值為3.14如圖所示,拋物線關(guān)于x軸對稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在拋物線上(1)寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程;(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時,求y1y2的值及直線AB的斜率解(1)由已知條件,可設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)點(diǎn)P(1,2)在拋物線上,222p1,解得p2.故所求拋物線的方程是y24x,準(zhǔn)線方程是x1.(2)設(shè)直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB,則kPA(x11),kPB(x21),PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ),kPAkPB.由A(x1,y1),B(x2,y2)均在拋物線上,得y4x1,y4x2,y12(y22)y1y24.由得,yy4(x1x2),kAB1(x1x2)