2019-2020年九年級數(shù)學上冊 第二章 二次函數(shù) 2.4 二次函數(shù)的應用 名師教案4 浙教版.doc

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2019-2020年九年級數(shù)學上冊 第二章 二次函數(shù) 2.4 二次函數(shù)的應用 名師教案4 浙教版 ◆目標指引 1．運用二次函數(shù)的知識去分析問題、解決問題，并在運用中體會二次函數(shù)的實際意義． 2．體會利用二次函數(shù)的最值方面的性質解決一些實際問題． 3．經歷把實際問題的解決轉化為數(shù)學問題的解決的過程，學會運用這種“轉化”的數(shù)學思想方法． ◆要點講解 1．在具體問題中經歷數(shù)量關系的變化規(guī)律的過程，運用二次函數(shù)的相關知識解決簡單的實際問題，體會二次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型． 2．運用函數(shù)思想求最值和數(shù)形結合的思想方法研究問題． ◆學法指導 1．當涉及最值問題時，應運用二次函數(shù)的性質選取合適的變量，建立目標函數(shù)，再求該目標函數(shù)的最值，求最值時應注意兩點：（1）變量的取值范圍；（2）求最值時，宜用配方法． 2．有關最大值或最小值的應用題，關鍵是列出函數(shù)解析式，再利用函數(shù)最值的知識求函數(shù)值，并根據(jù)問題的實際情況作答． ◆例題分析 【例1】如圖，在△ABC中，∠B=90，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A開始，沿著AB向點B以1cm/s的速度移動；點Q從點B開始，沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，設P，Q同時出發(fā)，問： （1）經過幾秒后P，Q的距離最短？ （2）經過幾秒后△PBQ的面積最大？最大面積是多少？ 【分析】這是一個動點問題，也是一個最值問題，設經過ts，顯然AP和BQ的長度分別為AP=t，BQ=2t（0≤t≤6）．PQ的距離PQ==．因此，只需求出被開方式5t2－12t+36的最小值，就可以求P，Q的最短距離． 【解】（1）設經過ts后P，Q的距離最短，則： ∵PQ==== ∴經過s后，P，Q的距離最短． （2）設△PBQ的面積為S， 則S=BPBQ=（6－t）2t=6t－t2=9－（t－3）2 ∴當t=3時，S取得最大值，最大值為9． 即經過3s后，△PBQ的面積最大，最大面積為9cm2． 【注意】對于動點問題，一般采用“以靜制動”的方法，抓住某個靜止狀態(tài)，尋找等量關系．在求最值時，可用配方法或公式法，同時取值時要注意自變量的取值范圍． 【例2】某高科技發(fā)展公司投資1500萬元，成功研制出一種市場需求較大的高科技替代產品，并投入資金500萬元進行批量生產．已知生產每件產品的成本為40元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；銷售單價若增加10元，年銷售量將減少1萬件．設銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），年獲利額（年獲利額=年銷售額－生產成本－投資）為z（萬元）． （1）試寫出y與x之間的函數(shù)關系式（不必寫出x的取值范圍）； （2）試寫出z與x之間的函數(shù)關系式（不必寫出x的取值范圍）； （3）計算銷售單價為160元時的年獲利額，并說明：得到同樣的年獲利額，銷售單價還可以定為多少元？相應的年銷量分別為多少萬件？ （4）公司計劃：在第一年按年獲利額最大時確定的銷售單價進行銷售；第二年的年獲利額不低于1130萬元，請你借助函數(shù)的大致圖象說明，第二年的銷售單價x（元）應確定在什么范圍？ 【分析】本題以傳統(tǒng)的經濟活動中的利潤、銷售決策問題為背景，設計成數(shù)學應用題，引導學生主動關心和參與日常生活中的經濟活動，把實際問題抽象成數(shù)學問題，運用函數(shù)性質和方程知識來解題． 【解】（1）依題意知：當銷售單價定為x元時，年銷量減少（x－100）萬件． ∴y=20－（x－100）=－x+30． 即y與x之間的函數(shù)關系式是y=－x+30． （2）由題意可得： z=（30－x）（x－40）－500－1500=－x2+34x－3200． 即z與x之間的函數(shù)關系式為z=－x2+34x－3200． （3）∵當x=160時， z=－1602+34160－3200=－320， ∴－320=－x2+34x－3200， 即x2－340x+28800=0． 由x1+x2=－得，160+x=340，∴x=180． 即得到同樣的年獲利額，銷售單價還可以定為180元． 當x=160時，y=－160+30=14， 當x=180時，y=－180+30=12． 所以相應的年銷售量分別為14萬件和12萬件． （4）∵z=－x2+34x－3200=－（x－170）2－310， ∴當x=170時，z取得最大值為－310． 即當銷售單價為170元時，年獲利額最大，并且到第一年底公司還差310萬元就可以收回全部投資． 第二年的銷售單價定為x元時，則年獲利額為： z′=（30－x）（x－40）－310=－x2+34x－1510． 當z′=1130時，即1130=－x2+34x－1510， 解得x1=120，x2=220． ∴函數(shù)z′=－x2+34x－1510的大致圖象如圖所示． 由圖象可看出： 當120≤x≤220時，z≥1130． ∴第二年的銷售單價應確定在不低于120元且不高于220元的范圍內．